二次函数专题训练菱形地存在性含问题详解.doc

标准文档1如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，ABOC，AOC=90，BCO=45，BC=12，点C的坐标为（18，0）（1）求点B的坐标；（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y正半轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的解析式；（3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由2如图，抛物线y=ax2+bx2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PDx轴于点D，交直线BC于点E（1）求抛物线解析式；（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】3如图，抛物线y=ax22x+c（a0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（2，0），点C（0，8），点D是抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；（3）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标4如图1，抛物线y=ax2+bx+4的图象过A（1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，作直线BC，动点P从点C出发，以每秒个单位长度的速度沿CB向点B运动，运动时间为t秒，当点P与点B重合时停止运动（1）求抛物线的表达式；（2）如图2，当t=1时，求SACP的面积；（3）如图3，过点P向x轴作垂线分别交x轴，抛物线于E、F两点求PF的长度关于t的函数表达式，并求出PF的长度的最大值；连接CF，将PCF沿CF折叠得到PCF，当t为何值时，四边形PFPC是菱形？5如图，已知已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D，直线y=2x1经过抛物线上一点B（2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F（1）求m的值及该抛物线的解析式（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若SADP=SADC，求出所有符合条件的点P的坐标（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由6如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）23与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧（1）求a的值及点A，B的坐标；（2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式；（3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由7已知抛物线y=x2+1（如图所示）（1）填空：抛物线的顶点坐标是（，），对称轴是；（2）已知y轴上一点A（0，2），点P在抛物线上，过点P作PBx轴，垂足为B若PAB是等边三角形，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点M在直线AP上在平面内是否存在点N，使四边形OAMN为菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由8.(2016 山东省威海市)如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（2，0），点B（4，0），点D（2，4），与y轴交于点C，作直线BC，连接AC，CD（1）求抛物线的函数表达式；（2）E是抛物线上的点，求满足ECD=ACO的点E的坐标；（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长9. (2012 山东省烟台市) 如图， 在平面直角坐标系中，已知矩形的三个顶点，以为顶点的抛物线过点，动点从点出发，沿线段向点运动同时动点从点出发，沿线段向点运动，点的运动速度均为每秒1个单位运动时间为秒，过点作交于点（1）直接写出点的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点作于，交抛物线于点，当为何值时，的面积最大？最大值为多少？（3）在动点运动的过程中，当何值时，在矩形内（包括边界）存在点，使以为顶点的四边形为菱形？请直接写出的值10.(2012 青海省) 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于点，点P是直线BC下方抛物线上的动点.（1）求这个二次函数表达式；（2）连接PO，PC，并将POC沿y轴对折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积. 二次函数之菱形的存在性 参考答案1如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，ABOC，AOC=90，BCO=45，BC=12，点C的坐标为（18，0）（1）求点B的坐标；（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y正半轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的解析式；（3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）过点B作BFx轴于F，在RtBCF中BCO=45，BC=12 CF=BF=12 C 的坐标为（18，0）AB=OF=6点B的坐标为（6，12）（2）过点D作DGy轴于点G，ABDG，ODGOBA，=，AB=6，OA=12，DG=4，OG=8，D（4，8），E（0，4）设直线DE解析式为y=kx+b（k0）；直线DE解析式为y=x+4（3）结论：存在设直线y=x+4分别与x轴、y轴交于点E、点F，则E（0，4），F（4，0），OE=OF=4，EF=4如答图2所示，有四个菱形满足题意菱形OEP1Q1，此时OE为菱形一边则有P1E=P1Q1=OE=4，P1F=EFP1E=44易知P1NF为等腰直角三角形，P1N=NF=P1F=42；设P1Q1交x轴于点N，则NQ1=P1Q1P1N=4（42）=2，又ON=OFNF=2，Q1（2，2）；菱形OEP2Q2，此时OE为菱形一边此时Q2与Q1关于原点对称，Q2（2，2）；菱形OEQ3P3，此时OE为菱形一边此时P3与点F重合，菱形OEQ3P3为正方形，Q3（4，4）；菱形OP4EQ4，此时OE为菱形对角线由菱形性质可知，P4Q4为OE的垂直平分线，由OE=4，得P4纵坐标为2，代入直线解析式y=x+4得横坐标为2，则P4（2，2），由菱形性质可知，P4、Q4关于OE或y轴对称，Q4（2，2）综上所述，存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形；点Q的坐标为：Q1（2，2），Q2（2，2），Q3（4，4），Q4（2，2）2如图，抛物线y=ax2+bx2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PDx轴于点D，交直线BC于点E（1）求抛物线解析式；（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】【解答】解：（1）抛物线y=ax2+bx2的对称轴是直线x=1，A（2，0）在抛物线上，解得：，抛物线解析式为y=x2x2；（2）令y=x2x2=0，解得：x1=2，x2=4，当x=0时，y=2，B（4，0），C（0，2），设BC的解析式为y=kx+b，则，解得：，y=x2，设D（m，0），DPy轴，E（m，m2），P（m，m2m2），OD=4PE，m=4（m2m2m+2），m=5，m=0（舍去），D（5，0），P（5，），E（5，），四边形POBE的面积=SOPDSEBD=51=；（3）存在，设M（n，n2），以BD为对角线，如图1，四边形BNDM是菱形，MN垂直平分BD，n=4+，M（，），M，N关于x轴对称，N（，）；以BD为边，如图2，四边形BNDM是菱形，MNBD，MN=BD=MD=1，过M作MHx轴于H，MH2+DH2=DM2，即（n2）2+（n5）2=12，n1=4（不合题意），n2=5.6，N（4.6，），同理（n2）2+（4n）2=1，n1=4+（不合题意，舍去），n2=4，N（5，），以BD为边，如图3，过M作MHx轴于H，MH2+BH2=BM2，即（n2）2+（n4）2=12，n1=4+，n2=4（不合题意，舍去），N（5+，），综上所述，当N（，）或（4.6，）或（5，）或（5+，），以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形3如图，抛物线y=ax22x+c（a0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（2，0），点C（0，8），点D是抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；（3）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标【解答】解：（1）将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：a=1，c=8抛物线的解析式为y=x22x8y=（x1）29，D（1，9）（2）将y=0代入抛物线的解析式得：x22x8=0，解得x=4或x=2，B（4，0）y=（x1）29，抛物线的对称轴为x=1，E（1，0）将EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B落在抛物线的对称轴上，EP为BEF的角平分线BEP=45设直线EP的解析式为y=x+b，将点E的坐标代入得：1+b=0，解得b=1，直线EP的解析式为y=x+1将y=x+1代入抛物线的解析式得：x+1=x22x8，解得：x=或x=点P在第四象限，x=y=P（，）（3）设CD的解析式为y=kx8，将点D的坐标代入得：k8=9，解得k=1，直线CD的解析式为y=x8设直线CB的解析式为y=k2x8，将点B的坐标代入得：4k28=0，解得：k2=2直线BC的解析式为y=2x8将x=1代入直线BC的解析式得：y=6，F（1，6）设点M的坐标为（a，a8）当MF=MB时，（a4）2+（a+8）2=（a1）2+（a+2）2，整理得：6a=75，解得：a=点M的坐标为（，）当FM=FB时，（a1）2+（a+2）2=（41）2+（60）2，整理得：a2+a20=0，解得：a=4或a=5点M的坐标为（4，12）或（5，3）综上所述，点M的坐标为（，）或（4，12）或（5，3）4如图1，抛物线y=ax2+bx+4的图象过A（1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，作直线BC，动点P从点C出发，以每秒个单位长度的速度沿CB向点B运动，运动时间为t秒，当点P与点B重合时停止运动（1）求抛物线的表达式；（2）如图2，当t=1时，求SACP的面积；（3）如图3，过点P向x轴作垂线分别交x轴，抛物线于E、F两点求PF的长度关于t的函数表达式，并求出PF的长度的最大值；连接CF，将PCF沿CF折叠得到PCF，当t为何值时，四边形PFPC是菱形？【解答】解：（1）抛物线y=ax2+bx+4的图象过A（1，0），B（4，0）两点，解得：抛物线的表达式为y=x2+3x+4（2）令x=0，则y=4，即点C的坐标为（0，4），BC=4设直线BC的解析式为y=kx+4，点B的坐标为（4，0），0=4k+4，解得k=1，直线BC的解析式为y=x+4当t=1时，CP=，点A（1，0）到直线BC的距离h=，SACP=CPh=（3）直线BC的解析式为y=x+4，CP=t，OE=t，设P（t，t+4），F（t，t2+3t+4），（0t4）PF=t2+3t+4（t+4）=t2+4t，（0t4）当t=2时，PF取最大值，最大值为4PCF沿CF折叠得到PCF，PC=PC，PF=PF，当四边形PFPC是菱形时，只需PC=PFt=t2+4t，解得：t1=0（舍去），t2=4故当t=4时，四边形PFPC是菱形5如图，已知已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D，直线y=2x1经过抛物线上一点B（2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F（1）求m的值及该抛物线的解析式（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若SADP=SADC，求出所有符合条件的点P的坐标（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由【解答】解：（1）点B（2，m）在直线y=2x1上m=2（2）1=41=3，所以，点B（2，3），又抛物线经过原点O，设抛物线的解析式为y=ax2+bx，点B（2，3），A（4，0）在抛物线上，解得：抛物线的解析式为y=x2x；（2）P（x，y）是抛物线上的一点，P（x，x2x），若SADP=SADC，SADC=ADOC，SADP=AD|y|，又点C是直线y=2x1与y轴交点，C（0，1），OC=1，|x2x|=1，即x2x=1，或x2x=1，解得：x1=2+2，x2=22，x3=x4=2，点P的坐标为 P1（2+2，1）P2=（22，1），P3）2，1）；（3）结论：存在抛物线的解析式为y=x2x，顶点E（2，1），对称轴为x=2；点F是直线y=2x1与对称轴x=2的交点，F（2，5），DF=5又A（4，0），AE=如右图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形：菱形AEM1Q1此时EM1=AE=，M1F=DFDEDM1=4，t1=4；菱形AEOM2此时DM2=DE=1，M2F=DF+DM2=6，t2=6；菱形AEM3Q3此时EM3=AE=，DM3=EM3DE=1，M3F=DM3+DF=（1）+5=4+，t3=4+；菱形AM4EQ4此时AE为菱形的对角线，设对角线AE与M4Q4交于点H，则AEM4Q4，易知AEDM4EH，=，即=，得M4E=，DM4=M4EDE=1=，M4F=DM4+DF=+5=，t4=综上所述，存在点M、点Q，使得以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形；时间t的值为：t1=4，t2=6，t3=4+，t4=6如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）23与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧（1）求a的值及点A，B的坐标；（2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式；（3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由【解答】解：（1）抛物线与y轴交于点C（0，）a3=，解得：a=，y=（x+1）23当y=0时，有（x+1）23=0，x1=2，x2=4，A（4，0），B（2，0）（2）A（4，0），B（2，0），C（0，），D（1，3）S四边形ABCD=SADH+S梯形OCDH+SBOC=33+（+3）1+2=10从面积分析知，直线l只能与边AD或BC相交，所以有两种情况：当直线l边AD相交与点M1时，则S=10=3，3（y）=3y=2，点M1（2，2），过点H（1，0）和M1（2，2）的直线l的解析式为y=2x+2当直线l边BC相交与点M2时，同理可得点M2（，2），过点H（1，0）和M2（，2）的直线l的解析式为y=x综上所述：直线l的函数表达式为y=2x+2或y=x（3）设P（x1，y1）、Q（x2，y2）且过点H（1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b，k+b=0，b=k，y=kx+k由，+（k）xk=0，x1+x2=2+3k，y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2，点M是线段PQ的中点，由中点坐标公式的点M（k1，k2）假设存在这样的N点如图，直线DNPQ，设直线DN的解析式为y=kx+k3由，解得：x1=1，x2=3k1，N（3k1，3k23）四边形DMPN是菱形，DN=DM，（3k）2+（3k2）2=（）2+（）2， 整理得：3k4k24=0，k2+10，3k24=0， 解得k=，k0，k=，P（31，6），M（1，2），N（21，1）PM=DN=2，PMDN，四边形DMPN是平行四边形，DM=DN，四边形DMPN为菱形，以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为（21，1）7已知抛物线y=x2+1（如图所示）（1）填空：抛物线的顶点坐标是（0，1），对称轴是x=0（或y轴）；（2）已知y轴上一点A（0，2），点P在抛物线上，过点P作PBx轴，垂足为B若PAB是等边三角形，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点M在直线AP上在平面内是否存在点N，使四边形OAMN为菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）顶点坐标是（0，1），对称轴是y轴（或x=O）（2）PAB是等边三角形，ABO=9060=30AB=20A=4PB=4解法一：把y=4代入y=x2+1，得 x=2P1（2，4），P2（2，4） 解法二：OB=2 P1（2，4） 根据抛物线的对称性，得P2（2，4） （3）点A的坐标为（0，2），点P的坐标为（2，4）设线段AP所在直线的解析式为y=kx+b 解得：解析式为：y=x+2设存在点N使得OAMN是菱形，点M在直线AP上，设点M的坐标为：（m，m+2）如图，作MQy轴于点Q，则MQ=m，AQ=OQOA=m+22=m四边形OAMN为菱形，AM=AO=2，在直角三角形AMQ中，AQ2+MQ2=AM2，即：m2+（m）2=22 解得：m=代入直线AP的解析式求得y=3或1，当P点在抛物线的右支上时，分为两种情况：当N在右图1位置时，OA=MN，MN=2，又M点坐标为（，3），N点坐标为（，1），即N1坐标为（，1）当N在右图2位置时，MN=OA=2，M点坐标为（，1），N点坐标为（，1），即N2坐标为（，1）当P点在抛物线的左支上时，分为两种情况：第一种是当点M在线段PA上时（PA内部）我们求出N点坐标为（，1）；第二种是当M点在PA的延长线上时（在第一象限）我们求出N点坐标为（，1）存在N1（，1），N2（，1）N3（，1），N4（，1）使得四边形OAMN是菱形8.(2016 山东省威海市)如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（2，0），点B（4，0），点D（2，4），与y轴交于点C，作直线BC，连接AC，CD（1）求抛物线的函数表达式；（2）E是抛物线上的点，求满足ECD=ACO的点E的坐标；（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长分析（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可（2）分点E在直线CD上方的抛物线上和点E在直线CD下方的抛物线上两种情况，用三角函数求解即可；（3）分CM为菱形的边和CM为菱形的对角线，用菱形的性质进行计算；解：（1）抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（2，0），点B（4，0），点D（2，4），设抛物线解析式为y=a（x+2）（x4），8a=4，a=，抛物线解析式为y=（x+2）（x4）=x2+x+4；（2）如图1，点E在直线CD上方的抛物线上，记E，连接CE，过E作EFCD，垂足为F，由（1）知，OC=4，ACO=ECF，tanACO=tanECF，=，设线段EF=h，则CF=2h，点E（2h，h+4）点E在抛物线上，（2h）2+2h+4=h+4，h=0（舍）h=E（1，），点E在直线CD下方的抛物线上，记E，同的方法得，E（3，），点E的坐标为（1，），（3，）（3）CM为菱形的边，如图2，在第一象限内取点P，过点P作PNy轴，交BC于N，过点P作PMBC，交y轴于M，四边形CMPN是平行四边形，四边形CMPN是菱形，PM=PN，过点P作PQy轴，垂足为Q，OC=OB，BOC=90，OCB=45，PMC=45，设点P（m， m2+m+4），在RtPMQ中，PQ=m，PM=m，B（4，0），C（0，4），直线BC的解析式为y=x+4，PNy轴，N（m，m+4），PN=m2+m+4（m+4）=m2+2m，m=m2+2m，m=0（舍）或m=42，菱形CMPN的边长为（42）=44CM为菱形的对角线，如图3，在第一象限内抛物线上取点P，过点P作PMBC，交y轴于点M，连接CP，过点M作MNCP，交BC于N，四边形CPMN是平行四边形，连接PN交CM于点Q，四边形CPMN是菱形，PQCM，PCQ=NCQ，OCB=45，NCQ=45，PCQ=45，CPQ=PCQ=45，PQ=CQ，设点P（n，