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高中数学必修1教案(精选多篇) 学习周报专业辅导学习 集合（第1课时） 一、知识目标：内容：初步理解集合的基本概念，常用数集，集合元素的特 征等集合的基础知识。 重点：集合的基本概念及集合元素的特征 难点：元素与集合的关系 注意点：注意元素与集合的关系的理解与判断；注意集合中元 素的基本属性的理解与把握。 二、能力目标：由判断一组对象是否能组成集合及其对象是否从属已知集合， 培养分析、判断的能力； 由集合的学习感受数学的简洁美与和谐统一美。 三、过程： ）情景设置： 军训期间，我们经常会听到教官在高喊：（x）的全体同学集合！听到口令，咱们班的全体同学便会从四面八方聚集到教官的身边，而那些不是咱们班的学生便会自动走开。这样一来教官的一声“集合”（动词）就把“某些指定的对象集在一起”了。数学中的“集合”这一概念并不是教官所用的动词意义下的概念，而是一个名词性质的概念，同学们在教官的集合号令下形成的整体即是数学中的集合的涵义。 ）探求与研究： 一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。 问题：同学们能不能举出一些集合的例子呢？（板书学生们所举出的一些例子） 为了明确地告诉大家，是哪些“指定的对象”被集在了一起并作为一个 整体来看待，就用大括号将这些指定的对象括起来，以示它作为一个 整体是一个集合，同时为了讨论起来更方便，又常用大写的拉丁字母a、 b、c?来表示不同的集合，如同学们刚才所举的各例就可分别记 为?（板书） 另外，我们将集合中的“每个对象”叫做这个集合的元素，并用小写字 母a、b、c?（或x1、x2、x3?）表示 同学口答课本p5练习中的第1大题 分析刚才同学们所举出的集合例子，引出： 对某具体对象a与集合a，如果a是集合a中的元素，就说a属于集合 a，记作aa；如果a不是集合a的元素，就说a不属于集合a，记作 a?a 再次分析同学们刚才所举出的一些集合的例子，师生共同讨论得出结论： 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性。 然后请同学们分别阅读课本p5和p40上相关的内容。 在数学里使用最多的集合当然是数集，请同学们阅读课本p4上与数集有 关的内容，并思考：常用的数集有哪些？各用什么专用字母来表示？你 能分别说出各数集中的几个元素吗？（板书n、z、q、r、n*（或n+） 注意：数0是自然数集中的元素。这与同学们脑子里原来的自然数就是 1、2、3、4?的概念有所不同 同学们完成课本p5练习第2大题。 . 学习周报专业辅导学习 注意：符号“”、“?”的书写规范化 练习：（一）下列指定的对象，能构成一个集合的是 很小的数 不超过30的非负实数 直角坐标平面内横坐标与纵坐标相等的点 的近似值 高一年级优秀的学生 所有无理数 大于2的整数 正三角形全体 a、b、c、 d、 （二）给出下列说法： 较小的自然数组成一个集合 集合1，-2，与集合，-2，1是同一个集合 某同学的数学书和物理书组成一个集合 若ar，则a?q 已知集合x，y，z与集合1，2，3是同一个集合，则x=1，y=2， z=3 其中正确说法个数是（） a、1个b、2个c、3个d、4个 （三）已知集合a=a+2，(a+1)2，a2+3a+3，且1a，求实数a的值 ）回顾与总结： 1集合的概念 2元素的性质 3几个常用的集合符号 ）作业：p7习题1.1第1大题 阅读课本并理解概念 课后反思：这节课由于开学典礼的影响，没有来得及全部上完。等待明天继续上 然后与老教师产生一节课的差距。总体来看，比昨天稍微好一点，语气上连贯了 些，但是还没有理清自己上课的思路，到了课堂上原本的准备有些忘记了。 . 1.2余弦定理第1课时 知识网络 三角形中的向量关系余弦定理学习要求 1掌握余弦定理及其证明；2体会向量的工具性； 3能初步运用余弦定理解斜三角形【课堂互动】 自学 1余弦定理： (1)a2?b2?c2?2bc?cosa，_，_.(2)变形：cosa? b 2 ?c 2 ?a 2 ， 2bc _，_. 2利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题： （）_；（）_【精典范例】 【例1】在?abc中， （1）已知b?3，c?1，a?600，求a；（2）已知a?4，b?5，c?6，求a（精确到0.10）【解】 点评:利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：（）已知三边，求三个 用心爱心角；（）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 【例2】a,b两地之间隔着一个水塘，听课随笔 择另一点c，测ca?182m,cb?126m,?acb?630 ， 求a,b两地之间的距离确到1m） 【解】 【例3】用余弦定理证明：在?ab为锐角时，a2?b2?c2；当ca2?b2?c2 【证】 点评:余弦定理可以看做是勾股定理的推广追踪训练一 在中， 求a； （）已知a， 若三条线段的长为，则用这 三条线段（）能组成直角三角形能组成锐角三角形能组成钝角三角形 专心 不能组成三角形 在中，已知a2?b2?ab?c2，试求的大小 两游艇自某地同时出发，一艇以的速度向正北行驶，另一艇以的速度向北偏东的方向行驶，问：经过，两艇相距多远？ 【选修延伸】 【例4】在abc中，bc=a，ac=b，且a，b是方程x2 ?23x?2?0的两根， 2cos?a?b?1。 （1）求角c的度数； （2）求ab的长；（3）求abc的面积。【解】 用心爱心 【例5】在abc中，角a、b、c听课随笔 分别为a，b，c，证明：a2 ?b2 ?a?b?。 c 2? sinsinc 追踪训练二 1在abc中，已知b?2， c?1，b=450则a?（）a2b 6?2 2c 6?2 6?22 d2 2在abc中，已知ab=5，ac=6，bc=31则a=（） a?2? b3 c6d4 3在abc中，若b?10，c?15，c=? 6 则此三角形有解。 4、abc中，若a2 ?c2 ?bc?b2 ，则a=_. 专心 【师生互动】 用心爱心专心3 第3课时：1.2余弦定理（1） 【三维目标】： 一、知识与技能 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。 2.能够运用余弦定理理解解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 3.通过三角函数、余弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 二、过程与方法 利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题 三、情感、态度与价值观 1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力； 2.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。 【教学重点与难点】： 重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； 难点：向量方法证明余弦定理. 【学法与教学用具】： 1.学法： 2.教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题 1.正弦定理的内容？ 2.由正弦定理可解决哪几类斜三角形的问题？ 二、研探新知 1余弦定理的向量证明： 方法1：如图，在?abc中，ab、bc、ca的长分别为c、a、bac?ab?bc，? ac?ac?(ab?bc)?(ab?bc)?ab?2?2ab?bc?bc?2 b?ab?2?2|ab|?|bc|cos(1800?b)+bc222?2?c2?2aosb?a2即b?c?a?2aosb； 同理可证：a?b?c?2bosa，c?a?b?2abcosc222222 方法2：建立直角坐标系，则a(0,0),b(osa,csina),c(b,0)所以 a2?(osa?b)2?(csina)2?c2cos2a?c2sin2a?2bosa?b2?b2?c2?2bosa，同理可证1 b2?c2?a2?2aosb，c2?a2?b2?2abcosc 注意：此法的优点在于不必对a是锐角、直角、钝角进行分类讨论 于是得到以下定理 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 b2?c2?a2 a?b?c?2bosa?cosa?2bc222 c2?a2?b2 b?c?a?2aosb?cosb?2ca222 a2?b2?c2 c?a?b?2abcosc?cosc?2ab222 思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ 语言叙述：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。用符号语言表示：a2?b2?c2?2bosa，?等； 2.理解定理 注意：（1）熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等 （2）余弦定理的应用：已知三边，求三个角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 （3）当夹角为90?时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例） b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c2 （4）变形：cosa?cosb?cosc?2bc2ac2ac 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？ （由学生总结）若?abc中，c=900，则cosc?0，这时c2?a2?b2，由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 三、质疑答辩，排难解惑，发展思维 例1（教材p在?abc中，（1）已知b?3,c?1,a?600，求a；（2）已知a?4,b?5,c?6，14例1） 求a 7，8的三角形中，求最大角与最小角的和例2边长为5， 例3在?abc中，最大角a为最小角c的2倍，且三边a、b、c为三个连续整数，求a、b、c的值 例4在?abc中，a、b是方程x?23x?2?0的两根，又2cos(a?b)?1，求：（1）角c的度数；（2）求ab的长；（3）?abc的面积 四、巩固深化，反馈矫正 1在?abc中，sina:sinb:sinc?3:5:7，那么这个三角形的最大角是_2 2.在?abc中，(a?c)(a?c)?b(b?c)，则a?_ 在?abc中，s?a2?b2?c2 3.4，则角c的度数是_ 4.在?abc中，已知a?7,b?8,cosc?13 14，则最大角的余弦值是_ 5.已知锐角三角形的边长分别是1、3、a，则a的取值范围是_ 6.用余弦定理证明：在?abc中，当c为锐角时，a2?b2?c2；当c为钝角时，a2?b2?c2 五、归纳，整体认识 1.余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； 2.余弦定理的应用范围：已知三边求三角；已知两边及它们的夹角，求第三边。 六、承上启下，留下悬念 1书面作业 七、板书设计（略） 八、课后记： 第1课时：1.1正弦定理（1） 【三维目标】： 一、知识与技能 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容和推导过程； 2.能解决一些简单的三角形度量问题（会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题）；能够运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题； 3.通过三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 4.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力 二、过程与方法 让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 三、情感、态度与价值观 1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力； 2.培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 【教学重点与难点】： 重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。 难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 【学法与教学用具】： 1.学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：abc?，接着就一般斜三角形sinasinbsinc 进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。 2.教学用具：多媒体、实物投影仪、直尺、计算器 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题 1.在直角三角形中的边角关系是怎样的？ 2.这种关系在任意三角形中也成立吗？ 3.介绍其它的证明方法 二、研探新知 1.正弦定理的推导 ab,sinb?,sinc?1， abcabc即c?，c?，c?=sinasinbsincsinasinbsinc（1）在直角三角形中：sina? 能否推广到斜三角形？ （2）斜三角形中 证明一：（等积法，利用三角形的面积转换）在任意斜abc中，先作出三边上的高ad、be、cf，则ad?csinb，be?asinc，cf?bsina所以s?abc?111absinc?acsinb? bcsina，每项222 1abc ?同除以abc即得： 2sinasinbsinc 证明二：（外接圆法）如图所示，ad bcaa?2r，?2r?cd?2r同理 sinasindsinbsinc ? 证明三：（向量法）过a作单位向量j垂直于ac，由ac+cb?ab，两边同乘以单位向量j得j ? ?(ac+cb)?j?ab，则j?ac+j?cb?j?ab ? ? |j|?|ac|cos90?+|j|?|cb|cos(90?c)=|j|?|ab|cos(90?a) ac asinc?csina= sinasinc?cbabc ?同理，若过c作j垂直于cb得：=sinasinbsincsincsinb 从上面的研探过程，可得以下定理 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 a sina 2.理解定理 ? b sinb ? c sin （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使a?ksina,b?ksinb,c?ksinc； （2） abcabbcac =等价于=，=，=，即可得正弦定理的sinasinbsincsinasinbsinbsincsinasinc 变形形式： 1）a?2rsina,b?2rsinb,c?2rsinc； abc ,sinb?,sinc?；2r2r2r 3）sina:sinb:sinc?a:b:c 2）sina? （3）利用正弦定理和三角形内角和定理，可解决以下两类斜三角形问题：1）两角和任意一边，求其它两边和一角；如a? bsina ；sinb a sinb。b 2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角如sina?一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形，有两解或一解（见图示） a?bsinabsina?a?ba?ba?b 一解两解一解一解 abc 注意：（1）正弦定理的叙述：在一个三角形中。各边和它所对角的正弦比相等，= sinasinbsinc 它适合于任何三角形。（2）可以证明 abc ?2r（r为abc外接圆半径）= sinasinbsinc （3）每个等式可视为一个方程：知三求一 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 三、质疑答辩，排难解惑，发展思维 例1已知在?abc中，c?10,a?450,c?300,求a,b和b解：?c?10,a?45,c?30b?180?(a?c)?105由 ac ?得sinasinc csina10?sin450bc ?2a?由得sinbsincsincsin300 csinb10?sin1050?20 b?20sin75?20?56?520 sinc4sin30 例2在?abc中，b?,b?600,c?1,求a和a,c bsinb1?sin6001解：?,?sinc?，?b?c,b?600,?c?b,c为锐角， sinbsincb23 ?c?300,b?900a?b2?c2?2 例3?abc中，c?6,a?450,a?2,求b和b,c asina6?sin450300 ?,?sinc?解：?csina?a?c,?c?60或120sinasinca22csinb6sin750 ?当c?60时，b?75,b?3?1，0 sincsin60 csinb6sin150 ?当c?120时，b?15,b?1 sincsin600 ?b?1,b?750,c?600或b?3?1,b?150,c?1200 例4试判断下列三角形解的情况：（1）已知b?11,c?12,b?600 （2）已知a?7,b?3,a?1100（3）已知b?6,c?9,b?450 四、巩固深化，反馈矫正 1.在?abc中，三个内角之比a:b:c?1:2:3，那么a:b:c等于_2.在?abc中，b?1350,c?150,a?5,则此三角形的最大边长为_ 3.在?abc中，已知a?xcm,b?2cm,b?450，如果利用正弦定理解三角形有两解，则的取值范围是_4.在?abc中，已知b?2csinb，求?c的度数 五、归纳，整体认识 1用三种方法证明了正弦定理： （1）转化为直角三角形中的边角关系；（2）利用向量的数量积（3）外接圆法2理论上正弦定理可解决两类问题： （1）两角和任意一边，求其它两边和一角； （2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角 3.（1）判断三角形的形状特征，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？还要研究角与角的大小关系：是否两角相等？是否三角相等？有无直角？有无钝角？ （2）此类问题常用正弦定理（或将学习的余弦定理）进行代()换、转化、化简、运算，揭示出边与边，或角与角的关系，或求出角的大小，从而作出正确的判断六、承上启下，留下悬念 七、板书设计（略）八、课后记： 第10课时：3.4.1基本不等式的证明（1） 【三维目标】： 一、知识与技能 1.探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式的基本思想方法； 2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题； 3.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 4.理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释； 二、过程与方法 1.通过实例探究抽象基本不等式； 2.本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质 三、情感、态度与价值观 1.通过本节的学习，体会数学生活，提高学习数学的兴趣 2.培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力 【教学重点与难点】： ?a?b的证明过程； 2a?b等号成立条件及“当且仅当a?b时取等号”的数学内涵2 【学法与教学用具】： 1.学法：先让学生观察常见的图形，通过面积的直观比较抽象出基本不等式。从生活中实际问题还原出数学本质，可积极调动地学生的学习热情。定理的证明要留给学生充分的思考空间，让他们自主探究，通过类比得到答案 2.教学用具：直角板、圆规、投影仪（多媒体教室） 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题 a? b2 a?b2. 的几何背景：21.提问： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系）。 二、研探新知 22重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，我们有a?b?2ab，当且仅当a?b时，等号成立。 证明:a?b?2ab?(a?b),当a?b时，(a?b)?0,当a?b时, (a?b)?0, 122222 所以a?b?2ab 22注意强调当且仅当a?b时,a?b?2ab22 注意：（1）等号成立的条件，“当且仅当”指充要条件； （2）公式中的字母和既可以是具体的数字，也可以是比较复杂的变量式，因此应用范围比较广泛。 基本不等式：对任意正数a、b ，有a?b?当且仅当a?b时等号成立。2 a?b?当且仅当a?b时等号成立。2证法1：可以将基本不等式2看作是基本不等式1的推论。由基本不等式1， 得2?2? ? 证法2：a? b11? ?2?2?2? 0?a?b222 时，取“?”。 a? b，只要证?a? b，只要证0?a? b，只要证0?2 a? b?a?b时，取“?”。2 a?b?证法4：对于正数a,b 有2? 0，?a?b? ?0?a?b?2 a? b说明：把a,b的算术平均数和几何平均数，上述不等式可叙述为：两个正2证法3 ? 数的算术平均数不小于它们的几何平均数。上述结论可推广至3个正数。 （1）基本不等式成立的条件是：a?0,b?0 （2）不等式证明的三种方法：比较法（证法1）、分析法（证法2）、综合法（证法3） a?b?ab的几何解释：（如图1）以a?b为直径作圆，在直径ab上取一点c，过c作弦2 a?bdd?ab，则cd2?ca?cb?ab，从而cd?ab，而