2014考研数学高等数学精品强化讲义(张宇).pdf

张宇张宇高等数学高等数学精品强化精品强化 引言： （1）辅导书（命题人高等数学考试参考书） （2）笔记（重要！记忆，整理消化） （3）答疑地址（辅导书后面） 内容安排： 极限2 次课 一元函数微积分学（概念、计算、应用、逻辑）4 次课 多元函数微积分学（公共部分） 多元微积分1 次课 二重积分1 次课 微分方程1 次课 级数（公共）1 次课 数一专场2 次课 第一讲第一讲 极限极限 核心考点： 1、 概念 2、 性质 3、 计算 函数 数列 4、 连续与间断 一、一、概念概念 1、 n limlim x 是什么？ 是什么？ （1）lim x 是什么？ a）x有 6 种“独立”情形： 0 xx 0 0 |xx； x +0xX； x 0xX当时” 2、定义 （1）函数 “ 0 0,0,0 |xx 当 nN时，恒有| n xa当 xX时，恒有 2014 |( )|f xAe （脱帽法） （2）若( )0f x，则lim( )0 x f xA = （若极限存在） （戴帽法） 【例】设( )f x连续，且 (0) 1f=，则0，使得（C） A）( )(0, )f x在单调增 B）( )(0, )f x在单调减 C）(0, ),( )(0)xf xf 有 D）(- 0),( )(0)xf xf ， 有 【解】 ( ) 0 ( )(0)( )(0) 000 00 lim x f xff xf f xx = () () ,0,( )(0) 0,( )(0) xf xf xf xf 时 时 【注】 （1） ,( )0( )xI fxf xI 在 上单调增 （2） 00 ,()0( )xI fxf xI 不能推出在 上单调增 三、计算 1、函数极限的计算 （1）化简先行 （2）基础题 （3）技术题 （1）化简先行 【例 1】 3 0 2sin (sin) lim tan x xxx x + 提出极限不为零的因式 【解】 33 00 2sin (sin)sin2 lim2lim tantan6 xx xxxxx xx + = 【例 2】 3 0 1 31 5 lim x xx x + 善于使用等价无穷小替换 【解】 ()() 33 3 0000 1 311 511 51 1 31 51 311 limlimlimlim 6 xxxx xxx xxx xxxx + + + = 【例 3】 2 lim 1 (1) x x x e x + + 【解】 2 2 2 1 1 limln(1) 2 1 ln(1) limlim 1 (1) x xx x x x xx x x x ee ee e x + + + + = + ( ) ( )v xu x幂指函数 ln ,(0) vvu ueu= 【注】不许人为制造同一极限号后x的先后顺序 （2）基础题 1） 0 ,.0 0 【例 1】 2 2 2cos 4 0 lim xx x ee x 【解】 22 2 2cos1 2cos2 2 2cos2 2cos 4443 0000 112cos22sin1 limlimlimlim 412 xxxx xx xxxx eeexxxx ee xxxx + + = 【例 2】 1 limlnln(1) x xx 重要公式 0 limln0(0) x xx + = 1 0 0 00 1 0 . = = 分母设置有原则，简单因式才下放 :, :ln ,arcsin , x xe xxaxb + 简单 复杂 【解】 ()() 110 1- limlnln(1)lim1 ln 1lim ln0 xxt xt xxxxtt + = = = 令 2）- a）有分母，则通分 【例】 2 22 0 1cos lim() sin x x xx 【解】 22 2222 22224 000 1 sin 2 1coscossin4 4 lim()limlim sinsin3 xxx xx xxxx xxxxx = b）没有分母，创造分母，再通分 【例 1】 2 1 limln(1) x xx x + 【解】 1 x t =令 2 2 0 2 11 ln(1) 1ln(1)1 limln(1)limlim 1 2 xxt tt xx xx xt x + + += 【例 2】 （2014） 2 1 lim 4ln(2)(2ln2) x xxx x + + 【解】 1 x t =令 2 00 14ln(2)2ln2141 lim 4ln(2)(2ln2) limlimln(2)ln2 1 242 4 x tt ttt xxxt xttt + + + +=+=+ + 3） 00 ,0 ,1 【例 1】 1 2 lim (1)x x xx + + 【解】 2 2 2 1 11ln(1) lim ln(1)lim 2 1 lim (1)lim1 x x xx xx xxxx xx xxeee + + + + + + += 【例 2】 1 cossin 4 lim(tan ) xx x x 【解】 ()() 11tan1 cossintan1 cossin 4 1 cossin 444 tan1 lim cossin 2 lim(tan )lim 1 tan1lim 1 tan1 x xxxxx x xx xxx x xx xxx ee =+=+ = （3）技术题 1）用好泰勒公式 a）熟记 8 个公式（0x） 33 33 33 33 1 sin() 6 1 arcsin() 6 1 tan() 3 1 arctan() 3 xxxx xxxx xxxx xxxx =+ =+ =+ =+ 244 233 233 22 11 cos1() 224 11 1() 26 11 ln(1)() 23 (1) (1)1() 2 x xxxx exxxx xxxxx xxxx = + = + +=+ += + b）掌握() n x的计算规则 ()()(),min , mnl xxxlm n= ()* ()() * ()() mnm n mnm n xxx xxx + + = = ()()(),0 mmm kxkxxk=常数 c）展开原则 A B 型(*) 1 A A B B =“上下同阶”原则 若分母（分子）是 k x，则将分子（分母）展开至 k x ()ABABAB+= 型“幂次最低”原则 将,A B分别展开至系数不相等的x的最低次幂为止。 【例】 （2014） 当0x时， 2 2 cos x xe 与 k cx为等价无穷小，求,c k 【解】 () 2 2 244244 2 44 2 1111 cos1,1() 22428 1 cos() 12 1 4, 12 x x xxxo xexxo x xexo x kc = += + = + = 所以 【注】0x 3 224 sin 2 1 sin 6 1 sin 3 xxx xxx xxx + （2014）设 2 22 0 ( ) lim1 *sin x xf x xx + =，求 2 22 0 sin( ) lim *sin x xf x xx + 【解】 2 22 0 2222 22224 000 sin( ) lim, *sin ( )sin( )sin1 limlimlim1 *sin*sin3 x xxx xf x A xx xf xxf xxx A xxxxx + = + = = 令 2）无穷小比阶 ( ) x a f t dt 复合函数 【Th1】当0x时，( ) , ( ) , , ,( ), ( )0, ( ) mnmmn f xaxg xbxa b f x g xf g xab x均则 【Th2】当0x时，( ), ( )f xg x连续但不为 0，且( ) ( )f xg x，则 00 ( )( ) xx f t dtg t dt 【例 1】0x + 时， 2 0 tan x k tdtcx ，求c，k 【解】 2 3 2 0 33 2 3 22 0 2 tan 3 22 tan1 33 x x tdtx tdtxx = 所以 k=3 【例 2】0x + 时， 3 0 sin x k t dtcx ，求c，k 【解】 34 0 32 0 1 sin 4 1 sin 4 x x t dtx t dtx 所以 k=2 【例 3】0x时， 2 ln(1) 0 sin xx k t dtcx t + ，求c，k 【解】 2 2 00 2 2 2 ln(1) 4 0 sin1 2 1 ln(1) 2 sin1 1 2 2 xx xx t dttdtx t xxx t dtx t + + 所以 k=4 2、数列极限的计算 （1）转化成函数 【例】 21 lim( *tan) () n n nn n 为自然数 （2）通项 n x已知，但无法转化成( )f x 【例 1】 222 12 lim(.)() 12 n n n nnnnnnn + + 为自然数 【解】 ()() ()() 222222 1 22 111121 (.) 21221 1111111 lim,lim, 222122 n i nn n nn nni nnnnnnnnnnnninn n nn n nnnnn = + += + + = + 所以，所求极限为 【例 2】lim(0) nnnn n abcabc + 【解】 3 11 lim,lim3. 1 lim nnnnnnnn nnnn nn nnnn n cabcc cc cc abc c + = +=所以 （3）通项 n x未知，由递推式 1 () nn xf x =， 1 () nn xf x + =给出，用单调有界准则。 【例】设 11 2 1 0,0,(2),1,2, 3 nn n a axxxn x + =+=，证明： n x收敛并求lim n n x 【解】 3 1 2 3 1 22 3 2 1 () 3 11 ()0 33 1 (2) 3 nnn n n n nnnn nn a xxxa x x axa xxxx xx a AAa A + + =+ = += 所以有下界。 所以单调不增 所以极限存在设为A A= 四、连续与间断 1、由于一切初等函数在其定义区间内比连续，故只讨论两类特殊的点： 无定义点（必间断） 分段函数的分段点（可能间断） 2、所谓连续 0 0 lim( )() xx f xf x =， 00 0 lim( )lim( )() xxxx f xf xf x + =多用于计算题 【注】令 0 xxx=+，则 00 0 lim ()()0 x f xxf x += 多用于证明题 3、所谓间断 （1）若 00 lim( ), lim( ) xxxx f xf x + 均存在，但 00 lim( )lim( ) xxxx f xf x + 跳跃 00 0 lim( )lim( )() xxxx f xf xf x + =可去间断点 （2）若 00 lim( ), lim( ) xxxx f xf x + 至少一个不存在，且为无穷大无穷间断点，若振荡振荡 间断点。 【例 1】 （理解） 设 0 xx=为无穷间断点（ 0 lim( ) xx f x = +） 0 xx=可否为极小值点？ 【解】 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1) ,0 1,0 ,0 2 1,0 1 ,0 1,0 1 sin,0 2,0 x x x x x x x x x xx x x xx x = = = = = = = 可去间断点可以是极小值点也可以是极大值点 例f ）f跳跃间断点也可以是极值点 3）f无穷间断点可以是极小值点 4）震荡间断点可以是极值点 【例 2】 |1 ( ) (1)ln | x x f x x xx = + 的可去间断点有几个（ ） A）0B）1C）2D）3 【解】找出无定义点：-1，0，1 ln 111 1ln1 1,limlimlim (1)ln(1)ln(1)ln 1 x xx xxx xxxe x x xxx xxx xx x = = + = 为无穷 ln 000 0 0 1ln1 0,limlimlim1 (1)ln(1)ln(1)ln (lim ln0, limln0) 0 x xx xxx x x xxxe x x xxx xxx xx xxxx x + = + = = 为可去 ln 11 ln11 1,limlim (1)ln(1)ln2 1 xx xx xxe x x xxx xx x = + = 为可去 故选 C 【例 3】设 3 2 ln(1) ,0 arcsin ( )6,0 1,0 ax ax x xx f xx exaxx + ，a=?时，( )f x在0x=处连续；a=?时，0x=为 ( )f x的可去间断点。 【解】 - 33 00 3 ln(1) limlim6 1 arcsin 6 xx axax a xx x + = 2 222 2 2 22 00 2 22 () 1 2 limlim42, 44 (1() 2 ax xx ax a xxo x exax a xx a eaxxo x + + + =+ = + 2 2 64261, 64262, aaa aaa =+= =+= 连续； 可去。 第二讲第二讲一元函数微积分学一元函数微积分学 一、概念 导数、微分、不定积分、定积分（变限积分） 、反常积分 二、计算 1、求导 显函数求导 隐函数求导 高阶导数 分段点：导数定义 分段函数求导 非间断点：公式 2、求积分四种基本积分法 三、应用 求性态 求测度 四、逻辑推理 中值 不等式证明 方程根 一、概念 1、导数（必考！ ） （1）常规题与泰勒公式结合 （2）x广义化 （3）四则运算规则（能不能拆？） （4）一个注意点 1、导数 00 0 0 ()() lim() x f xxf x fx x + = （1）常规题与泰勒公式结合 【例】 设0，( )f x在, 上有定义，(0)1f=， 且满足 2 0 ln(12 )2( ) lim0 x xxf x x + =， 证明( )f x在0x=处可导并求 (0) f 【分析】 ( )f x在 0 xx=处可导 0 ()fx存在。 于是，( )f x在I上可导 ( ) fx在I上存在 （2）x广义化 【例】设 2 0 (sin ) (0)0,lim k f kk f k =存在能否推出 (0) f存在（( )f x在0x=处可导） 。 （3）四则运算规则（能不能拆？） 【例】设( )f x在0x=连续，且 0 ( )() lim x f xfx x 存在能否推出 (0) f存在。 （4）一个注意点 0 0 0 0 0 0 ( )() ()lim (0)lim( ) xx xx f xf x fx xx fxfx = = 【例】 （I）证明拉格朗日中值定理 （II）设( )f x在 00 ,xx上连续， 00 (,)xx内可导，且 0 lim( ) xx fx 存在，证明 0 0 ()lim( ) xx fxfx = 【Th】设( )f x在 0 x的左邻域连续，且 0 lim( ) xx fx 存在，则 00 ()(0)fxfx = 2、微分 （1） 00 ()()yf xxf x=+真实增量 （2）A x线性增量 （3） 0 lim=0 x yA x x 可微 记号与说法：= ()yA xx 0 () |x x yA xx dyAdx = =+ = 【例】设( )f u可导， 2 ()yf x=当在1x= 处取得0.1x= ，y的线性主部为 0.1，求 (1) f。 3、不定积分 xI ,若 ( ) ( )F xf x=，则称( )F x为( )f x在I上的一个原函数。( )( )f x dx F xC=+ 意味着： 0 xI，使 00 ()()F xf x，则不是为( )f x在I上的一个原函数。 （1）连续（2）跳跃间断点（3）可去间断点（4）无穷间断点（5）振荡间断点 （1）连续 【Th】连续函数必有原函数 设( )f x在I上连续，则证明( )( ) x a F xf t dt=在I上可导，且 ( ) ( )F xf x=，xI 。 若( )f x连续，则( )( ) x a f x dxf t dtC=+ （2）跳跃间断点（背背） 【Th】设设( )f x在I上有跳跃间断点 0 x，则( )f x在I上一定没有原函数 4、定积分 【注】 （1）( )f x在I上连续( )( ) x a F xf t dt=在I上可导 （2）( )f x在I上可积( )( ) x a F xf t dt=在I上连续 （3）( )f x为可导的奇函数 ( ) fx为偶函数； ( )f x为可导的偶函数 ( ) fx为奇函数； ( )f x为可积的奇函数 0 ( ) ( )(0) x x a f t dt f t dt a 为偶函数 为偶函数 ； ba=有限数 ( ) , f xa b在上有界 ( ) b a f x dx 存在 ( ) , f xa b在上可积 ( ) , f xa b在上连续 (),fxab在上 只有有限个间断点且有界 l i m ( )f x为可积的奇函数 0 ( ) ( )(0) x x a f t dt f t dt a 为奇函数 不确定 【例】设 sin ,0 ( ) 2,2 xx f x x = 5、变限积分 2 1 ( ) ( ) ( )( ) x x F xf t dt = 求导公式： 2211 ( )( )( )( )( )F xfxxfxx= 其中： （1）,xt求导变量积分变量； ( ( )0 t F x= （2）若对x求导，必须要求被积函数只有t的函数 6、反常积分 （1）无穷区间的反常积分 1） ( )lim( ) b aab f x dxf x dx + + = 收敛存在 2） - ( )lim( ) bb aa f x dxf x dx = 3） - ( )( )( ) c c f x dxf x dxf x dx + =+ （2）无界函数的反常积分 若 0 lim( ) xx f x = ，则 0 xx=为瑕点。 1）若a为瑕点，( )lim( )( )() bb at ta f x dxf x dxF bF a + + = 2）若b为瑕点，( )lim( )()( ) bt aa tb f x dxf x dxF bF a = 3）若,a b均为瑕点，( )( )( ) bcb aac f x dxf x dxf x dx=+ 【注】 1 ,11 ,1 p p dx xp + 收敛 发散 1 0 ,11 ,1 p p dx xp + 的敛散性 【例 2】已知0，则 1 0 lnxdx x （） A）当1时，收敛 B）当1 = = ，, 满足何种条件时， ( ) fx在0x=处连续 （4）高阶导数 1）任何一个无穷阶可导函数( )yy x=抽象展开 ( ) 0 (0) ! n n n y x n = ； （背背） 2）( )yy x=具体展开（P219） 3）展开式具有唯一性，比较 n x前的系数 ( )(0)n y 【例 1】 3 sinyxx=，求 (6)(0) y 【例 2】 2 cos2yxx=，求 (2014)(0) y 【例 3】 1 23 y x = + ，求 ( )(0)n y 2、求积 （1）基本积分法 1）建立思考程序 2）熟记常用积分公式 3）多做训练 【例 1】 2 sin cossin cos (1 cos) x xx dx xxe + 【Th】对于( )f x dx ，( )f x越复杂，越有规律可循 【例 2】 2 (21) 344 dx xxx+ 消除“复杂” 【例 3】 1 ln(1),(0) x dx x x + + （2）例题分析 【例 1】 423 (1)2 dx xxx + 【注】在收敛的条件下，通过变量替换，可能实现反常积分与定积分之间的相互转化，不必 大惊小怪 【例 2】 3 2 1 2 2| dx xx 三、应用三、应用 1、求性态（P52） 三点：极值点，最值点，拐点 两性：单调性、凹凸性 一线：渐近线 区间内部的最值点必为极值点。 ,( )0( )xI fxf x 单调增 【例】 （2014）设( )yy x=是 cos 20 x yye+=的满足 (2) 0y=的解，证明(2, (2)y为 ( )yy x=的拐点 【例】 234 (1)(2) (3) (4)yxxxx=，则（ ）是y的拐点 A)（1,0）B) （2,0）C) （3,0）D)（4,0） 求渐近线的程序 1）找出( )yy x=的无定义点 0 x或定义区间的端点 考查若 0 lim ( ) xx y x = （ 00 ,xx + ） ，则 0 xx=为铅垂渐近线，反之亦反。 2）考查lim( )( ) x y xA =，则yA=为水平渐近线 若lim( ) x y x = ，则转向 3） 3）考查 ( ) lim( ) x y x a x =，则考查lim ( )( ) x y xaxb =，若是，则yaxb=+为斜渐近 线。 【例】曲线 2 1 4ln(2)yxx x =+的渐近线有（ ）条 A）1B）2C）3D）4 最值问题 ( )yf x= , a b 驻点 不可导点 端点 ( , )a b 驻点 不可导点 极限 【例】求 2 2 ( )sin x f xex =的值域。 2、求测度（套公式容易，做计算难） 【例】设曲线 1 2 sin x yex =在0x的部分与x轴所围平面区域绕x轴旋转一周，求该旋 转体的体积。 四、逻辑推理四、逻辑推理 中值 不等式 方程根 1、中值 （1）介值+最值 【例 1】设( )f x在 , a b上连续， 123 . n axxxxb，证明：(1,3) ，使得 ( ) 0 【例 3】 （2014）设( )f x在0,1上连续，(0,1)内可导，(0)0,(1)1ff=，证明：存在不 同的 123 ,(0,1) 使得 123 111 3 ()()()fff += （3）重访洛必达 【例 1】设( )f x在(0,)+上可导，且 lim ( )( )0 x f xfx + +=，求lim( ) x f x + 【例 2】设( ), ( )f xg x在 , a b上可导，ab，证明： |( )| 2,(0,1) 2 b fxax+ 2、不等式问题（看书） 3、方程根 （1）理论依据 1）存在性用推广的零点定理 若( )f x在( , )a b内连续，ab，计算() xy D Ieed = 【分析】 () 0 yx DD xx D eded Ieed = = 【自练】计算 33 sin() D Ixy d=+ ，( , )| 1Dx yxy=+ 二、计算 1、基础题 （1）直角坐标系 1）X 型（有上下曲线边界） D 后积先定限（min，max） 限内画条线 先交写下限 后交写上限 2 1 ( ) ( ) ( , )( , ) byx ayx D f x y ddxf x y dy= 2）Y 型（有左右曲线边界） （2）极坐标系 drd dr= 1） 2 1 ( ) ( ) ( , )( cos , sin ) r r D f x y ddf rrrdr = 2） 2( ) 00 ( , )( cos , sin ) r D f x y ddf rrrdr = 3） ( ) 0 ( cos , sin ) r Idf rrrdr = 【注】 “正方向”指“左手在 D 内” 2、技术题 （1）换序 1）直角坐标系下 【例 1】设D由曲线sinyx=与x轴上介于0,2xx=之间的线段围成，f连续，则后 积y先积x的表达式( , ) D f x y d= 。 【解】 1arcsin02arcsin 0arcsin1arcsin ( , )( , ) yy yy Idyf x y dxdyf x y dx + =+ 【例 2】 01 12 ( , ) y dyf x y dx 换序 【解】 0220 1111 ( , )( , ) yx Idyf x y dxdxf x y dy = = 2）极坐标系下 【例】 2 2 01 cos ( cos , sin )df rrrdr + 换序 【解】换序后得 2 2 1cos(1) ( cos , sin ) arcr drf rrrd （2）对称性（略，见前） （3）形心公式及其逆用（公共考点） , DD DD xdyd xy dd = D D xdxS= ， D D ydyS= 【例】计算( , ) D x y d ， 22 ( , )|1Dx yxyxy=+ 【解】 () 2 22 113 222 , , 3 2 DD DD DD DD DDD DD xy xdyd xy dd xdx Sydy S Ixdydx Sy SxyS + = = =+=+=+= 三、综合题分析 【例 1】求 22 sin1cos2 D Irrdrd= ，其中( , )|0,0sec 4 Drr = 1 2222 00 1 2222 00 3 1 22 2 0 3 1 2 2 0 3 1 2 2 0 4 2 0 11 1 1(1) 2 1 2 (1) 02 3 1 1 (1) 3 11 (1) 33 1111 3 11 cos 3333 4 2 2316 x D x Iyxy ddxyxy dy dxxy dxy yx xydx y xdx xdx tdt =+=+ =+ = =+ = = = = 【例 2】求 0 arctanarctanxx Idx x + = 【解】 () 2 1 1arctanarctanarctan 1 1+ y xyxx dy yxx xy = = = ()() 22 011 1 1 11 1+1+ 1 arctan 0 1 0ln 22 Idydxdydx xyxy x xydy xy dy y + = = + = = = （常）微分方程（常）微分方程 1、概念及其使用 2、计算 一阶方程的求解 高阶方程的求解 3、应用几何、物理（一、二） ，经济（三） 一、概念及其使用 1、 ( ) ( , ,.,)0 n F x y y yy= 2、阶数y的最高阶导数 3、通解解中所含独立独立常数的个数=方程的阶数 【注】若题中涉及“ ( ) ( )( ),2 n f xfx n及” 1）显式给出用微分方程 2）隐含给出用泰勒公式 【 例 1 】 设( )( )p xq x与在 , a b上 连 续 ，( )0q x） 【解】 2 22 1 xxydxxx dyyyy + =+ 令1 xdydu uxuyyu ydxdy =+ 则 () 2 2 2 2 1 1 ln1lnln 1 dududy yuuu dyy u uuyc uucy +=+= + +=+ += () 2 1,0 xx cy c yy += （3）一阶线性型 ( )( )yp x yq x+=，( ), ( )p x q x为已知。 pdxpdx yeeqdxC =+ 公式法 【例】求 2 22 yx y xy =+的通解 【解】 22 12 2 2 33 2 11 2222 111 222 22 xx yyyy yy xx x uuuux xx xx ucxycx + =+ = + =+ = =+=+ 【注】尚有两种类型，貌似二阶，实可降阶。 （1）( ,)yf x y=缺y 分析缺 y，干掉,y y , dp ypy dx =则( , ) dp f x p dx = （2）( ,)yf y y=缺x 分析缺x，绝不允许x再出现 2、高阶微分方程 （1）0ypyqy+=，,p q为已知常数（齐次） 1） 12 12 12 0, xx yC eC e =+ 通 2） 12 12 0,() x yCC x e=+ 通 3） 1,2 22 12 44 0,(cossin) 222 x pqp iqpp i yeCxCx 正项 （常）数项级数交错 级数 符号不限制任意项 幂级数 函数项级数 傅氏级数 一、 （常）数项级数 1、正项级数（ 1 ,(0) nn n uu = ）的敛散性判别 （1）五个重要的判别法 1）收敛原则 1 n n u = 收敛 n S有上界 【例】设0 n a，记 12 . nn Saaa=+，则 n S有界是 n a收敛的（ ） （A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）既非充分也非充要 【解】 1 lim lim0lim nnnn n n nnn nn SSSa aaa = = 单调增且有上界收敛存在收敛 存在收敛 故选 A 2）比较判别法设, nn uv 为正，且0 nn nn nn vu uv uv 收敛收敛 发散发散 【例 1】判别 1 2 0 1 1 n n x dx x = + 的敛散性 【解】 11 32 00 2 2 1 11 03 nn xx dxdx x n = + 1 32 0 11 2 2 1 31 n nn x dx x n = + 收敛，故收敛 【例 2】判别 3 1 0 1 1 n n x dx = + 的敛散性 【解】 35 3 22 0 0 111 0 2 1 5 n n x dx x dxn = + 5 3 11 2 0 11 2 1 5 n nn x dx n = + 收敛，故收敛 3）比较判别法的极限形式（重要重要） 设, nn uv 为正项，则 0 lim 0 nn n nn nn n n n nnn nnnn vu u uv uv u v vuv Auvuv = 收敛收敛 小 发散发散 收敛收敛 小 发散发散 与 一样小与同敛散 【例 1】判别 1 11 (ln(1) n nn = + 【解】 ()() 2 2 1 ,0 1111 11 ln 10ln 10 22 n n xxxx nnnn + + + 2 11 1 111 (ln(1) 2 nn nnn = + 收敛，故收敛 【例 2】判别 1 0 1 tan n n tdt = () 13 4 3 00 4 1 3 0 11 4 1 ,0 22 11 tan0tan0 33 2 1 tan 3 x n n nn n n tdtxxtdt n n tdt n + + = 发散，故发散 4）比值判别法设 n u 为正， 则 1 1 lim1 1 n n n u u + = 收敛 发散 该法失效，转而用比较判别法 5）比值判别法设 n u 为正，则 1 lim1 1 n n n u = 收敛 发散 该法失效 【注】 （1）4与5实质上是跟自己比，故通项自身的形式是否有特点是关键。 （2）若 n u中含有, ! n an等 1 lim n n n u u + 若 n u中含有 n a等 lim n n n u 【例】判别幂级数 1 ! n n n n x n = 在2,3x=处的敛散性 【解】 () () ( ) 1 1 1 1 lim 1 1 ! 22 1 ! 2 lim2lim ! 21 1 2 22 n n n n n n n nn nn n n n n x n nnn nn n ee e = + + + = + = + + = 当时，原式为 有达朗贝尔判别法可知 同理可得 1 !3 3n n n n ne = = 2、交错级数 1 1 ( 1),(0) n nn n uu = 莱布尼兹判别法 1） 1nn uu + 2）lim0 n n u = 【例 1】判别 1 1 ( 1)n n n = 【解】 1 1111 lim0, +1 1 ( 1) n n n nnnn n = = 单调递减， 由莱布尼茨判别法，可知收敛 【例 2】判别 2 ( 1) ( 1) n n nn = + 【解】 () () () () 2222 22 2 2 ( 1)( 1) ( 1)1 =( 1) 111( 1) 1 ( 1) 11 1 lim0,( ),( )0 11 21 11 ( 1) 1 nn n n n nnnn n nn n n n n n nnnn n nn xnx f xfxx nx x x xn xn n n = = = = + + = 发散，对于 对于充分大 单调递减，故单调递减 由莱布尼茨判别法可知 2 ( 1) ( 1) n n nn = + 收敛 所以发散 3、任意项级数 1）思路上来讲， 11 |0 nn nn uu = 加绝对值，转而用正项级数判别法 2）若 1 1 1 | n n n n n n u u u = = = 收敛 条件收敛 发散 ，若 11 | nn nn uu = 收敛绝对收敛 【例】若 2 1 n n a = 收敛，则 2 1 ( 1) |,( 0) n n n a n = + A）发散B）条件收敛C）绝对收敛D）无法判别 【解】 22 22 2 11 2 1 1111 |+ 2 1 | nnn nn n n aaa nn n a n = = + + + ，又和收敛 故收敛 故选 C 二、幂级数的收敛域 1、幂级数 ( ) 0 00 00 ()( )() ! n nn n nn fx xxaxx n = = ( ) 00 (0) ! n nn n nn f xa x n = = 2、首要任务依然是判敛 0 n n n a x = 1）具体到 0 x 0 0 n n n a x = 是否收敛 2）目标：找到所有收敛点的集合，称为收敛域（定义域） 3、阿贝尔定理 4、求收敛域的程序 （1） 00 ( )|( )| 0 nn nn uxux = 加绝对值 （2）用 1 |( )| lim( ) |( )| lim |( )|( ) n n n n n n ux x ux uxx + = = ，令( )1( , )xxa b 二、第一型曲线积分 1、概念 （1）( )( , ) b aL f x dxf x y ds （2） 22 ()()0dsdxdy=+ （3）( , )( , ( ),:( )f x yf x y xL yy x=其中 1）基础题化为定积分 （一投、二代、三计算） A） 2 ( , ),:( )( , ( ) 1 ( ( ) b La f x y ds L yy xf x y xy xdx=+ B） 22 ( ) ( , ),:,( ( ), ( ) ( )() ( ) tt L xx t f x y ds Ltf x ty txydt yy t = + = C） 22 ( )cos ( , ),:( ), ( )sin ( ( )cos , ( )sin )( )( ( ) L xr f x y ds L rr yr f rrrrd = = = + 2）技术题 A）代( )yy x=入( , )f x y B）形心公式 , LL LL xdsyds xy dsds = ; L L L L xdsxl ydsyl = = c）对称性 （1）普通对称性 1 2,( , )(, ) ( , ) 0,( , )(, ) L L f x yfx y f x y ds f x yfx y = = = （2）轮换对称性（直角坐标系） 若将L中的x与y对调，L不变，则( , )( , ) LL f x y dsf y x ds= 【例】设L为双纽线 222222 ()()xyaxy+=的全弧线段，常数0a，求| L y ds 【例】计算 2222 ( sin35 ) L Ixxyxyy ds=+ ， 2 2 :(1)1 3 x Ly+=，其周长为 a。 三、第一型曲面积分 1、概念 （1）( , )( , , ) D f x y df x y z dS （2） 22 22 22 1 ()(),(