阶微分方程应用习题.ppt

高阶微分方程,应用习题课,第七章 微分方程,二、二阶微分方程的实际应用,一、两类高阶微分方程的解法,1. 可降阶微分方程的解法,2. 二阶线性微分方程的解法,一、两类高阶微分方程的解法,1. 可降阶微分方程的解法 降阶法,令,令,逐次积分求解,2. 二阶线性微分方程的解法,常系数齐次情形, 代数法,特征方程:,实根,以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .,2. 二阶线性微分方程的解法,常系数非齐次情形, 代数法,为常数,其中 为实数 ,为 m 次多项式 .,1）,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .,将此式代入原方程比较系数即可确定该特解.,2. 二阶线性微分方程的解法,常系数非齐次情形, 代数法,为常数,则可设特解:,其中,为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.,将此式代入原方程比较系数即可确定该特解.,的解.,例1,设函数,内具有连续二阶导,1) 试将 xx( y) 所满足的微分方程,变换为 yy(x) 所满足的微分方程 ;,2) 求变换后的微分方程满足初始条件,数, 且,解,上式两端对 x 求导, 得,1) 由反函数的导数公式知,(2003考研),代入原微分方程得,2) 方程的对应齐次方程的通解为,设的特解为,代入得 A0,从而得的通解:,由初始条件,得,故所求初值问题的解为,二、微分方程的应用,1 . 建立数学模型 列微分方程问题,建立微分方程 ( 共性 ),利用物理规律,利用几何关系,确定定解条件 ( 个性 ),初始条件,边界条件,可能还有衔接条件,2 . 解微分方程问题,3 . 分析解所包含的实际意义,例2,解,欲向宇宙发射一颗人造卫星,为使其摆脱地球引,力,初始速度应不小于第二宇宙速度,试计算此速度.,设人造地球卫星质量为 m , 地球质量为 M ,卫星,的质心到地心的距离为 h ,由牛顿第二定律得:,(G 为引力系数),则有初值问题:,又设卫星的初速度,代入原方程, 得,两边积分得,利用初始条件, 得,因此,注意到,为使,因为当h = R (在地面上) 时, 引力 = 重力,即,代入即得,这说明第二宇宙速度为,练习题,从船上向海中沉放某种探测仪器, 按探测要求,需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度 v 之间的函数关,系.,设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉, 在,下沉过程中还受到阻力和浮力作用, 设仪器质量为 m,体积为B , 海水比重为 ,仪器所受阻力与下沉速度成,正比 , 比例系数为 k ( k 0 ) ,试建立 y 与 v 所满足的,微分方程, 并求出函数关系式 y = y (v) . (1995考研 ),提示: 建立坐标系如图.,质量 m 体积 B,由牛顿第二定律,重力,浮力,阻力,初始条件为,用分离变量法解上述初值问题得,得,注意:,在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0.,例3 有一电路如图所示,电阻 R 和电,解 列方程 .,已知经过电阻 R 的电压降为R i ;,经过 L的电压降为,因此有,即,初始条件:,由回路电压定律:,其中电源,求电流强度,感 L 都是常量,解方程:,由初始条件:,得,利用一阶线性方程解的公式可得,因此所求电流函数为,解的意义:,求电容器两两极板间电压,练习题,联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 ,所满足的微分方程 .,解 设电路中电流为 i(t),的电量为 q(t) ,自感电动势为,由电学知,根据回路电压定律:,设有一个电阻 R , 自感L,电容C 和电源E串,极板上,在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0,串联电路的振荡方程:,化为关于,的方程:,故有,如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ) , 则得,当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态,例4 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力与阻力作用下作往复运动,解,阻力的大小与运动速度,向下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手,物体在弹性,取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.,设时刻 t 物位移为 x(t)., 自由振动情况.,弹性恢复力,物体所受的力有:,(虎克定律),成正比, 方向相反.,1）建立位移满足的微分方程.,据牛顿第二定律得,则得有阻尼自由振动方程:,阻力, 强迫振动情况.,若物体在运动过程中还受铅直外,则得强迫振动方程:,力,2）,解,在无外力作用下做自由运动,求物体的运动规律,为 初始,设t = 0 时物体的位置,方程:,特征方程:,特征根:,方程通解:, 无阻尼自由振动情况 ( n = 0 ),利用初始条件得:,故所求特解:,简谐振动,A: 振幅, : 初相,周期:,固有频率,(仅由系统特性确定),解的特征:,方程:,特征方程:,特征根:,小阻尼: n k,这时需分如下三种情况进行讨论:, 有阻尼自由振动情况,大阻尼: n k,临界阻尼: n = k,解的特征,解的特征,解的特征,小阻尼自由振动解的特征 :,由初始条件确定任意常数后变形,运动周期:,振幅:,衰减很快,随时间 t 的增大物体 趋于平衡位置.,大阻尼解的特征:,( n k ),1) 无振荡现象;,此图参数:,2) 对任何初始条件,即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.,临界阻尼解的特征 :,( n = k ),任意常数由初始条件定,最多只与 t 轴交于一点;,即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.,2) 无振荡现象 ;,此图参数:,3）,的作用，求物体的运动规律.,解 问题归结为求解无阻尼强迫振动方程,当p k 时,齐次通解:,非齐次特解形式:,因此原方程之解为,若设物体只受弹性恢复力 f,和铅直干扰力,代入可得:,当干扰力的角频率 p 固有频率 k 时,自由振动,强迫振动,当 p = k 时,非齐次特解形式:,代入可得:,方程的解为,若要利用共振现象, 应使p 与k 尽量靠近, 或使,随着 t 的增大 , 强迫振动的振幅,这时产生共振现象 .,可无限增大,若要避免共振现象, 应使 p 远离固有频率 k ;,p = k .,自由振动,强迫振动,对机械来说, 共振可能引起破坏作用,如桥梁被破坏,电机机座被破坏等,但对电磁振荡来说,共振可能起,有利作用,如收音机的调频放大即是利用共振原理.,练习1 容器内溶液的含糖量问题,一容器内有糖水100L，含糖量为100克，现以5L/min的速度注入浓度为10克/L的糖水，同时将均匀混合的糖水以5L/min的速度排出. 求含糖量对时间变化的函数？,分析:,在时间微量dt 内容器含糖量的改变量,解得,该时间内排出盐水的含盐量,该时间内注入盐水的含盐量,练习2 污水治理问题,某湖泊水量为V, 每年均匀排入含污染物A的污水量V/6, 流入不含污物A的水量也是V/6,同时每年以匀速将V/3的水量排出湖泊. 经测m(0)=5m0, 为治理执行限排标准. 排入湖泊中的污染物含 A 浓度不得超过每年m0/V.假定湖中含A总是均匀的, 问几年后A