四川省绵阳市2017年高考数学二诊试卷(理科)(解析版).doc

四川省绵阳市2017年高考数学二诊试卷（理科）(解析版)一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知集合A=xZ|x2，B=x|（x1）（x3）0，则AB=（）AB2C2，3Dx|2x32若复数z满足（1+i）z=i（i是虚数单位），则z的虚部为（）ABC iD3某校共有在职教师200人，其中高级教师20人，中级教师100人，初级教师80人，现采用分层抽样抽取容量为50的样本进行职称改革调研，则抽取的初级教师的人数为（）A25B20C12D54“a=1”是“直线l1：ax+（a1）y1=0与直线l2：（a1）x+（2a+3）y3=0垂直”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5某风险投资公司选择了三个投资项目，设每个项目成功的概率都为，且相互之间设有影响，若每个项目成功都获利20万元，若每个项目失败都亏损5万元，该公司三个投资项目获利的期望为（）A30万元B22.5万元C10万元D7.5万元6宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n等于（）A2B3C4D57若一个三位自然数的各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们把这样的三位自然数定义为“单重数”，例：112，232，则不超过200的“单重数”个数是（）A19B27C28D378过点P（2，1）的直线l与函数f（x）=的图象交于A，B两点，O为坐标原点，则=（）AB2C5D109已知cos，sin是函数f（x）=x2tx+t（tR）的两个零点，则sin2=（）A22B22C1D110设F1，F2分别为双曲线C：的两个焦点，M，N是双曲线C的一条渐近线上的两点，四边形MF1NF2为矩形，A为双曲线的一个顶点，若AMN的面积为，则该双曲线的离心率为（）A3B2CD11已知点P（2，）在椭圆C： +=1（ab0）上，过点P作圆C：x2+y2=2的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，则a2+b2的值是（）A13B14C15D1612已知f（x）=ex，g（x）=lnx，若f（t）=g（s），则当st取得最小值时，f（t）所在区间是（）A（ln2，1）B（，ln2）C（，）D（，）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（）5的展开式的常数项为14已知甲、乙二人能译出某种密码的概率分别为和，现让他们独立地破译这种密码，则至少有1人能译出密码的概率为15已知直线mxy+m+2=0与圆C1：（x+1）2+（y2）2=1相交于A，B两点，点P是圆C2：（x3）2+y2=5上的动点，则PAB面积的最大值是16已知抛物线C：y2=4x，焦点为F，过点P（1，0）作斜率为k（k0）的直线l与抛物线C交于A，B两点，直线AF，BF分别交抛物线C于M，N两点，若+=18，则k=三、解答题（共5小题，满分60分）17（12分）数列an中，an+22an+1+an=1（nN*），a1=1，a2=3（1）求证：an+1an是等差数列；（2）求数列的前n项和Sn18（12分）已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且abc，C=2A（1）若c=a，求角A；（2）是否存在ABC恰好使a，b，c是三个连续的自然数？若存在，求ABC的周长；若不存在，请说明理由19（12分）2016年下半年，锦阳市教体局举行了市教育系统直属单位职工篮球比赛，以增强直属单位间的交流与合作，阻值方统计了来自A1，A2，A3，A4，A5等5个直属单位的男子篮球队的平均身高与本次比赛的平均得分，如表所示： 单位 A1A2 A3A4 A5 平均身高x（单位：cm） 170 174 176 181 179 平均得分y62 6466 7068 （1）根据表中数据，求y关于x的线性回归方程；（系数精确到0.01）（2）若M队平均身高为185cm，根据（I）中所求得的回归方程，预测M队的平均得分（精确到0.01）注：回归当初中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，20（12分）已知椭圆C：的右焦点F（），过点F作平行于y轴的直线截椭圆C所得的弦长为（1）求椭圆的标准方程；（2）过点（1，0）的直线l交椭圆C于P，Q两点，N点在直线x=1上，若NPQ是等边三角形，求直线l的方程21（12分）已知函数f（x）=+lnx1（mR）的两个零点为x1，x2（x1x2）（1）求实数m的取值范围；（2）求证： +选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）已知曲线C的参数方程是（为参数）（1）将C的参数方程化为普通方程；（2）在直角坐标系xOy中，P（0，2），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos+sin+2=0，Q为C上的动点，求线段PQ的中点M到直线l的距离的最小值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|x1|+|xt|（tR）（1）t=2时，求不等式f（x）2的解集；（2）若对于任意的t1，2，x1，3，f（x）a+x恒成立，求实数a的取值范围2017年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知集合A=xZ|x2，B=x|（x1）（x3）0，则AB=（）AB2C2，3Dx|2x3【考点】交集及其运算【分析】化简集合B，根据交集的定义写出AB即可【解答】解：集合A=xZ|x2，B=x|（x1）（x3）0=x|1x3，则AB=2故选：B【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目2若复数z满足（1+i）z=i（i是虚数单位），则z的虚部为（）ABC iD【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】由（1+i）z=i，得，再利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，则答案可求【解答】解：由（1+i）z=i，得=，则z的虚部为：故选：A【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3某校共有在职教师200人，其中高级教师20人，中级教师100人，初级教师80人，现采用分层抽样抽取容量为50的样本进行职称改革调研，则抽取的初级教师的人数为（）A25B20C12D5【考点】分层抽样方法【分析】根据分层抽样的定义即可得到结论【解答】解：初级教师80人，抽取一个容量为50的样本，用分层抽样法抽取的初级教师人数为，解得n=20，即初级教师人数应为20人，故选：B【点评】本题主要考查分层抽样的应用，比较基础4“a=1”是“直线l1：ax+（a1）y1=0与直线l2：（a1）x+（2a+3）y3=0垂直”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分必要条件的定义以及直线的垂直关系判断即可【解答】解：若直线l1：ax+（a1）y1=0与直线l2：（a1）x+（2a+3）y3=0垂直，则：a（a1）+（a1）（2a+3）=0，解得：a=1或1，故“a=1”是“直线l1：ax+（a1）y1=0与直线l2：（a1）x+（2a+3）y3=0垂直”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题考查了充分必要条件，考查直线的垂直关系，是一道基础题5某风险投资公司选择了三个投资项目，设每个项目成功的概率都为，且相互之间设有影响，若每个项目成功都获利20万元，若每个项目失败都亏损5万元，该公司三个投资项目获利的期望为（）A30万元B22.5万元C10万元D7.5万元【考点】离散型随机变量的期望与方差【分析】设该公司投资成功的个数为X，则XB进而得出【解答】解：设该公司投资成功的个数为X，则XBE（X）=该公司三个投资项目获利的期望=22.5万元故选：B【点评】本题考查了二项分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n等于（）A2B3C4D5【考点】程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，故选C【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答7若一个三位自然数的各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们把这样的三位自然数定义为“单重数”，例：112，232，则不超过200的“单重数”个数是（）A19B27C28D37【考点】进行简单的合情推理【分析】根据“单重数”的定义，分类讨论，即可得出结论【解答】解：由题意，不超过200，两个数字一样为0，有2个，两个数字一样为1，110，101，112，121，113，131，114，141，115，151，116，161，117，171，118，181，119，191，有18个，两个数字一样为2，122，有一个，同理两个数字一样为3，4，5，6，7，8，9，各1个，综上所述，不超过200的“单重数”个数是2+18+8=28，故选C【点评】本题考查合情推理，考查计数原理的运用，正确分类讨论是关键8过点P（2，1）的直线l与函数f（x）=的图象交于A，B两点，O为坐标原点，则=（）AB2C5D10【考点】平面向量数量积的运算【分析】f（x）=1+，可得函数f（x）=的图象关于点P（2，1）对称，过点P（2，1）的直线l与函数f（x）=的图象交于A，B两点，A，B两点关于点P（2，1）对称=即可【解答】解：f（x）=1+，函数f（x）=的图象关于点P（2，1）对称，过点P（2，1）的直线l与函数f（x）=的图象交于A，B两点，A，B两点关于点P（2，1）对称，则=，|=，则=25=10故选：D【点评】本题考查了函数的对称性及向量的运算，属于中档题9已知cos，sin是函数f（x）=x2tx+t（tR）的两个零点，则sin2=（）A22B22C1D1【考点】三角函数的化简求值；函数的零点与方程根的关系【分析】通过韦达定理可求sin+cos=t，sincos=t，利用sin2+cos2=1，则可得答案【解答】解：cos，sin是函数f（x）=x2tx+t（tR）的两个零点，sin+cos=t，sincos=t，由sin2+cos2=1，得（sin+cos）22sincos=1，即t22t=1，解得t=sin2=2sincos=2t=故选：A【点评】本题考查三角函数化简求值，注意同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力，是基础题10设F1，F2分别为双曲线C：的两个焦点，M，N是双曲线C的一条渐近线上的两点，四边形MF1NF2为矩形，A为双曲线的一个顶点，若AMN的面积为，则该双曲线的离心率为（）A3B2CD【考点】双曲线的简单性质【分析】设M（x， x），由题意，|MO|=c，则x=a，M（a，b），利用AMN的面积为，建立方程，即可求出双曲线的离心率【解答】解：设M（x， x），由题意，|MO|=c，则x=a，M（a，b），AMN的面积为，4a2（c2a2）=c4，e44e2+4=0，e=故选D【点评】本题考查双曲线的离心率，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题11已知点P（2，）在椭圆C： +=1（ab0）上，过点P作圆C：x2+y2=2的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，则a2+b2的值是（）A13B14C15D16【考点】椭圆的简单性质【分析】由题意，以OP为直径的圆的方程为（x+1）2+（y）2=，与圆C：x2+y2=2相减，可得直线AB的方程，求出c，再利用点P（2，）在椭圆C： +=1（ab0）上，求出a2=8，b2=7，即可求出a2+b2的值【解答】解：由题意，以OP为直径的圆的方程为（x+1）2+（y）2=与圆C：x2+y2=2相减，可得直线AB的方程为2xy+2=0，令y=0，可得x=1，c=1，=1，a2=8，b2=7，a2+b2=8+7=15，故选C【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题12已知f（x）=ex，g（x）=lnx，若f（t）=g（s），则当st取得最小值时，f（t）所在区间是（）A（ln2，1）B（，ln2）C（，）D（，）【考点】指数函数的图象与性质【分析】求出st=ealna，（a0），令h（a）=ea，求出h（a）的最小值，验证即可【解答】解：令f（t）=g（s）=a，即et=lns=a0，t=lns，s=ea，st=ealna，（a0），令h（a）=ea，则h（a）=ea，y=ea递增，y=递减，故存在唯一a=a0使得h（a）=0，0aa0时，ea，h（a）0，aa0时，ea，h（a）0，h（a）min=h（a0），即st取最小值是时，f（t）=a=a0，由零点存在定理验证=0的根的范围：a0=时，0，a0=ln2时，0，故a0（，ln2），故选：B【点评】本题考查了函数的零点问题，考查函数的单调性以及导数的应用，是一道中档题二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（x2+1）（）5的展开式的常数项为11【考点】二项式定理的应用【分析】把（）5按照二项式定理展开，可得（x2+1）（）5的展开式的常数项【解答】解：由于（x2+1）（）5=（x2+1）（+1），故展开式的常数项为101=11，故答案为：11【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题14已知甲、乙二人能译出某种密码的概率分别为和，现让他们独立地破译这种密码，则至少有1人能译出密码的概率为【考点】相互独立事件的概率乘法公式【分析】至少有1人能译出密码的对立事件是两人都不能译出密码，由此利用对立事件概率计算公式能求出至少有1人能译出密码的概率【解答】解：甲、乙二人能译出某种密码的概率分别为和，现让他们独立地破译这种密码，至少有1人能译出密码的对立事件是两人都不能译出密码，至少有1人能译出密码的概率：p=1（1）（1）=故答案为：【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用15已知直线mxy+m+2=0与圆C1：（x+1）2+（y2）2=1相交于A，B两点，点P是圆C2：（x3）2+y2=5上的动点，则PAB面积的最大值是3【考点】直线与圆的位置关系【分析】由题意，直线恒过定点（1，2），即C1圆的圆心，|AB|=2，圆心C2到直线mxy+m+2=0的最大距离为=2，可得P到直线mxy+m+2=0的最大距离为3，即可求出PAB面积的最大值【解答】解：由题意，直线恒过定点（1，2），即C1圆的圆心，|AB|=2圆心C2到直线mxy+m+2=0的最大距离为=2，P到直线mxy+m+2=0的最大距离为3，PAB面积的最大值是3=3，故答案为3【点评】本题考查直线过定点，考查点到直线的距离公式，考查三角形面积的计算，属于中档题16已知抛物线C：y2=4x，焦点为F，过点P（1，0）作斜率为k（k0）的直线l与抛物线C交于A，B两点，直线AF，BF分别交抛物线C于M，N两点，若+=18，则k=【考点】直线与抛物线的位置关系【分析】由题意，图形关于x轴对称，A，B，P三点共线，可得=由焦半径公式|AF|=x1+1=|NF|，|BF|=x2+1=|MF|， +=+=18，（y1+y2）2=20y1y2，再利用韦达定理，即可得出结论【解答】解：由题意，图形关于x轴对称，A，B，P三点共线，可得=由焦半径公式|AF|=x1+1=|NF|，|BF|=x2+1=|MF|，+=+=18，（y1+y2）2=20y1y2，由，可得ky24y+4k=0，y1+y2=，y1y2=4， =80，k0，k=故答案为【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题三、解答题（共5小题，满分60分）17（12分）（2017绵阳模拟）数列an中，an+22an+1+an=1（nN*），a1=1，a2=3（1）求证：an+1an是等差数列；（2）求数列的前n项和Sn【考点】数列的求和【分析】（1）令cn=an+1an，通过cn+1cn=1，说明an+1an是以2为首项，1为公差的等差数列（2）由（1）知cn=n+1，求出an，化简=2（）利用裂项求和求解即可【解答】解：（1）证明：令cn=an+1an，则cn+1cn=（an+2an+1）（an+1an）=an+22an+1+an=1（常数），c1=a2a1，=2，故an+1an是以2为首项，1为公差的等差数列 （4分）（2）由（1）知cn=n+1，即an+1an=n+1，于是an=（anan1）（an1an2）+（a2a1）+a1=n+（n1）+2+1=，（8分）故=2（）Sn=2（1）+2（）+2（）+2（）=2（1）= （12分）【点评】本题考查数列求和，等差数列的判断，考查计算能力18（12分）（2017绵阳模拟）已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且abc，C=2A（1）若c=a，求角A；（2）是否存在ABC恰好使a，b，c是三个连续的自然数？若存在，求ABC的周长；若不存在，请说明理由【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）由正弦定理有sinC=sinA，又C=2A，利用倍角公式可求2sinAcosA=sinA，结合sinA0，可得cosA=，即可得解A的值（2）设a=n，b=n+1，c=n+2，nN*由已知利用二倍角公式可求cosA=，由余弦定理得=，解得n=4，求得a，b，c的值，从而可求ABC的周长【解答】（本题满分为12分）解：（1）c=a，由正弦定理有sinC=sinA （2分）又C=2A，即sin2A=sinA，于是2sinAcosA=sinA，（4分）在ABC中，sinA0，于是cosA=，A= （6分）（2）根据已知条件可设a=n，b=n+1，c=n+2，nN*由C=2A，得sinC=sin2A=2sinAcosA，cosA= （8分）由余弦定理得=，代入a，b，c可得：=，（10分）解得n=4，a=4，b=5，c=6，从而ABC的周长为15，即存在满足条件的ABC，其周长为15 （12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，二倍角公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题19（12分）（2017绵阳模拟）2016年下半年，锦阳市教体局举行了市教育系统直属单位职工篮球比赛，以增强直属单位间的交流与合作，阻值方统计了来自A1，A2，A3，A4，A5等5个直属单位的男子篮球队的平均身高与本次比赛的平均得分，如表所示： 单位 A1A2 A3A4 A5 平均身高x（单位：cm） 170 174 176 181 179 平均得分y62 6466 7068 （1）根据表中数据，求y关于x的线性回归方程；（系数精确到0.01）（2）若M队平均身高为185cm，根据（I）中所求得的回归方程，预测M队的平均得分（精确到0.01）注：回归当初中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，【考点】线性回归方程【分析】（1）求出样本中心点，利用最小二乘法得到线性回归方程的系数，得到线性回归方程；（2）当x=185代入回归直线方程，即可预测M队的平均得分【解答】解：（1）由已知有=176， =66，=0.73， =62.48，y=0.73x62.48（10分）（2）x=185，代入回归方程得y=0.7318562.48=72.57，即可预测M队的平均得分为72.57 （12分）【点评】本题考查采用最小二乘法，求线性回归方程及线性回归方程的简单应用，考查计算能力，属于基础题20（12分）（2017绵阳模拟）已知椭圆C：的右焦点F（），过点F作平行于y轴的直线截椭圆C所得的弦长为（1）求椭圆的标准方程；（2）过点（1，0）的直线l交椭圆C于P，Q两点，N点在直线x=1上，若NPQ是等边三角形，求直线l的方程【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程【分析】（） 设椭圆C的焦半距为c，则c=，于是a2b2=6把x=c代入椭圆的标准方程可得：y=，即=，联立解出即可得出（）设直线PQ：x=ty+1，P（x1，y1），Q（x2，y2）联立直线与椭圆方程可得：（t2+4）y2+2ty7=0，利用一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、等边三角形的性质即可得出【解答】解：（） 设椭圆C的焦半距为c，则c=，于是a2b2=6把x=c代入椭圆的标准方程可得： =1，整理得y2=b2（1）=，解得y=，=，即a2=2b4，2b4b26=0，解得b2=2，或b2=（舍去），进而a2=8，椭圆C的标准方程为+=1（）设直线PQ：x=ty+1，P（x1，y1），Q（x2，y2）联立直线与椭圆方程：，消去x得：（t2+4）y2+2ty7=0，y1+y2=，y1y2=于是x1+x2=t（y1+y2）+2=，故线段PQ的中点D设N（1，y0），由|NP|=|NQ|，则kNDkPQ=1，即=t，整理得y0=t+，得N又NPQ是等边三角形，|ND|=|PQ|，即，即+=，整理得=，解得 t2=10，t=，直线l的方程是x1=0【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题21（12分）（2017绵阳模拟）已知函数f（x）=+lnx1（mR）的两个零点为x1，x2（x1x2）（1）求实数m的取值范围；（2）求证： +【考点】函数零点的判定定理【分析】（1）求导数，分类讨论，利用函数f（x）=+lnx1（mR）的两个零点，得出ln2m0，即可求实数m的取值范围；（2）由题意方程m=有两个根为t1，t2，不妨设t1=，t2=，要证明+，即证明t1+t2，即证明h（t1）h（t2）令（x）=h（x）h（x），证明（x）0对任意x（0，）恒成立即可【解答】（1）解：f（x）=m0，f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增，不可能有两个零点；m0，f（x）0可解得x2m，f（x）0可解得0x2m，f（x）在（0，2m）上单调递减，在（2m，+）上单调递增，f（x）min=f（2m）=ln2m，由题意， ln2m0，0m；（2）证明：令t=，f（）=mt2lnt1=0，由题意方程m=有两个根为t1，t2，不妨设t1=，t2=令h（t）=，则h（t）=，令h（t）0，可得0t，函数单调递增；h（t）0，可得t，函数单调递减由题意，t1t20，要证明+，即证明t1+t2，即证明h（t1）h（t2）令（x）=h（x）h（x），下面证明（x）0对任意x（0，）恒成立，（x）=+，x（0，），lnx10，x2，（x）0，（x）在（0，）上是增函