2019秋高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系评估验收（二）（含解析）新人教A版必修2.docx

评估验收(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条直线()A相交B异面C相交或异面 D平行解析：如图所示，abc，则l与a相交，l与b，c异面答案：C2.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为A1B1的中点，ABBC2BB12，AC2，则异面直线BD与AC所成的角为()A30 B45C60 D90解析：如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则ACA1C1DE，则BDE即为异面直线BD与AC所成的角由条件可知BDDEEB，则BDE60.答案：C3若直线a直线b，且a平面，则()Ab BbCb Db或b解析：当b时，a，则ab；当b时，a，则ab；当b时，a，则ab.所以直线ab，且a时，b或b.答案：D4如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与平面AB1C平行的直线是()ADD1 BA1D1CC1D1 DA1D解析：因为A1B1DC，A1B1DC，所以四边形A1B1CD是平行四边形，所以A1DB1C，因为A1D平面AB1C，B1C平面AB1C，所以A1D平面AB1C.答案：D5设l为直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A若l，l，则B若l，l，则C若l，l，则D若，l，则l解析：若l，l，则平面与可能相交，可能平行，故A错误；若l，l，则根据垂直于同一条直线的两个平面平行，可得B正确；若l，l，则，故C错误；若，l，则l与可能相交，可能平行，也可能l，故D错误答案：B6在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论中不成立的是()ABC平面PDF BDF平面PAEC平面PDF平面ABCD平面PAE平面ABC解析：可画出对应图形，如图所示，则BCDF.又DF平面PDF，BC平面PDF，所以BC平面PDF，故A成立由AEBC，PEBC，BCDF，知DFAE，DFPE，所以DF平面PAE，故B成立又DF平面ABC，所以平面ABC平面PAE，故D成立答案：C7(2017全国卷)如图所示，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()解析：选项A符合题意；选项B中，ABMQ，则直线AB平面MNQ；选项C中，ABMQ，则直线AB平面MNQ；选项D中，ABNQ，则直线AB平面MNQ.答案：A8.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()ACC1与B1E是异面直线BAC平面ABB1A1CAE，B1C1为异面直线，且AEB1C1DA1C1平面AB1E解析：由已知ACAB，E为BC的中点，得AEBC.又因为BCB1C1，所以AEB1C1，选项C正确答案：C9如图所示，A是平面BCD外一点，E，F，G分别是BD，DC，CA的中点，设过这三点的平面为，则在图中的6条直线AB，AC，AD，BC，CD，DB中，与平面平行的直线有()A0条 B1条C2条 D3条解析：显然AB与平面相交，且交点是AB的中点，AB，AC，DB，DC四条直线均与平面相交在BCD中，由已知得EFBC，又EF，BC，所以BC.同理，AD，所以在题图中的6条直线中，与平面平行的直线有2条答案：C10在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A. B.C. D.解析：如图所示，连接BE，因为CDAB，所以BAE即为异面直线AE与CD所成的角设正方体的棱长为2，则BE.因为AB平面BB1C1C，所以ABBE.在RtABE中，tan BAE.答案：C11在直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A30 B45C60 D90解析：如图所示，延长CA至点M，使AMCA，则A1MC1A，MA1B或其补角为异面直线BA1与AC1所成的角连接BM，易知BMA1为等边三角形，因此，异面直线BA1与AC1所成的角为60.答案：C12若P为ABC所在平面外一点，分别连接PA，PB，PC，则所构成的4个三角形中直角三角形的个数最多为()A1 B2C3 D4解析：设ABC为直角三角形，过一锐角顶点PA平面ABC，则4个三角形都是直角三角形答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13已知平面平面l，a，a，则直线a与直线l的位置关系是_解析：如图所示，因为l，a，a，所以al.答案：平行14在三棱锥PABC中，PAPBPCBC，且BAC90，则PA与底面ABC所成的角为_解析：PAPBPC，则点P在底面ABC上的射影落在RtABC斜边BC上，即为BC的中点设为点D，则PAD即为所求答案：6015.如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，点E是SA上一点，当SESA_时，SC平面EBD.解析：如图，连接AC，设AC与BD的交点为O，连接EO.因为四边形ABCD是平行四边形，所以点O是AC的中点因为SC平面EBD，且平面EBD平面SACEO，所以SCEO.所以点E是SA的中点，此时SESA12.答案：1216如图，平行四边形ABCD中，ABBD，沿BD将ABD折起，使平面ABD平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面共有_对解析：由题意知，直线AB平面BCD，直线CD平面ABD，所以平面ABD平面BCD，平面ABC平面BCD，平面ABD平面ACD，共有3对答案：3三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)如图所示，在四面体PABC中，PCAB，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点，求证：(1)DE平面BCP；(2)四边形DEFG为矩形证明：(1)因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DEPC.又因为DE平面BCP，PC平面BCP，所以DE平面BCP.(2)因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，所以DEPCFG，DGABEF.所以四边形DEFG为平行四边形又因为PCAB，所以DEDG.所以四边形DEFG为矩形18.(2017北京卷)(本小题满分12分)如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点(1)求证：PABD；(2)求证：平面BDE平面PAC；(3)当PA平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积(1)证明：因为PAAB，PABC，所以PA平面ABC.又因为BD平面ABC，所以PABD.(2)证明：因为ABBC，D为AC的中点，所以BDAC.由(1)知，PABD，所以BD平面PAC.所以平面BDE平面PAC.(3)解：因为PA平面BDE，平面PAC平面BDEDE，所以PADE.因为D为AC的中点，ABBC，所以DEPA1，BDDC.由(1)知，PA平面ABC，所以DE平面ABC.所以三棱锥EBCD的体积VBDDCDE.19.(本小题满分12分)如图所示，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA平面ABCD，BCAD，CD1，AD2，BADCDA45.(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值；(2)证明：CD平面ABF.(1)解：因为四边形ADEF是正方形，所以FAED，故CED为异面直线CE与AF所成的角因为FA平面ABCD，所以FACD，故EDCD.在RtCDE中，因为CD1，ED2，所以CE3，所以cos CED.故异面直线CE与AF所成角的余弦值为.(2)证明：如图，过点B作BGCD交AD于点G，则BGACDA45.由BAD45可得BGAB，从而CDAB.又因为CDFA，FAABA，FA平面ABF，AB平面ABF.所以CD平面ABF.20(本小题满分12分)如图所示，PA是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A，B的任意一点，PAAB2.(1)求证：BCPC；(2)求三棱锥P-ABC体积的最大值，并写出此时三棱锥P-ABC外接球的表面积(1)证明：易知PA平面ABC，所以PABC，因为AB是圆柱底面圆的直径，所以BCAC，又ACPAA，所以BC平面PAC，又PC平面PAC，所以BCPC.(2)解：由已知得，三棱锥P-ABC的高PA2，故当直角ABC的面积最大时，三棱锥PABC的体积最大，易知当点C在弧AB的中点时，ABC的面积最大，此时SABC1，所以VP-ABC21.易知三棱锥PABC的外接球的直径为PB，且PB2.所以外接球的半径R，故S外接球4R28.21.(2018全国卷)(本小题满分12分)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点(1)证明：平面AMD平面BMC；(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC平面PBD？说明理由(1)证明：由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为CD.因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，故BCDM.因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DMCM.又BCCMC，所以DM平面BMC.又DM平面AMD，故平面AMD平面BMC.(2)解：当P为AM的中点时，MC平面PBD.证明如下：连接AC交BD于点O.因为ABCD为矩形，所以O为AC中点连接OP，因为P为AM中点，所以MCOP.MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC平面PBD.22(本小题满分12分)如图，等边三角形ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边上的点，且满足k，现将ABC沿CD翻折成直二面角ADCB，如图.(1)试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；(2)求二面角BACD的正切值图图解：(1)AB平面DEF，理由如下：在ABC中，因为E，F分别是AC