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高一数学习题例1 已知、，则在以下各命题中，正确的命题共有（ ）（1），时，与的方向一定相反 （2），时，与的方向一定相同 （3），时，与是共线向量 （4），时，与的方向一定相同 （5），时，与的方向一定相反 A2个 B3个 C4个 D5个 分析；要对以上5个命题进行真假判断，只要掌握关于实数与向量的积是一个向量，其方向规定为：当时，的方向与的方向相同，当时，的方向与的方向相反，就不难作出正确选择解：根据实数与向量的积的方向的规定，易知命题（1）、（2）、（3）都是正确的 对于命题（4）与（5），（），可得、同为正或同为负，所以与或者都与同向，或者都与反向，所以与同向故命题（4）是正确的；（）若，则与异号，与与中，一个与同向，一个与反向，与反向，故命题（5）也是正确的 综上所述，应选择（D）例2计算：（1） ；（2）解：（1）原式（2）原式评注：实数与向量的积的运算法则类似于整式的加减运算法则。例3 如图（1），已知向量、，求作向量解：在平面上任取点O，作，则，如图（2）。评注：作向量，要使与同向，且的长度等于的长度的2倍；作则同理可作。例4 如图，D是ABC中BC边的中点，求证：证法一：D是BC边的中点， 证法二：延长AD到E，使DEAD，连BE、CE，如图，则四边形ABCE是平行四边形 由向量加法的平行四边形法则知：例5 已知、不共线，试判断与是否共线？分析；要判断与是否共线，只要看是否存在实数，使解：，与共线。例6 已知三角形ABC，点D、E分别在线段AB和AC上，且，证明证明：如图，设（，），则，例7 设平面上有点P和ABC，已知，试确定P的位置。解：，则由题意得：，即， 点P在线段AC上，且将线段AC分成（如图）例8 已知：ABC和点G，试证：点G是ABC的重心的充要条件是：证明：如图，以线段GA和GB为邻边作，连EG交AB于D，则D是AB 的中点，且，充分性：若，则，G是ABC的重心。必要性：若G是ABC的重心，则因D是AB边的中点，所以有，例9 如图，已知ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点，求证：（1）；（2）；（3）点拨：要证明（1）只须证明；要证（2）只须证明对于（3），可将等式左边诸向量代换成一些有明显关系的向量再进行运算。证明： 这说明 同理， ， 点评：用向量方法来证明平面几何命题，应先把结论写成向量形式，然后通过向量运算来完成，而不是通过平面几何的公理体系来完成例10 在ABC中（右图），设D及E是BC的三等分点，D在B和E之间，F是AC的中点，G是AB的中点，又设H是线段EG和DF的交点，试用向量法求比值解：设，则，现在把上式中的每一个向量用及表示：，把这些式子代入前面的等式，我们有即由于，不共线，所以解之从而得说明：上述求解过程中没有利用平面几何中的有关结论。其实采用纯平几法求解是十分简洁的。例11 已知向量，其中、不共线，向量，问是否存在这样的实数、，使向量与共线？解： 要与共线，则应有实数，使，即，由 得故存在这样的实数、，只要，就能使与共线。评注：向量与共线，则必有请问：若，向量与共线吗？例12 如图，、不共线，点P是直线AB上的一点，且（，），试用、表示。分析：与、没有直接的联系，这时我们可以在OAP（或OPB）中，把用和（或与）表示出来。解：例13 如图，点E、F分别为四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，设，试用、表示。错解：连BE并延长交CD于G，连AG。由于E是AC与BG的中点，所以四边形ABCG是平行四边形。因此、又F是BD的中点，点击：由于四边形ABCD不是梯形，而是一般的四边形所以，点E是AC的中点，但并不一定是BG的中点因此，四边形ABCG并不一定是平行四边形，所以不一定等于，故上述解法是错误的正解：如图，取AB中