高中数学不等式归纳讲解.doc

第三章 不等式 定义：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。3-1 不等式的最基本性质对称性：如果xy，那么yx；如果yx，那么xy；传递性：如果xy，yz；那么xz；加法性质；如果xy，而z为任意实数，那么xzyz；乘法性质：如果xy，z0，那么xzyz；如果xy，z0，那么xzyz;（符号法则）3-2 不等式的同解原理 不等式F（x） G（x）与不等式 G（x）F（x）同解。 如果不等式F（x） G（x）的定义域被解析式H（ x ）的定义域所包含，那么不等式 F（x）G（x）与不等式F（x）H（x）G（x）H（x）同解。如果不等式F（x）G（x） 的定义域被解析式H（x）的定义域所包含，并且H（x）0，那么不等式F(x)G（x）与不等式H（x）F（x）H（ x ）G（x） 同解；如果H（x）0，那么不等式F（x）G（x）与不等式H (x)F（x）H（x）G（x）同解。 不等式F（x）G（x）0与不等式或同解不等式解集表示方式F(x)0的解集为x大于大的或x小于小的F(x)2；(2)|26|3形如|型不等式这类不等式的简捷解法是等价命题法，即：|或3、两个绝对值不等式解不等式（1）|1|5.形如|型不等式1）此类不等式的简捷解法是利用平方法，即：|02）所谓零点分段法，是指：若数，分别使含有|，|，|的代数式中相应绝对值为零，称，为相应绝对值的零点，零点，将数轴分为+1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化。例题不等式|x+3|-|2x-1|+1的解集为 。解： |x+3|-|2x-1|=4、含参数绝对值不等式解关于x的不等式 解题原不等式等价于 当即时， 当即时， x-6当即时， xR方法归纳：形如|()型不等式此类不等式的简捷解法是等价命题法，即： 当0时，|或； 当=0时，|0 当0时，|有意义。4、含参数绝对值不等式有解、解集为空和恒成立的问题若不等式|4|+|3|0时，先求不等式|4|+|3|有解时的取值范围。令4=0得=4，令3=0得=3 当4时，原不等式化为4+3，即271 当34时，原不等式化为4+31 当3时，原不等式化为4+3即721综合可知，当1时，原不等式有解，从而当01时，|4|+|3|4|+|3|4+3|=1当1时，|4|+|3|有解从而当1时，原不等式解集为空集。方法总结：1）一题有多法，解题时需学会寻找最优解法。2）有解；解集为空集；这两者互补。恒成立。有解；解集为空集；这两者互补。恒成立。有解；解集为空集；这两者互补。恒成立。有解；解集为空集；这两者互补。恒成立。6、绝对值三参数不等式问题已知函数，当时，求证：；，则当时，求证：。思路本题中所给条件并不足以确定参数a,b,c的值，但应该注意到：所要求的结论不是的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以用 、来表示,。因为由已知条件得，。解题证明：(1)由，从而有(2)由 从而 将以上三式代入，并整理得收获1） 二次函数的一般式中有三个参数. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数. 2）本题变形技巧性强，同时运用公式，及已知条件进行适当的放大。要求同学们做题时要有敏锐的数学观察能力。例题2已知函数f(x)=，a,bR，且，求证|f(a)-f(b)|a-b|。分析：要证，考察左边，是否能产生|a-b|。证明：|f(a)-f(b)|= （其中，同理）回顾：1、证题时，应注意式子两边代数式的联系，找出它们的共同点是证题成功的第一步。此外，综合运用不等式的性质是证题成功的关键。如在本例中，用到了不等式的传递性，倒数性质，以及“三角形不等式”等等。2、本题的背景知识与解析几何有关。函数是双曲线，的上支，而（即），则表示该图象上任意两点连线的斜率的绝对值。（学过有关知识后），很显然这一斜率的范围是在（-1，1）之间。2（1）已知不等式|x-3|+|x+1|a，的解集为空集，求a的取值范围；（2）已知不等式|x-3|+|x+1|a有解，求a的取值范围。分析：“有解”即“解集非空”，可见（1）（2）两小题的答案（集合）互为补集（全集为R）当然可以用|x-3|+|x+1|=这种“去绝对值”的方法来解，但我们考虑到“三角形不等式”：|a|-|b|ab|a|+|b|知|x-3|+|x+1|x-3-x-1|=4这样|x-3|+|x+1|4。解（略）回顾：本题是“绝对值不等式性质定理”（即“三角形不等式”）的一个应用。发展题：（1）已知不等式|x-3|+|x+1|a的解集非空，求a的取值范围。（2）已知不等式|x-3|+|x+1|a的解集非空，求a的取值范围。3已知f(x)的定义域为0,1，且f(0)=f(1)，如果对于任意不同的x1,x20,1，都有|f(x1)-f(x2)|x1-x2|，求证：|f(x1)-f(x2)|分析：题设中没有给出f(x)的解析式，这给我们分析f(x)的结构带来困难，事实上，可用的条件只有f(0)=f(1) ，与|f(x1)-f(x2)|x1-x2|两个。首先，若|x1-x2|，那么必有|f(x1)-f(x2)|x1-x2|即|f(x1)-f(x2)|呢？考虑到0|x1-x2|1，则1-|x1-x2|，看来要证明的是|f(x1)-f(x2)|1-|x1-x2|成立！证明：不妨设x1x2，则0x1x21（1）当|x1-x2|时，则有|f(x1)-f(x2)|x1-x2|即|f(x1)-f(x2)|时，即x2-x1时，0x2-x11 必有1-|x1-x2|即1- x2+x1 也可写成|1- x2|+|x1| (*) 另一方面|f(x1)-f(x2)|=|f(1)-f(x2)+f(x1)-f(0)|f(1)-f(x2)|+|f(x1)-f(0)|1- x2|+|x1-0| 则由（*）式知|f(x1)-f(x2)|成立 综上所述，当x1,x20,1时都有|f(x1)-f(x2)|0化为(x-2)(x-1)(x+1)0 第二步：将不等号换成等号解出所有根。 例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1 第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。 例如：-1 1 2 第三步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右跟”上去，一上一下依次穿过各根。 第四步：观察不等号，如果不等号为“”，则取数轴上方，穿跟线以内的范围；如果不等号为“0的根。 在数轴上标根得：-1 1 2 画穿根线：由右上方开始穿根。 因为不等号威“”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。即：-1x2。 奇透偶不透即假如有两个解都是同一个数字 这个数字要按照两个数字穿如（x-1)=0 两个解都是1 那么穿的时候不要透过1。解题步骤： （1）首项系数化为“正”（2）移项通分，不等号右侧化为“0”（3）因式分解，化为几个一次因式积的形式系数非正，小于等于（4）数轴标根。例2、解不等式：解略点评：“或”标根时，分子实心，分母空心。右侧非0例3、解不等式：点评：1、不能随便去分母2、移项通分，必须保证右侧为“0”3、注意重根问题分子，分母有公因式例4、解不等式：点评：1、不能随便约去因式不等号左右有公因式2、重根空实心，以分母为准例5、解不等式：不能十字相乘分解因式；无法分解因式点评：不等式左右不能随便乘除因式。例6、解不等