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中考数学压轴题集训 （八个类型 ）一面积与动点1（重庆市綦江县）如图，已知抛物线ya(x1)2(a0)经过点A(2，0)，抛物线的顶点为D，过O作射线OMAD过顶点D平行于轴的直线交射线OM于点C，B在轴正半轴上，连结BC（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）问：当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OCOB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长解：（1）把A(2，0)代入ya(x1)2，得0a(21)2a 1分该抛物线的解析式为y(x1)2即yx 2x 3分（2）设点D的坐标为(xD，yD)，由于D为抛物线的顶点xD1，yD1 21点D的坐标为(1，)如图，过点D作DNx轴于N，则DN，AN3，AD6DAO60 4分OMAD当ADOP时，四边形DAOP为平行四边形OP6t6（s） 5分当DPOM时，四边形DAOP为直角梯形过点O作OEAD轴于E在RtAOE中，AO2，EAO60，AE1（注：也可通过RtAOERtAND求出AE1）四边形DEOP为矩形，OPDE615t5（s） 6分当PDOA时，四边形DAOP为等腰梯形，此时OPAD2AE624t4（s）综上所述，当t6s、5s、4s时，四边形DAOP分别为平行四边形、直角梯形、等腰梯形 7分（3）DAO60，OMAD，COB60又OCOB，COB是等边三角形，OBOCAD6BQ2t，OQ62t（0t3）过点P作PFx轴于F，则PFt 8分S四边形BCPQ SCOB SPOQ6(62t)t(t)2 9分当t（s）时，S四边形BCPQ的最小值为 10分此时OQ62t623，OP，OF，QF3，PFPQ 12分二几何图形与变换2（辽宁省铁岭市）如图所示，已知在直角梯形OABC中，ABOC，BCx轴于点C，A（1，1）、B（3，1）动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动过P点作PQ垂直于直线OA，垂足为Q设P点移动的时间为t秒（0t4），OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S（1）求经过O、A、B三点的抛物线解析式；（2）求S与t的函数关系式；（3）将OPQ绕着点P顺时针旋转90，是否存在t，使得OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由 【解析】（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx（a0），将AB点坐标代入得出：，解得：，故经过O、A、B三点的抛物线解析式为：y=-x2+x（2）当0t2时，重叠部分为OPQ，过点A作ADx轴于点D，如图1在RtAOD中，AD=OD=1，AOD=45在RtOPQ中，OP=t，OPQ=QOP=45OQ=PQ=tS=SOPQ=OQPQ=tt=t2（0t2）；当2t3时，设PQ交AB于点E，重叠部分为梯形AOPE，作EFx轴于点F，如图2OPQ=QOP=45四边形AOPE是等腰梯形AE=DF=t-2S=S梯形AOPE=（AE+OP）AD=（t-2+t）1=t-1（2t3）；当3t4时，设PQ交AB于点E，交BC于点F，重叠部分为五边形AOCFE，如图3B（3，1），OP=t，PC=CF=t-3PFC和BEF都是等腰直角三角形BE=BF=1-（t-3）=4-tS=S五边形AOCFE=S梯形OABC-SBEF=（2+3）1-（4-t）2=-t2+4t-（3t4）；（4）存在，t1=1，t2=2将OPQ绕着点P顺时针旋转90，此时Q（t+，），O（t，t）当点Q在抛物线上时，=-（t+）2+（t+），解得t=2；当点O在抛物线上时，t=-t2+t，解得：t=1 三相似3（四川省遂宁市）如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得的线段AB的长为6（1）求该二次函数的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使PAPD最小，求出点P的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使QAB与ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由【解析】（1）设二次函数的解析式为：y=a（x-h）2+k顶点C的横坐标为4，且过点（0，）y=a（x-4）2+k，=16a+k又对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6A（1，0），B（7，0）0=9a+k由解得a=，k=-二次函数的解析式为：y=（x-4）2-（2）点A、B关于直线x=4对称PA=PBPA+PD=PB+PDDB当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值DB与对称轴的交点即为所求点P设直线x=4与x轴交于点MPMOD，BPM=BDO，又PBM=DBOBPMBDO点P的坐标为（4，）（3）由（1）知点C（4，），又AM=3，在RtAMC中，cotACM=，ACM=60，AC=BC，ACB=120当点Q在x轴上方时，过Q作QNx轴于N如果AB=BQ，由ABCABQ有BQ=6，ABQ=120，则QBN=60QN=3，BN=3，ON=10，此时点Q（10，），如果AB=AQ，由对称性知Q（-2，）当点Q在x轴下方时，QAB就是ACB，此时点Q的坐标是（4，），经检验，点（10，）与（-2，）都在抛物线上综上所述，存在这样的点Q，使QABABC点Q的坐标为（10，）或（-2，）或（4，） 四.等腰，直角三角形4（广东省湛江市）已知矩形纸片OABC的长为4，宽为3，以长OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系；点P是OA边上的动点（与点OA不重合），现将POC沿PC翻折得到PEC，再在AB边上选取适当的点D，将PAD沿PD翻折，得到PFD，使得直线PE、PF重合（1）若点E落在BC边上，如图，求点P、C、D的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；（2）若点E落在矩形纸片OABC的内部，如图，设OPx，ADy，当x为何值时，y取得最大值？（3）在（1）的情况下，过点P、C、D三点的抛物线上是否存在点Q，使PDQ是以PD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标 解：（1）由题意知，POC，PAD均为等腰直角三角形，可得P（3，0），C（0，3），D（4，1），设过此三点的抛物线为y=ax2+bx+c（a0），则，过P、C、D三点的抛物线的函数关系式为y=x2-x+3（2）由已知PC平分OPE，PD平分APF，且PE、PF重合，则CPD=90，OPC+APD=90，又APD+ADP=90，OPC=ADPRtPOCRtDAP即y=x（4-x）=-x2+x=-（x-2）2+（0x4）当x=2时，y有最大值（3）假设存在，分两种情况讨论：当DPQ=90时，由题意可知DPC=90，且点C在抛物线上，故点C与点Q重合，所求的点Q为（0，3）当QDP=90时，过点D作平行于PC的直线DQ，假设直线DQ交抛物线于另-点Q，点P（3，0），C（0，3），直线PC的方程为y=-x+3，将直线PC向上平移2个单位与直线DQ重合，直线DQ的方程为y=-x+5由，得或又点D（4，1），Q（-1，6），故该抛物线上存在两点Q（0，3），（-1，6）满足条件 5（广东省深圳市）已知：RtABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OAOB），直角顶点C落在y轴正半轴上（如图1）（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式（2）如图2，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m0，n0），连接DP交BC于点E当BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标又连接CD、CP（如图3），CDP是否有最大面积？若有，求出CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由 【解析】（1）设OA的长为x，则OB=5-x；OC=2，AB=5，BOC=AOC=90，OAC=OCB；AOCCOB，OC2=OAOB22=x（5-x） （1分）解得：x1=1，x2=4，OAOB，OA=1，OB=4； （2分）点A、B、C的坐标分别是：A（-1，0），B（4，0），C（0，2）；（注：直接用射影定理的，不扣分）方法一：设经过点A、B、C的抛物线的关系式为：y=ax2+bx+2，将A、B、C三点的坐标代入得（3分）解得：a=，b=，c=2所以这个二次函数的表达式为：（4分）方法二：设过点A、B、C的抛物线的关系式为：y=a（x+1）（x-4）（3分）将C点的坐标代入得：a=所以这个二次函数的表达式为：（4分）（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分） （2）当BDE是等腰三角形时，点E的坐标分别是：，1+1+（1分）（注：符合条件的E点共有三个，其坐标，写对一个给1分）如图1，连接OP，SCDP=S四边形CODP-SCOD=SCOP+SODP-SCOD （8分）=m+n-2=（9分）当m=时，CDP的面积最大此时P点的坐标为（，），SCDP的最大值是 （10分）另【解析】如图2、图3，过点P作PFx轴于点F，则SCDP=S梯形COFP-SCOD-SDFP （8分）=m+n-2=（9分）当m=时，CDP的面积最大此时P点的坐标为（，），SCDP的最大值是 （注：只回答有最大面积，而没有说明理由的，不给分；点P的坐标，或最大面积计算错误的，扣（1分）；其他解法只要合理，酌情给分） 五、特殊四边形。6（内蒙古赤峰市）如图，RtABC的顶点坐标分别为A（0，），B（，），C（1，0），ABC90，BC与y轴的交点为D，D点坐标为（0，），以点D为顶点、y轴为对称轴的抛物线过点B（1）求该抛物线的解析式；（2）将ABC沿AC折叠后得到点B的对应点B，求证：四边形AOCB是矩形，并判断点B是否在（1）的抛物线上；（3）延长BA交抛物线于点E，在线段BE上取一点P，过P点作x轴的垂线，交抛物线于点F，是否存在这样的点P，使四边形PADF是平行四边形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由 【解析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+，（1分）B（，）在抛物线上，把B（，）代入y=ax2+得a=（3分）抛物线解析式为y=x2+（5分）（2）点B（，），A（0，），CB=，CB=CB=OA（6分）又CA=2AB=1AB=AB=OC（7分）四边形AOCB是矩形（8分）CB=，OC=1，B点的坐标为（1，）（9分）当x=1时，代入y=x2+得y=，B（1，）在抛物线上（10分）（3）存在（11分）理由是：设BA的解析式为y=kx+b，P，F分别在直线BA和抛物线上，且PFAD，设P（m，m+），F（m，m2+）PF=（m+）-（m2+），AD=-=如果PF=AD，则有=（m+）-（m2+）=解得m1=0（不符合题意舍去），m2=当m=时，PF=AD，存在四边形ADFP是平行四边形（13分）当m=时，m+=，P点的坐标是（，）（14分） 六，线段和与差7（贵州省铜仁地区）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，边AB在x轴上，且AB6，D（0，9），以点C为顶点的抛物线经过A、B两点，直线l过点C，交y轴于点E（0，12）（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点C沿直线l向上移动，当抛物线经过D点时，求抛物线的解析式和A、C两点间的抛物线弧扫过的面积；（3）P是线段BD上的动点，连结CP，B，D两点到直线CP的距离之和是否存在最大值？若存在，请求出其最大值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由 8（四川省眉山市）如图，已知直线yx1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线yx 2bxc与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)（1）求该抛物线的解析式；（2）动点P在x轴上移动，当PAE是直角三角形时，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AMMC|的值最大，求出点M的坐标解：（1）直线y=x+1与y轴交于点A，A（0，1），y=x2+bx+c过（1，0）和（0，1），则，解得抛物线的解析式为y=x2x+1；（2）设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为m2m+1即E点的坐标（m，m2m+1），又点E在直线y=x+1上，m2m+1=m+1解得m1=0（舍去），m2=4，E的坐标为（4，3）（）当A为直角顶点时，过A作AP1DE交x轴于P1点，设P1（a，0）易知D点坐标为（2，0），由RtAODRtP1OA得=，即 =，a=，P1（，0）（）同理，当E为直角顶点时，过E作EP2DE交x轴于P2点，由RtAODRtP2ED得，=，即 =，EP2=，DP2=，a=2=，P2点坐标为（，0）（）当P为直角顶点时，过E作EFx轴于F，设P3（b、0），由OPA+FPE=90，得OPA=FEP，RtAOPRtPFE，由 =得 =，解得b1=3，b2=1，此时的点P3的坐标为（1，0）或（3，0），综上所述，满足条件的点P的坐标为（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0） 七计算与说理。9（湖南省株洲市）如图，已知ABC为直角三角形，ACB90，ACBC，点A、C在x轴上，点B的坐标为(3，m)(m0)，线段AB与y轴相交于点D，以P(1，0)为顶点的抛物线过点B、D（1）求点A