初中因式分解的常用方法—特色专题详解.doc

初中因式分解的常用方法特色专题详解一、提公因式法. 如多项式其中m叫做这个多项式各项的公因式， m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式二、运用公式法.运用公式法，即用 写出结果三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：例2、分解因式：对应练习：分解因式1、 2、（二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式： 例4、分解因式： 对应练习：分解因式3、 4、综合练习：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）（11） （12）四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式进行分解。特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。 例5、分解因式：例6、分解因式：对应练习5、分解因式(1) (2) (3) 对应练习6、分解因式(1) (2) (3)（二）二次项系数不为1的二次三项式条件：（1） （2） （3） 分解结果：=例7、分解因式：对应练习7、分解因式：（1） （2） （3） （4）（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：对应练习8、分解因式(1)(2)(3)（四）二次项系数不为1的齐次多项式例9、 例10、 对应练习9、分解因式：（1） （2）综合练习10、（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）思考：分解因式：五、主元法. 例11、分解因式： 对应练习11、分解因式(1) (2) (3) (4)六、双十字相乘法。定义：双十字相乘法用于对型多项式的分解因式。条件：（1），（2），即： ，则例12、分解因式（1） （2）对应练习12、分解因式（1） （2）七、换元法。例13、分解因式（1） （2）对应练习13、分解因式（1）（2） （3）例14、分解因式（1）观察：此多项式的特点是关于的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。对应练习14、（1）（2）八、添项、拆项、配方法。 例15、分解因式（1） 对应练习15、分解因式（1） （2）（3） （4）（5） （6）九、待定系数法。例16、分解因式例17、（1）当为何值时，多项式能分解因式，并分解此多项式。 （2）如果有两个因式为和，求的值。对应练习17、（1）分解因式（2）分解因式（3）已知：能分解成两个一次因式之积，求常数并且分解因式。（4）为何值时，能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。初中阶段因式分解的常用方法（例题再详解）把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：一、提公因式法. 如多项式其中m叫做这个多项式各项的公因式， m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式二、运用公式法.运用公式法，即用 写出结果三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式= = 每组之间还有公因式！ = 思考：此题还可以怎样分组？此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。例2、分解因式：解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。 第二、三项为一组。解：原式= 原式= = = = =练习：分解因式1、 2、（二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式：分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。 解：原式= = = 例4、分解因式： 解：原式= = =注意这两个例题的区别！练习：分解因式3、 4、综合练习：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）（11）（12）四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式进行分解。特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。 例5、分解因式：分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。 由于6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(-6)，从中可以发现只有23的分解适合，即2+3=5。 1 2解：= 1 3 = 12+13=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例6、分解因式：解：原式= 1 -1 = 1 -6 （-1）+（-6）= -7练习5、分解因式(1) (2) (3)练习6、分解因式(1) (2) (3)（二）二次项系数不为1的二次三项式条件：（1） （2） （3） 分解结果：=例7、分解因式：分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：=练习7、分解因式：（1） （2） （3） （4）（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解：= =练习8、分解因式(1)(2)(3)（四）二次项系数不为1的齐次多项式例9、 例10、 1 -2y 把看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= 解：原式=练习9、分解因式：（1） （2）综合练习10、（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7）（8）（9）（10）思考：分解因式：五、主元法. 例11、分解因式： 5 -2解法一：以为主元 2 -1 解：原式= (-5)+(-4)= -9 = 1 -(5y-2) = 1 (2y-1) = -(5y-2)+(2y-1)= -(3y-1)解法二：以为主元 1 -1 解：原式= 1 2 = -1+2=1= 2 (x-1)= 5 -(x+2) = 5(x-1)-2(x+2)=(3x-9)练习11、分解因式(1) (2)(3) (4)六、双十字相乘法。定义：双十字相乘法用于对型多项式的分解因式。条件：（1），（2），即： ，则例12、分解因式（1） （2）解：（1）应用双十字相乘法： ，原式= （2）应用双十字相乘法： ，原式=练习12、分解因式（1） （2）七、换元法。例13、分解因式（1） （2）解：（1）设2005=，则原式= = =（2）型如的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。 原式=设，则原式= =练习13、分解因式（1）（2） （3）例14、分解因式（1）观察：此多项式的特点是关于的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式=设，则原式= = = = （2）解：原式= 设，则 原式= =练习14、（1）（2）八、添项、拆项、配方法。 例15、分解因式（1） 解法1拆项。 解法2添项。原式= 原式= = = = = = = =（2）解：原式=练习15、分解因式（1） （2）（3） （4）（5） （6）九、待定系数法。例16、分解因式分析：原式的前3项可以分为，则原多项式必定可分为解：设=对比左右两边相同项的系数可得，解得原式=例17、（1）当为何值时，多项式能分解因式，并分解此多项式。 （2）如果有两个因式为和，求的值。（1）分析：前两项可以分解为，故此多项式分解的形式必为解：设= 则=比较对应的系数可得：，解得：或当时，原多项式可以分解；当时，原式=；当时，原式=（2）分析：是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如的一次二项式。解：设= 则=，解得，=21练习17、（1）分解因式（2）分解因式（3）已知：能分解成两个一次因式之积，求常数并且分解因式。（4）为何值时，能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。补充：一定要记住的公式大全：平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)； 完全平方公式：a22abb2(ab）2； 注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。 立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； 立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)； 完全立方公式：a33a2b3ab2b3=(ab)3 公式：a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)*十字相乘法初步公式：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) *（可不记）十字相乘法通用公式：如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么kx2+mx+n=(ax+b)(cx+d)因式分解方法（重要：因式分解法的结果一定是多个因式相乘）：方法一：分组分解法步骤 类型一 分组后能直接提取公因式 1.分组后能直接提取公因式 2.提完公因式之后，每组之间应该还可以提公因式（此时，应注意观察）。 类型二 分组后能直接运用上面的公式方法二： （当用方法一不行时，这时可考虑用十字相乘法） 十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式类型一 直接利用公式进行分解。类型二 *十字相乘法通用公式：如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么kx2+mx+n=(ax+b)(cx+d) 总结：不管用什么方法，最后的结果都是由多个因式相乘了，因此，当自己解完题后不是因式相乘了，那么应该反回去再检察题目，看看能不能用其他的方法来解决该题目。 因式分解巩固练习（精选） 练习一 分组分解法类型一（用两种方法来解）1. 2.3. 4. 练习二 分组分解法类型二5. 6.7. 8. 练习三 十字相乘法 9. 10. 11.