比热的声子模型素材ppt课件

第四章 晶格振动和固体热性质,第二章 化学键和晶体形成,第一章 绪论,第三章 固体结构和X射线衍射,第五章 固体电子理论,第六章 晶体中电子的输运性质,第七章 晶体中的缺陷与扩散,本章主要内容： 基于声子模型，解释固体的热、声性质,4.2 爱因斯坦声子模型,4.3 德拜声子模型,4.3 晶格动力学,4.4 声子能谱的中子衍射测定,4.5 热膨胀和热传导,略,4.1 热现象与热物理发展,4.1 热现象与热物理发展,古希腊的四元素说 伽利略、托里切利：测定温度的温度计 1840年，焦耳定律：P=I2R；1847年，热功当量系数：1 cal=4.18J 热力学第一定律：能量守恒 热力学第二定律：热永远都只能由热处转到冷处，为物理现象设定了时间箭头。 玻耳兹曼统计热物理：建立了宏观物理量-熵与微观状态的几率之间的联系。,量子物理：普朗克提出电磁波的能量必须以h为量子，用玻耳兹曼统计原理统一了黑体辐射公式。 1907年，根据普朗克的辐射振子统计的爱因斯坦声子模型，定量解释了固体比热容与温度的关系。 1911年，修正了爱因斯坦声子模型的德拜模型，弥补其在低温情形的不足。得到极低温下固体比热容的T3定律（能斯特低温试验证实） 声学方面，1912-1913年，波恩、冯.卡门用分析力学推导计算了固体原子的色散关系-声子能谱； 1951年，布洛克豪斯的中子非弹性衍射实验可测声子能谱。理论解释：有波恩、黄昆的晶格动力学。,4.2 晶体比热规律的经典理论和量子理论解释,4.2.1 定容比热的定义：,-晶体的平均内能,晶格振动比热,晶体电子比热,通常情况下， 本节只讨论晶格振动比热。,晶体比热的实验规律,(1)在高温时，晶体的比热为3NkB(N为晶体中原子的个数),(2)在低温时，晶体的比热按T3趋于零。,玻尔兹曼常数kB=1.3810-23JK-1,4.2.2 杜隆-珀替定律,根据能量均分定理，每一个自由度的平均能量是kBT,若晶体有N个原子，则总自由度为：3N。 故,但是，低温时经典理论不再适用。金刚石、石墨晶体室温时的比热容也与预测不符合。,1820年，杜隆-珀替预测比热是一个与温度无关的常数5.96 cal/(molK)。,经典理论用气体分子运动论进行解释：,4.2.3 晶格振动的量子理论解释,晶格振动的量子理论，可以很好地解释低温时的固体比热容问题。其简化模型有爱因斯坦模型和德拜模型。 爱因斯坦模型：假定所有振动模频率相等，声子能量分立，可定性解释低温比热趋近于零的问题，但定量上不正确； 德拜模型：以连续介质中的弹性波代替晶体中的格波，在低温下很好地解释实验给出的T3规律。,晶格振动,格波,简谐近似,独立的振动模式,由玻恩-卡门 边界条件,分立值,声子,晶格振动能量量子化,受普朗克对能量量子化的启发，爱因斯坦首先对原子振动的能量进行量子化，得到准粒子-声子。,晶格振动的能量量子-声子。,声子不是真实的粒子，称为“准粒子”，它反映的是晶格原子集体运动状态的激发单元。,1.声子是晶格振动的能量量子，其能量为：,2.一个格波(一种振动模式)，称为一种声子(一个就是一种声子)，当这种振动模式处于 本征态时，称为有ni个声子，ni为这种声子的声子数。,3.由于晶体中可以激发任意个相同声子，声子遵循玻色统计（针对整数自旋基本粒子的量子统计）。,声子遵循的规则如下：,4.电子(或光子)与晶格振动相互作用时，交换能量以 为单位，若电子从晶格获得 能量，称为吸收一个声子，若电子给晶格 能量，称为发射一个声子。,5.在简谐近似下，声子间无相互作用。而非简谐作用可以引入声子间的相互碰撞，保证了声子气体能够达到热平衡状态。,1905年的5篇论文： 关于分子运动论（布朗运动）的研究（博士论文）。 提出光子概念 狭义相对论：分别引入力学和电磁学必须遵从的极限速度c，和提出质能关系E=mc2，解释辐射能量来源。 1907年，提出声子概念来解释比热容，获得1921年诺贝尔物理学奖。 1912年，提出光化学基本定律。 1913-1916年，发展了广义相对论（物质引起空间曲率变化，引力将对空间形状和时间流动产生影响） 1917年，从宇宙静态模型到“新宇宙学”宇宙大爆炸理论。 1917年，提出自发辐射以外，还有受激发射激光的基础理论。,4.3 爱因斯坦声子模型,爱因斯坦的贡献,(1)晶体中原子振动的能量是相互独立的，所有原子都具有同一频率 ，E=nh ； (2)系统服从基本统计物理原理-玻耳兹曼原理。,1.模型,1907年，根据普朗克的热辐射振子统计和光子概念，爱因斯坦提出声子模型，定量解释了固体比热容与温度的关系。,爱因斯坦声子模型,晶体可以看成是一个热力学系统，在简谐近似下，晶格中 原子的热振动可以看成是相互独立的简谐振动。据量子力学，每个谐振子的能量都是量子化的。,第i个谐振子的能量为：,其中，ni是频率为i的谐振子的平均声子数，符合玻色-爱因斯坦统计规律：,第i个谐振子的能量为：,2.计算,由N个原子组成的晶体中包含3N个简谐振动，总振动能为,（4-4）,根据固体比热容的定义：,通常用爱因斯坦温度E代替频率，定义为E=/kB ，,其中，爱因斯坦比热函数：,爱因斯坦温度E如何确定呢？,选取合适的E值，可使得在比热显著改变的温度范围内，理论曲线与试验数据符合得相当好。,对于大多数固体材料， E在100 300k的范围内。,（4-5）,3.高、低温极限讨论,因此, 杜隆-珀替定律,（4-6）,(2) 低温情况，当T E时，,但CV比T3 趋于零的速度更快。 是什么原因使爱因斯坦模型在低温时不能与实验相吻合呢?,因此,（4-7）,按爱因斯坦温度的定义，对应的爱因斯坦频率E大约为1013Hz，处于远红外光频区，相当于长光学波极限。,具体计算表明，在甚低温度下，格波的频率很低，属于长声学波，也就是说，在甚低温度下，晶体的比热主要由长声学波决定。因此爱因斯坦模型在低温时不能与实验相吻合。 德拜在爱因斯坦模型基础上提出的新模型解决了此问题。,德拜（Debye,Peter Joseph Wilhelm）： 荷兰人，1912年他改进了爱因斯坦的固体比热容公式，得出在常温时服从杜隆-珀替定律，在温度T0时和T3成正比的正确比热容公式。他在导出这个公式时，引进了德拜温度D的概念。每种固体都有自己的D值。1936年因“对分子的电、几何结构测量方法的贡献”获得诺贝尔化学奖。,4.3 德拜声子模型,（1）原子振动频率具有色散关系，频率与声波速度有关；,1.模型:,（2）晶体视为连续介质，格波视为弹性波；有一支纵波两支横波；,（3）使用玻色-爱因斯坦量子统计，晶格振动频率在 之间(D为德拜频率)，在D处截止。,德拜对爱因斯坦声子模型进行修正，提出以下声子模型：,2.频率分布函数(态密度),设晶体有N个原子,则,(1)定义:,其中m是最高频率，又称截止频率。,(2)计算,因为频率是波矢的函数，所以我们可以在波矢空间内求出态密度的表达式。,包含在 内的振动态数为：,单位频率间隔内的振动态数。,波矢密度,两个等频率面间的体积,每一支格波的振动态数,每一支格波的态密度,晶格总的态密度,两个等频率面间的波矢数,体积元：,dq：两等频面间的垂直距离,ds：面积元。,体积元包含的波矢数目：,由梯度定义知:,代入上式得,可得频率分布函数(态密度)为：,对于三重简并，总态密度为：,2. 计算德拜模型的能态密度,(1) 能态密度 - 在德拜模型中称为德拜频率分布,由弹性波的色散关系：,=vq,在波矢空间，等频率面是半径为q的球面，对于每一类波矢有：,能态密度为:,（4-11）,（4-10）,弹性波有1支纵波、2支横波,共3支格波。 所以总能态密度（德拜频率分布）为：,(2)比热表达式,（4-12）,-德拜比热函数,简化为：,其中：,D为德拜温度，每种固体都有自己的D值,取,（4-13）,(1)高温情况，当TD时，x1,3.高低温极限情况讨论,高温时与实验规律相吻合。,（4-14）,(2)低温情况，当TD时，,由上式看出，在极低温度下，比热与T3成正比，这个规律称为德拜定律。能斯特低温实验证实。 温度越低，理论与实验吻合的越好。,（4-15）,人有了