《二次根式》专题专练(一)(4个专题)

二次根式专题专练（一）山东 李其明 专题一：二次根式概念类1考查二次根式的概念例1（2007年浙江省宁波市）实数范围内有意义，则x的取值范围是( ) (A)x1 (B)xl (C)x1）3化简：。4化简：5计算：（1）；（2）6化简下列各式（1）；（2）专题三：二次根式运算类1考查同级运算例7（2007年长沙市）计算： 分析：先将每个式子化简，再进行加减运算解：点评：本题是同级运算中的二次根式的加减运算一般先化简，再合并同类二次根式例9（2007年淮安市）计算的结果是（ ）A、2 B、4 C、8 D、16分析：先将化简，再与相乘，也可以直接把被开方数相乘解：或点评：本题是同级运算中的二次根式的乘法运算，要注意运用法则进行计算例8（2007年湖北省荆门市）下列计算错误的是( )(A) (B)(C) (D)分析：先将每个选项分别进行同级运算，再进行选择，也可以直接观察而得解解：（A），故（A）对；（B），故（B）也对；（C），故（C）也对；因此应选D也可以直接观察判断D不对而选D点评：二次根式的同级运算要注意运用法则，一般的顺序是从左向右运算2考查混合运算例9（）（2007年湖北省宜昌市）化简的结果是（ ）（A） （B） （C） （D）（2）（2007年临沂市）计算的结果是（ ）ABCD（3）（2007年嘉兴市）计算：(1)32分析：本题的几个小题都是二次根式的四则混合运算，但题目不难，只要按照规则运算即可解：（1）=，故选（D）；（2）的计算结果也选（D）；（3）(1)32=点评：二次根式混合运算遵循先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的顺序进行，最后结果要化成最简二次根式，有时要注意一些方法技巧，可以简便计算特别是第（3）小题计算时需要过程，考查了同学们的化简与计算能力，同时体现了数学能够帮助人们处理数据、进行计算，即义务教育的基础性3考查求值计算例10（2007年长沙市）先化简，再求值：，其中，分析：本题先将整式化简，再代入进行计算解：=，当，时，原式=2008-2007=1例11（2007年黔东南市）下课了，老师给大家布置了一道作业题：当时，求代数式的值，雯雯一看，感慨道：“今天的作业要算得很久啊！”你能找到简单的方法帮雯雯快速解决这个问题吗？请写出你的求解过程分析：本题看起来是一道较复杂的化简求值题，要将代入也较繁杂，其实化简的结果较简单且与x的取值无关，无需代入就得结果解：原式=点评：化简求值题是常考题型之一，它往往要求的是先化简所给的式子，再将数值代入求值；有时不但要化简、变形所给的代数式而且还要化简所给的条件，本类型题目方法灵活多变，技巧性较强，有时较难，希望同学们多加练习4考查探索猜想能力例12（2007年烟台市）观察下列各式：请你将发现的规律用含自然数n(n1)的等式表示出来 分析：通过给定的几个式子注意观察、分析、猜想，最后再验证解：很容易观察得到：点评：此类题目主要考察同学们的观察、归纳、猜想结论的能力，并能够利用规律解答问题，学会验证从特殊到一般的学习方法，培养同学们的分析问题、解决问题的能力以及探索习惯和创新精神本题从最简单的二次根式的变形入手，层层递进，经过归纳、猜想出次根式的变形结论专练三：1计算：（1） （2） 15 22计算：；3计算：4在ABC 中，C90，AC10 cm，BC24 cm。 求：AB 5计算：6观察下列各式及其验证过程：，验证：，验证：（1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证（2）针对上述各式反映的规律，写出用（为任意自然数，且）表示的等式，并给出验证（3）针对三次根式及次根式（为任意自然数，且）,有无上述类似的变形，如果有，写出用（为任意自然数，且）表示的等式，并给出验证专题四：二次根式创新应用类例13已知等边OAB的边长为a，以AB边上的高OA1为边，按逆时针方向作等边OA1B1，A1B1与OB相交于点A2(1)求线段OA2的长；AA1BA2A3A4A5A6A7B1B2B3B4B5B6B7图1(2)若再以OA2为边按逆时针方向作等边OA2B2，A2B2与OB1相交于点A3，按此作法进行下去，得到OA3B3，OA4B4，OAnBn(如图1)求OA6B6的周长分析：本题先根据图形进行计算，再探究规律解：（1）；（2）依题意：；依此类推，所以的周长为点评：数与形是一个问题的两个方面，数无形不直观，形缺数难入微，数形结合既有助于找到解答思路，也常使解答简捷，数形结合的关键在于几何图形转化为数的知识去探索规律，本题就体现了这种数与形的统一与和谐！专练四：1写出和为6的两个无理数 （只需写出一对）2借助计算器可以求出，仔细观察上面几道题中的计算结果，试猜想： = 。3动手操作题：用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1，。如果从中选出若干个数，使它们的和大于3，那么至少需要选 个数。4阅读下列解题过程，并按要求填空：已知：=1，=1，求的值。解：根据算术平方根的意义，由=1，得=1，2xy=1 第一步根据立方根的意义，由=1，得x2y=1 第二步由、，得，解得 第三步把x、y的值分别代入分式中，得=0 第四步以上解题过程中有两处错误，一处是第 步，忽略了 ；一处是第 步，忽略了 ；正确的结论是 。（直接写出答案）5创新设计题在下面两个集合中各有一些实数，请你分别从中选出2个有理数和两个无理数，再用“+、-、”中的3种符号将选出的4个数进行3次运算，使得运算的结果是一个正整数图26（1）判断下列各式是否正确。你认为成立的，请在括号内打“”，不成立的打“”（ ） （ ）（ ） （ ）（2）你判断完以上各题之后，请猜测你发现的规律，用含n的式子将其规律表示出来，并注明n的取值范围： （3）请用数学知识说明你所写式子的正确性图37如图3，已知ABC是边长为1的等腰直角三角形，以RtABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰RtACD，再以RtACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰RtADE，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是 参考答案专练一：1（1）当 x 取任意实数时，二次根式在实数范围内都有意义。（2）当 x 1时，二次根式在实数范围内都有意义。2（1）=2；（2）=3a。3和是同类二次根式；，和是同类二次根式；和是同类二次根式。4x=2；5专练二：1（1）4=4=2；（2）x=。2（1）4；（2） 5m；（3）；（4） 。345（1）=（2）因为x1，所以x-10，所以原式=6（1）=（2）=18专练三：1（1） 3；（2）234AB 的长为26 cm 。56（1）验证：（2）（为任意自然数，且）验证：（3）（为任意自然数，且）验证：（为任意自然数，且）验证：专练四：1符合题意的两个无理数有无数多个，这里的关键是有理数部分和为6、无理数部分和为0。如：4+与2；1+与7；等等，任选一对即可；2=；35；4在第一步中，由=1应得到2xy=，忽略了2xy=1；在第四步中，当时，分式无意义，忽略了分式有意义的条件的检验。当时，解得，代入分式，得=1。所以正确的结论是=1。5如：3-（-6）+（）=12，等等6解：（1）本例