2020届高考数学一轮复习讲练测专题2.6指数与指数函数（讲）文（含解析）.docx

专题2.6 指数与指数函数1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，的指数函数的图象；4.体会指数函数是一类重要的函数模型。知识点一 根式(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.(2)性质：()na(a使有意义)；当n为奇数时，a，当n为偶数时，|a|知识点二 分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a(a0，m，nN*，且n1)；正数的负分数指数幂的意义是a(a0，m，nN*，且n1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：arasar+s；(ar)sars；(ab)rarbr，其中a0，b0，r，sQ.知识点三 指数函数及其性质(1)概念：函数yax(a0且a1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质a10a0时，y1；当x0时，0y1当x1；当x0时，0y0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.2.在第一象限内，指数函数yax(a0且a1)的图象越高，底数越大.考点一指数幂的运算【典例1】（2019河北邯郸一中模拟）化简22(0.01)0.5【解析】22(0.01)0.5111【答案】【方法技巧】1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.【变式1】（2019湖南岳阳一中模拟） 化简 (0.064)2.50；【解析】(0.064)2.501110.【答案】0考点二 指数函数的图像及其应用【典例2】（2019辽宁葫芦岛高级中学模拟） 函数yaxa1(a0，且a1)的图象可能是()【答案】D【解析】函数yax是由函数yax的图象向下平移个单位长度得到的，A项显然错误；当a1时，01，平移距离小于1，所以B项错误；当0a1时，1，平移距离大于1，所以C项错误故选D.【方法技巧】有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x1与图象的交点进行判断【变式2】 （2019山西平遥中学模拟）已知f(x)|2x1|，当abc时，有f(a)f(c)f(b)，则必有()Aa0，b0，c0Ba0，b0，c0C2a2c D12a2c2【答案】D【解析】作出函数f(x)|2x1|的图象如图所示，因为abc，且有f(a)f(c)f(b)，所以必有a0,0c1，且|2a1|2c1|，所以12a2c1，则2a2c2，且2a2c1.故选D.考点三 比较指数式的大小【典例3】【2019年高考天津文数】已知，则a，b，c的大小关系为（ ）A B CD【答案】A【解析】，.故选A.【方法技巧】利用指数函数的性质比较幂值的大小，先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；【变式3】（2019江苏扬州中学模拟）已知f(x)2x2x，a，b，clog2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为()Af(b)f(a)f(c)Bf(c)f(b)f(a)Cf(c)f(a)f(b) Df(b)f(c)f(a)【答案】B【解析】易知f(x)2x2x在R上为增函数，又ab0，clog20，则abc，所以f(c)f(b)f(a)考点四 解简单的指数方程或不等式【典例4】（2019河北唐山一中模拟）已知实数a1，函数f(x)若f(1a)f(a1)，则a的值为_【解析】当a1时，41a21，解得a；当a1时，代入不成立故a的值为.【答案】【方法技巧】利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解；【变式4】（2019安徽马鞍山二中模拟） 设函数f(x)若f(a)1，则实数a的取值范围是_【解析】若a0，则f(a)1a71a8，解得a3，故3a0；若a0，则f(a)11，解得a1，故0a1.综合可得3a1.【答案】(3,1)考点五 指数函数性质的综合应用【典例5】（2019江西鹰潭一中模拟）已知函数f(x).(1)若a1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值；(3)若f(x)的值域是(0，)，求a的值【解析】(1)当a1时，f(x)，令g(x)x24x3，由于g(x)在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，而yt在R上单调递减，所以f(x)在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(2，)，单调递减区间是(，2)(2)令g(x)ax24x3，则f(x)g(x)，由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值1，因此必有解得a1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使f(x)的值域为(0，)，应使yax24x3的值域为R，因此只能a0(因为若a0，则yax24x3为二次函数，其值域不可能为R)故a的值为0.【方法技巧】解答指数函数性质的综合应用，首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解。【变式5】（2019山东牟平一中模拟）已知函数f(x)x3(a0，且a1)(1)讨论f(x)的奇偶性；(2)求a的取值范围，使f(x)0在定义域上恒成立【解析】(1)由于ax10，则ax1，得x0，函数f(x)