LTI系统的频域分析.ppt

延边大学工学院 电子信息通信学科 许一男,第5章 LTI系统的频域分析,5.1 线性时不变系统的频域特性,5.1.1 对复指数和正弦信号的响应:频率响应函数,频率响应：描述线性时不变系统的频域特性 - 频率变量 的函数来描述 - 的函数是系统冲激响应 的傅里叶变换,线性时不变系统对任意输入信号x(n)的响应、 输入-输出关系的卷积公式：,- 单位采样响应：,激励系统的复指数信号表示：,频域特性,A是幅度， 是限制在频率区间 上的任意频率,代入之后可以得到输出响应：,频率变量 的函数,复指数信号的响应可以写成：,其中 ：系统的特征值,相位 的求解,复值函数 的点斜式：,相位：,- 在频率 处加到输入信号上的相移,-,-,-,-,频率变量,是 的幅度,是 的傅里叶变换,是周期为 的周期函数,冲激响应和傅里叶变换的积分关系：,相位的求解：,其中实部和虚部定义为：,的幅度：,的相位：,收敛范围,因为 是 的偶函数,因为 是 的奇函数,所以， 是 的偶函数， 是 的奇函数,如果知道了 和 在 上的值，,就可得到这两个函数在 上的值。,正弦函数的复共轭指数函数 输入信号： 输出响应 输入信号的叠加性：,-叠加信号的输出响应：,如果输入信号是 - 输出响应：,正弦输入信号的输出响应 - 输入信号： - 输出响应：,5.1.2 正弦输入信号的稳态和暂稳态响应,线性时不变系统对作用于 的指数和 正弦输入信号的响应时，输出响应是稳态响应，而没有暂态响应。为什么？,例：输入是复指数信号的一阶差分方程,当n趋向无穷大时含有 的前亮相趋向于零 前两项为暂态响应，后一项为稳态响应 在实际应用中，系统的暂稳态响应是不重要的，因此，暂稳态响应被忽略,5.1.3 周期输入信号的稳态响应,基本周期为N的周期信号x(n)输入到稳定的线性时不变系统时，系统在任意时刻n的响应是稳态响应 线性系统系统可能会改变周期输入信号的形状 （如：收缩、放大、相位移动） 但，不能改变输入信号的周期,5.1.4 非周期输入信号的响应,根据卷积定理来具体计算 如 表示输入序列， 表示输出序列， 表示系统的单位采样响应 分别是 ， ， 对应的傅立叶变换 输出信号的频谱等于输入信号的频谱乘以系统的频率响应,如果 表示为点斜式 输出信号的幅度： 输出信号的相位：,输出信号的能量密度谱： 等式两边取平方,输出信号的能量：进行区间积分,输出信号的能量密度谱,输人信号的能量密度谱,5.2 LTI系统的频率响应,系统的频率响应和系统函数的关系：,若H(z)是有理函数形式，且 H(z)=B(z)/A(z),H*()是H* (1/z*)在单位圆上的值,当h(n)是实数，或等价的系数ak和bk是实数时 因此,设 是实值的系统参数 |H()|2可表示为,cosk可以表示成cos的多项式函数： 例 5.2.1 计算系统的 |H()|2,5.2.2 频率响应函数的计算,在计算幅度响应和相位响应时，H()可以表示成极点和零点的形式 或等介于,将上式中的各复值因子写成点斜式 其中，,可以写成 的相位等于分子中所有因子的相位之和， 再减去分母中所有因子的相位,幅度和相位的几何解释,极点 和零点 位于z平面上的A和B处，计算L点的傅里叶变换,(a),然而 因此,：矢量AL在实数半轴上的角度,：矢量BL在实数半轴上的角度,(b),幅度响应可以表示成分贝形式：,幅度响应,的相位,5.3 LTI系统输出的相关函数和频谱,输入信号x(n)和输出信号y(n)的互能量密度普,输出信号y(n)的能量密度普,输出信号的总能量,5.4 作为频率选择滤波器的线性时不变系统,滤波器：用来描述一个设备，根据作用于输入端的对象的某些属性进行分辨过滤，以让某部分通过它 频率选择滤波器：在某些频段的频率分量的信号可以通过，而包含在其他频段的频率分量中的信号将被衰减 线性时不变系统和滤波器是同义的,5.4.1 理想滤波特性,根据频域特性，滤波器分为低通、高通、带通、带阻、全通滤波器,理想滤波器的特性： - 常数增益(通常是单位增益)的带通特性，而在带阻部分的增益为零 - 线性相位特性 理想滤波器在物理上是不可实现！ 例: 不是因果，也不是绝对可和 不稳定,z平面极点、零点位置和数字滤波器设计,z平面极点、零点位置和数字滤波器设计,放置极、零点的基本原则： - 在单位圆上对应于需要加强频率的点附近放置极点 - 在需要拉低的频率点处附近放置零点,约束： 1：所有的极点必须放置在单位圆内，零点可以放在任何位置 2：所有复值的极、零点必须以共轭的形式出现,线,5.4.2 低通、高通和带通滤波器,高通滤波器的零-极点模型,低通滤波器的零-极点模型,单极点低通滤波器,系统函数,幅度响应,相位响应,单极点低通滤波器,通过将低通滤波器的 零极点位置在z平面关于 虚轴进行反转(折叠)， 就可以得到简单的 高通滤波器,幅度响应,相位响应,5.4.3 数字谐振器,幅度响应,相位响应,可利用两极点带通滤波 器的两个极点以复共轭对 的形式来表示。如：语音信号,5.4.4 槽口滤波器,包含n个深槽口的滤波器，在特定点的频率响应为零（如： ） 单位圆的角 处引入复共轭的零点方式来产生 应用范围：语音信号处理领域（共振）,槽口滤波器的频率响应特性,幅度响应,相位响应,在零点附近引入极点 的方式来调整槽口宽带,极点产生实际的共振 多次调整的方式来 产生共振,优点：结构简单 缺点：调试难,5.4.5 梳状滤波器,FIR滤波器的系统函数： 用zL来代替z，就可以构造梳状滤波器 梳状滤波器的频率响应：,重复性！,HL()的频率特性仅仅是在区间0, 2内的L阶重得 例：L=5,例：M=3, L=3的FIR梳状滤波器的结构图,5.4.6 全通滤波器,定义：对所有频率具有常数幅度响应的系统,应用范围：延迟系统 特征：原始信号不改变，只延迟k单位,全通滤波器系统函数的一般形式：,全通滤波器的极点和零点互为倒数 系统的相位响应达不要求时此滤波器来补偿,5.4.7 数字正弦振荡器,又称为数字正弦信号发生器 数字频率合成器的基本单元 现有一个二阶系统的系统函数：,其中， 采用频率为,且， 。因此,且,数字正弦信号发生器,系统函数的描述：,差分方程：,5.5 逆系统和去卷积,5.5.1 线性时不变系统的可逆性,逆系统 = 纠错系统 条件：输入和输出信号为一一对应,在z域原系统和逆系统的关系：,如， 是FIR（全极点）系统，则 是全极点(FIR)系统,因果稳定系统的全部极点必须位于单位圆内， 但零点可以位于任意位置 最小相位系统(滤波器)： 全部零点位于单位圆内，Hmin(z) 最大相位系统(滤波器)： 全部零点位于单位圆外，Hmax(z),5.5.2 最小相位、最大相位及混合相位系统,最小相位系统的性质： (1) 任何一个因果稳定的系统均可以用一个最小相位滤波器和一个全通