概率论2.3-随机变量.ppt

第二章 随机变量及其分布,2.3 连续型随机变量,回顾,什么是离散型随机变量 ?,从取值的角度来看, 如果随机变量 X 的所有可能取值可以一一列举, 即所有可能取值为有限个或无限可列个, 则这样的变量 X 称为离散型随机变量.,除了离散型随机变量, 连续型随机变量是另一类重要的随机变量.,引例1 在某公共汽车站, 每隔 8 分钟有一辆公共汽车通过, 设乘客候车的时间为随机变量 X (单位: min) , 则 X 的可能 取值是什么?,一、什么是连续型随机变量 ?,区间 0 , 8 内的一切值,引例2 在数轴上随机地投点, 设所投点的坐标为随机变量 X , 则 X 可能取值是, 从取值的角度来看, 上面两例中的随机变量 X 所有可能取值为某个区间内的一切值. 一般来说，这样的随机变量称为连续型随机变量 .引例1 ,引例2 中的 X 都是连续型随机变量 .,区间 (, +) 内的一切值,考一考,连续型随机变量 X 的取值能不能一一列举出来?,不能,由于连续型随机变量 X 的可能取值是某些区间上的所有值(无穷多个), 所以 X 的取值是不可能一一列举出来.,因此, 要研究连续型随机变量 X 在取值区间内的概率分布规律, 重要的是讨论它在取值区间内某一部分区间上取值的概率，而不是考察X 在此区间内某一点取值的概率.,也需要考察乘客候车的时间不超过 3 分钟的概率, 即计算 P 0 X 3 .,如在引例1 中, 乘客候车的 时间为随机变量 X, 为对车辆进行合理的调度, 需要考察乘客候车的时间超过 5 分钟的概率, 即计算 P 5 X 8.,这些考察的内容都是求随机变量 X 在取值区间 0, 8 内某一部分区间上取值的概率.,则称 X 为连续型随机变量, 称 f (x) 为随机变量 X 的概率密度函数, 简称 密度函数或概率密度 .,二、 连续型随机变量的概率密度,X 在 a, b 上取值的概率,f(x)在 a, b 上的定积分,变量 X 在 a, b 上取值的概率,若已知 X 的密度函数 f (x), 则 X 在区间 a, b上取值的概率等于 f (x) 在该区间上的定积分.,f(x)在 a, b 上的定积分,由定义知 f (x) 具有下述性质:,性质 1 说明, 介于密度曲线 y= f (x) 与 x 轴之间的平面图形的面积等于 1.,密度函数 f (x) 的性质,P31:这说明, 随机变量 X 取单个值 a 的概率都为 0. 故它在任一区间上取值的概率, 与是否包含区间端点无关. 即,由此可见, 计算连续型随机变量 X 在某一区间上取值的概率时, 可以不必区分开区间、闭区间和半开半闭区间.,1. 均匀分布,a,b上的均匀分布，,记作,若X 的密度函数为如下函数 ，则称 X 服从区间,其中,常见的连续性随机变量的分布,即X 在a,b内任何长为 l 的小区间上取值的概率与小区间的位置无关, 只与该小区间的长度 l 成正比.,P32 例10,2. 指数分布,若随机变量 X 具有概率密度,应用场合,指数分布常用来作为各种“寿命”分布的近似。 如服务系统中的服务时间、电子元件的寿命等。,例11 某元件的寿命,服从参数为 的 指数分布, 求3个这样的元件使用1000小时, 至少 已有一个损坏的概率.,解： 先计算一个元件的寿命超过1000h的概率，然后按照3重伯努利概型求解.,设Y表示三个元件中使用1000小时后损坏 的元件数, 则至少有一个损坏的概率为,3. 正态分布（或称为高斯分布）, 正态分布的概率密度,正态分布的密度函数 f ( x )的图形,(1)曲线关于直线 x = 对称,称为正态曲线,(3) 在 x = 处有拐点.,(4) 当x 时，曲线以x轴为渐近线,正态分布通常被称为高斯分布，下图是印着高斯头像和正态曲线的德国马克与纪念币。, 标准正态分布的概率密度,标准正态分布,(1) 曲线关于 y 轴对称, 即 (x) = (x),标准正态分布的密度函数 ( x)的图形,(3) 在 x = 1 处有拐点., 标准正态分布的概率计算,如果依靠上式计算 ( x )的值就太麻烦了, 为了计算方便,书中 P183后, 附表标准正态分布数值表已经给出了x 0时 ( x )的值.,使用标准正态分布数值表时, 必需先搞 清楚以下几种情况 :,(1) 表中 x 的范围是 0, 3.9 , 因此, 当 x 0, 3.9 时, 可直接查表得 (x) 的值; 对于 x 3.9 , 取 ( x ) 1,(2) 由右图,如 P X 1.65 = (1.65 ),= 0.9505,如 P X 2.09 ,= 1 (2.09),= 1 0.9817 = 0.0183,如 P 1.65 X 2.09,= (2.09 ) (1.65 ),= 0.9817 0.9505 = 0.0312,练习 1,方法,会查表 (P183),熟悉 5 个计算公式,标准正态分布的概率计算, 一般正态分布的概率计算,线性转换, N( 0, 1 ),有了这三个转换公式, 正态分布的概率计算都可以通过查标准正态分布数值表完成.,方法,会查表 (P183),熟悉 5 个计算公式,