6[1].5_数列的综合应用

要点梳理 1.解答数列应用题的基本步骤 (1)审题仔细阅读材料，认真理解题意. (2)建模将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征. (3)求解求出该问题的数学解. (4)还原将所求结果还原到原实际问题中.,6.5 数列的综合应用,基础知识 自主学习,2.数列应用题常见模型 (1)等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差. (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比. (3)分期付款模型：设贷款总额为a，年利率为r,等额还款数为b,分n期还完，则b=,基础自测 1.数列an是公差不为0的等差数列且a7、a10、a15是 等比数列bn的连续三项，若等比数列bn的首项 b1=3,则b2等于 （ ） A. B.5 C.2 D. 解析 由条件知 =a7a15, （a7+3d）2=a7(a7+8d), 9d=2a7，q= b1=3，b2=b1q=5.,B,2.一套共7册的书计划每两年出一册，若出完全部各册书，公元年代之和为13 958，则出齐这套书的年份是 （ ） A.1994 B.1996 C.1998 D.2000 解析 设出齐这套书的年份是x， 则（x-12）+(x-10)+(x-8)+x=13 958, 7x- =13 958,x=2000.,D,3.（2009四川文，3）等差数列an的公差不为零，首项a1=1,a2是a1和a5的等比中项，则数列an的前10项之和是 （ ） A.90 B.100 C.145 D.190 解析 由题意知，（a1+d）2=a1(a1+4d), 即 +2a1d+d2= +4a1d,d=2a1=2. S10=10a1+ d=10+90=100.,B,4.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要 （ ） A.6秒 B.7秒 C.8秒 D.9秒 解析 依题意1+21+22+2n-1100, 100,2n101, n7,即至少需要7秒细菌将病毒全部杀死.,B,5.已知数列an中，a1=2，点（an-1,an） (n1且nN)满足y=2x-1，则a1+a2+a10= . 解析 an=2an-1-1，an-1=2(an-1-1), an-1是等比数列，则an=2n-1+1. a1+a2+a10 =10+(20+21+22+29) =10+ =1 033.,1 033,题型一 等差数列与等比数列的综合应用 【例1】数列an的前n项和记为Sn，a1=1,an+1=2Sn+1 (n1). （1）求an的通项公式； （2）等差数列bn的各项为正，其前n项和为Tn，且T3=15，又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列，求Tn. S1， n=1， Sn-Sn-1，n2. 求an. （2）注意等差数列与等比数列之间的相互关系.,思维启迪,（1）运用公式an=,题型分类 深度剖析,解 （1）由an+1=2Sn+1,可得an=2Sn-1+1 (n2), 两式相减得an+1-an=2an,则an+1=3an (n2). 又a2=2S1+1=3,a2=3a1. 故an是首项为1，公比为3的等比数列，an=3n-1. （2）设bn的公差为d, 由T3=15,b1+b2+b3=15,可得b2=5, 故可设b1=5-d,b3=5+d,又a1=1,a2=3,a3=9, 由题意可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2， 解得d1=2,d2=-10. 等差数列bn的各项为正，d0, d=2,b1=3,Tn=3n+ 2=n2+2n.,探究提高 对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析等差、等比数列项之间的关系.往往用到转化与化归的思想方法. 知能迁移1 （2009全国文，17）设等差数列an的前n项和为Sn,公比是正数的等比数列bn的前n项和为Tn,已知a1=1,b1=3,a3+b3=17,T3-S3=12,求an,bn的通项公式. 解 设an的公差为d，bn的公比为q. 由a3+b3=17得1+2d+3q2=17, 由T3-S3=12得q2+q-d=4. 由、及q0解得q=2,d=2. 故所求的通项公式为an=2n-1,bn=32n-1.,题型二 数列与函数的综合应用 【例2】 （12分）已知f(x)=logax(a0且a1)，设 f(a1),f(a2),f(an) (nN*)是首项为4，公差为 2的等差数列. （1）设a为常数，求证：an是等比数列； （2）若bn=anf(an),bn的前n项和是Sn,当a= 时, 求Sn. 利用函数的有关知识得出an的表达式，再利用表达式解决其他问题.,思维启迪,（1）证明 f(an)=4+(n-1)2=2n+2, logaan=2n+2, 2分 an=a2n+2. （n2）为定值. an为等比数列. 5分 (2)解 bn=anf(an)=a2n+2logaa2n+2=(2n+2)a2n+2. 当a= 时，bn=(2n+2) ( )2n+2=(n+1)2n+2. 7分 Sn=223+324+425+(n+1)2n+2 2Sn=224+325+426+n2n+2+(n+1)2n+3 -得 -Sn=223+24+25+2n+2-(n+1)2n+3,=16+ -(n+1)2n+3 =16+2n+3-24-n2n+3-2n+3=-n2n+3. Sn=n2n+3. 12分 数列与函数的综合问题主要有以下两类：（1）已知函数条件，解决数列问题.此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；（2）已知数列条件，解决函数问题.解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形.,探究提高,知能迁移2 设等比数列an的前n项和Sn，首项a1=1, 公比q=f ( -1,0). （1）证明：Sn=（1+ ）- an； （2）若数列bn满足b1= ,bn=f(bn-1) (nN*, n2),求数列bn的通项公式; （3）若 =1,记cn=an ,数列cn的前n项和为 Tn,求证:当n2时,2Tn4.,(1)证明,(2)解, 是首项为 =2,公差为1的等差数列. =2+(n-1)=n+1,即bn=,(3)证明 当 =1时,又Tn+1-Tn0, Tn单调递增.TnT2=2. 故当n2时,2Tn4.,两式相减得,题型三 数列的实际应用 【例3】假设某市2008年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底， （1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2008年为累计的第一年）将首次不少于4 750万平方米？ （2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？（参考数据：1.0841.36,1.0851.47,1.0861.59),（1）要求学生会把实际问题转化为数学 问题:Sn=250n+ 50=25n2+225n4 750. (2)an0.85bn,bn=4001.08n-1. 解 （1）设中低价房的面积形成的数列为an， 由题意可知an是等差数列， 其中a1=250,d=50, 则an=250+(n-1)50=50n+200 Sn=250n+ 50=25n2+225n, 令25n2+225n4 750, 即n2+9n-1900,而n是正整数，n10. 因此到2017年底，该市历年所建中低价房的累计面 积将首次不少于4 750万平方米.,思维启迪,（2）设新建住房面积形成数列bn，由题意可知bn是等比数列，其中b1=400,q=1.08,则bn=400(1.08)n-1. 由题意可知an0.85bn, 即50n+200400(1.08)n-10.85. 当n=5时，a50.85b5, 当n=6时，a60.85b6, 因此满足上述不等式的最小正整数n为6. 因此到2013年底，当年建造的中低价房的面积占该年 建造住房面积的比例首次大于85%.,解决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题，通过反复读题，列出有关信息，转化为数列的有关问题，这也是数学实际应用的具体体现.,探究提高,知能迁移3 某市2008年共有1万辆燃油型公交车, 有关部门计划于2009年投入128辆电力型公交车, 随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%, 试问: (1)该市在2015年应该投入多少辆电力型公交车? (2)到哪一年底,电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的 ?(lg 657=2.82,lg 2=0.30, lg 3=0.48) 解 (1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列an,其中a1=128,q=1.5,则在2015年应该投入的电力型公交车为a7=a1q6=1281.56 =1 458（辆）.,（2）记Sn=a1+a2+an， 依据题意，得 ， 于是Sn= 5 000（辆），即1.5n 两边取常用对数，则nlg 1.5lg 即n 7.3,又nN*，因此n8. 所以到2016年底，电力型公交车的数量开始超过该 市公交车总量的 .,方法与技巧 1.深刻理解等差（比）数列的性质，熟悉它们的推导过程是解题的关键.两类数列性质既有相似之处，又有区别，要在应用中加强记忆.同时，用好性质也会降低解题的运算量，从而减少差错. 2.在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列方程（组）求解，在解方程组时，仔细体会两种情形中解方程组的方法的不同之处.,思想方法 感悟提高,3.数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度.解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟它在解题中的重大作用，常用的数学思想方法有：“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转换”等. 4.在现实生活中，人口的增长、产量的增加、成本的降低、存贷款利息的计算、分期付款问题等，都可以利用数列来解决，因此要会在实际问题中抽象出数学模型，并用它解决实际问题.,失误与防范 1.等比数列的前n项和公式要分两种情况：公比等于1和公比不等于1.最容易忽视公比等于1的情况，要注意这方面的练习. 2.数列的应用还包括实际问题，要学会建模，对应哪一类数列，进而求解. 3.在有些情况下，证明数列的不等式要用到放缩法.,一、选择题 1.各项都是正数的等比数列an中，a2， a3，a1成等 差数列，则 的值为 （ ） A. B. C. D. 或 解析 设an的公比为q (q0)，由a3=a2+a1, 得q2-q-1=0，解得q= . 因此,B,定时检测,2.数列an中,an=3n-7 (nN*), 数列bn满足 b1= ,bn-1=27bn(n2且nN*),若an+logkbn为 常数,则满足条件的k值 （ ） A.唯一存在,且为 B.唯一存在,且为3 C.存在且不唯一 D.不一定存在,解析 依题意, an+logkbn=3n-7+logk( )3n-2 =3n-7+(3n-2)logk =(3+3logk )n-7-2logk , an+logkbn是常数，3+3logk =0, 即logk3=1,k=3. 答案 B,3.有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是 （ ） A.4 B.5 C.6 D.7,解析 正方体按从下向上的顺序其棱长构成等比数 列，其棱长分别为：2， ，1， ， ， n层正方体的表面积为 由已知：40-32（ ）n39， 整理得2n32,n5. 答案 C,4.气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为 元(nN*), 使用它直至报废最合算（所谓报废最合算是指使用这台仪器的平均耗资最少）为止,一共使用了 （ ） A.800天 B.600天 C.1 000天 D.1 200天,解析 由第n天的维修保养费为 元(nN*)， 可以得出观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少 而求得最小值成立时的相应n的值. 设一共使用了n天，则使用n天的平均耗资为 当且仅当 时取得最小值，此时n=800. 答案 A,5.2008年春，我国南方部分地区遭受了罕见的特大冻灾.大雪无情人有情，柳州某中学组织学生在学校开展募捐活动，第一天只有10人捐款，人均捐款10元，之后通过积极宣传，从第二天起，每天的捐款人数是前一天的2倍，且当天人均捐款数比前一天多5元，则截止到第5天（包括第5天）捐款总数将达到 （ ） A.4 800元 B.8 000元 C.9 600元 D.11 200元 解析 由题意知，5天共捐款 1010+（102）（10+5）+（1022）（15+5）+（1023）（20+5）+（1024）（25+5）=8 000（元）.,B,6.已知数列an,bn满足a1=1,且an,an+1是函数f(x)=x2-bnx+2n的两个零点，则b10等于 （ ） A.24 B.32 C.48 D.64 解析 依题意有anan+1=2n，所以an+1an+2=2n+1, 两式相除得 =2,所以a1,a3,a5,成等比数列，a2,a4,a6,成等比数列，而a1=1,a2=2,所以a10=224=32,a11=125=32. 又因为an+an+1=bn，所以b10=a10+a11=64.,D,二、填空题 7.已知数列an满足a1=1,a2=-2,an+2=- ,则该数列前26项的和为 . 解析 由于a1=1,a2=-2,an+2=- ， 所以a3=-1,a4= ,a5=1,a6=-2, 于是an是周期为4的数列， 故S26=6（1-2-1+ ）+1-2=-10.,-10,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ,8.（2008江苏，10）将全体正整数排成一个三角形数阵：,按照以上排列的规律，第n行（n3）从左向右的第 3个数为 . 解析 前n-1行共有正整数1+2+(n-1)个,即 个,因此第n行第3个数是全体正整数中第 +3 个,即为 .,9.（2009福建理，15）五位同学围成一圈依序循环报数，规定： 第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和; 若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次. 已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为.,解析 设第n个同学报出的数为an,则an+an+1=an+2, an+2=an+an+1,an+3=an+1+an+2=an+2an+1, an+4=an+3+an+2=2an+3an+1, an+4+an=3an+3an+1=3(an+an+1). 又an为大于0的整数, an被3整除时，an+4也被3整除； an不被3整除时，an+4也不被3整除. 又a1=1,a2=1,a3=2,a4=3,a5=5, an中被3整除的数为a4+4k(kN), 又甲报出的数为a1+5m(mN), 甲报出的数a1+5m被3整除时，存在kN, 使1+5m=4+4k,k= m-3被4整除，设m-3=4p(pZ)，则m=4p+3. 11+5m100,0m19.8, 04p+319.8,- p4.2, p只能取0，1，2，3，4共5个整数， m只能取3，7，11，15，19共5个整数， 甲报出的数只有5次能被3整除. 甲拍了5次手. 答案 5,三、解答题 10.为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%. （1）以2010年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式； （2）因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？（保留一位小数）参考数据：0.9100.35.,解 （1）由题意知每年的出口量构成等比数列，且 首项a1=a,公比q=1-10%=0.9, an=a0.9n-1. （2）10年出口总量S10= =10a(1-0.910). S1080，10a（1-0.910）80， 即a a12.3. 故2010年最多出口12.3吨.,11.设数列an的前n项和为Sn，且（3-m）Sn+2man=m+3 （n