矩阵的各种运算详解.doc

一、矩阵的线性运算定义1 设有两个矩阵和,矩阵与的和记作, 规定为注：只有两个矩阵是同型矩阵时，才能进行矩阵的加法运算. 两个同型矩阵的和，即为两个矩阵对应位置元素相加得到的矩阵.设矩阵记,称为矩阵的负矩阵, 显然有.由此规定矩阵的减法为.定义2 数与矩阵A的乘积记作或, 规定为数与矩阵的乘积运算称为数乘运算.矩阵的加法与矩阵的数乘两种运算统称为矩阵的线性运算. 它满足下列运算规律：设都是同型矩阵，是常数，则(1) (2) ;(3) (4) (5) (6) (7) (8) 注：在数学中，把满足上述八条规律的运算称为线性运算.二、矩阵的相乘定义3 设矩阵与矩阵的乘积记作, 规定为其中 ，(记号常读作左乘或右乘.注: 只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时, 两个矩阵才能进行乘法运算. 若，则矩阵的元素即为矩阵的第行元素与矩阵的第列对应元素乘积的和. 即.矩阵的乘法满足下列运算规律(假定运算都是可行的)：（1）（2）（3）（4）注: 矩阵的乘法一般不满足交换律, 即例如, 设 则 而 于是 且从上例还可看出: 两个非零矩阵相乘, 可能是零矩阵, 故不能从必然推出或此外, 矩阵乘法一般也不满足消去律,即不能从必然推出 例如, 设则 但 定义4 如果两矩阵相乘, 有则称矩阵A与矩阵B可交换.简称A与B可换.注：对于单位矩阵, 容易证明或简写成可见单位矩阵在矩阵的乘法中的作用类似于数1.更进一步我们有命题1 设是一个n阶矩阵，则是一个数量矩阵的充分必要条件是与任何n阶矩阵可换。命题2 设均为n阶矩阵，则下列命题等价：（1）（2）（3）（4）三、线性方程组的矩阵表示设有线性方程组若记则利用矩阵的乘法, 线性方程组(1)可表示为矩阵形式： (2)其中矩阵称为线性方程组(1)的系数矩阵. 方程(2)又称为矩阵方程. 如果是方程组(1)的解, 记列矩阵则，这时也称是矩阵方程(2)的解; 反之, 如果列矩阵是矩阵方程(2)的解, 即有矩阵等式成立, 则 即也是线性方程组(1)的解. 这样, 对线性方程组(1)的讨论便等价于对矩阵方程(2)的讨论. 特别地, 齐次线性方程组可以表示为将线性方程组写成矩阵方程的形式，不仅书写方便，而且可以把线性方程组的理论与矩阵理论联系起来，这给线性方程组的讨论带来很大的便利.四、矩阵的转置定义6 把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵, 称为的转置矩阵, 记作(或). 即若则.矩阵的转置满足以下运算规律(假设运算都是可行的):(1) (2) (3) (4) 五、方阵的幂定义5 设方阵, 规定称为的次幂.方阵的幂满足以下运算规律（假设运算都是可行的）： (1) (2) 注: 一般地, 为自然数命题3 设均为n阶矩阵， 则有 为自然数，反之不成立。六、方阵的行列式定义7 由阶方阵的元素所构成的行列式(各元素的位置不变),称为方阵的行列式,记作或注: 方阵与行列式是两个不同的概念, 阶方阵是个数按一定方式排成的数表,而阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数值（实数或复数）.方阵的行列式满足以下运算规律(设为阶方阵, 为常数):(1) (2) (3) 进一步七、对称矩阵定义8 设为阶方阵, 如果 即则称为对称矩阵. 显然，对称矩阵的元素关于主对角线对称. 例如 ，均为对称矩阵.如果则称为反对称矩阵.八、共轭矩阵定义9 设为复（数）矩阵, 记其中表示的共轭复数, 称为A的共轭矩阵.共轭矩阵满足以下运算规律(设为复矩阵,为复数, 且运算都是可行的):(1) (2) (3) 例题选讲： 矩阵的线性运算例1 (讲义例1) 已知, 求例2 (讲义例2) 已知 且求注: n阶数量矩阵=例3 (讲义例3) 若 求例4设，。A是一个矩阵，B是矩阵，因此AB有意义，BA也有意义；但。例5设，B=。（这种记法表示主对角线以外没有注明的元素均为零），则（1）；（2）；（3）例6 (讲义例4) 某地区有四个工厂、,生产甲、乙、丙三种产品, 矩阵A表示一年中各工厂生产各种产品的数量, 矩阵B表示各种产品的单位价格(元)及单位利润(元), 矩阵C表示各工厂的总收入及总利润.其中, 是第个工厂生产第种产品的数量, 及分别是第种产品的单位价格及单位利润, 及分别是第个工厂生产三种产品的总收入及总利润. 则矩阵的元素之间有下列关系:其中，即 例7 (讲义例5) 求与矩阵 可交换的一切矩阵.例8 (讲义例6) 证明: 如果 则有例9 (讲义例7) 解矩阵方程 为二阶矩阵例10（1）设，则。（2）设，则。例11 (讲义例8) 已知 求 例12(讲义例9) 设