2020版高考数学第七章立体几何第44讲用向量方法证明平行与垂直课时达标理新人教A版.docx

第44讲 用向量方法证明平行与垂直课时达标一、选择题1若直线l平面，直线l的方向向量为s，平面的法向量为n，则下列结论可能正确的是()As(1,0,2)，n(1,0，1)Bs(1,0,1)，n(1,2，1)Cs(1,1,1)，n(1,2，1)Ds(1,1,1)，n(2,2,2)C解析 由已知需sn0，逐个验证知，只有C项符合要求，故选C.2(2019邢台期末)已知(2,2,1)，(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量为()A(，) B(，)C(，) D(，)C解析 设平面ABC的法向量n(x，y，z)，则即令z1，得所以n(，1,1)所以平面ABC的单位法向量为(，)3直线l的方向向量s(1,1,1)，平面的法向量为n(2，x2x，x)，若直线l平面，则x()A2 B C. DD解析 由已知得sn0，故121(x2x)1(x)0，解得x.4(2019合肥八中月考)已知平面内有一个点M(1，1,2)，平面的一个法向量是n(6，3,6)，则下列点P在平面内的是()AP(2,3,3) BP(2,0,1)CP(4,4,0) DP(3，3,4)A解析 因为n(6，3,6)是平面的法向量，所以n，在选项A中，(1,4,1)，所以n0.5(2019南阳期末)若两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1(1,0，1)，v2(2,0,2)，则l1与l2的位置关系是()A平行 B相交 C垂直 D不确定A解析 v22v1，所以l1l2.6如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A斜交 B平行C垂直 D不确定B解析 建立如图所示的空间直角坐标系，由于A1MAN，则M，N，又C1D1平面BB1C1C，所以(0，a,0)为平面BB1C1C的一个法向量因为0，所以，所以MN平面BB1C1C，故选B.二、填空题7若直线l的方向向量e(2,1，m)，平面的法向量n，且l，则m_.解析 因为l，所以en，即en(0)，亦即(2,1，m)，所以则m4.答案 48已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则实数x，y，z分别为_解析 由已知得解得答案 ，49已知平面内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面的一个法向量n(1，1，1)，则不重合的两个平面与的位置关系是_解析 由已知得，(0,1，1)，(1,0，1)，设平面的一个法向量为m(x，y，z)，则得得令z1，得m(1,1,1)又n(1，1，1)，所以mn，即mn，所以.答案 平行三、解答题10如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，侧棱PA底面ABCD，且PAAD2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点求证：(1)PB平面EFH；(2)PD平面AHF.证明 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.所以A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，H(1,0,0)(1)因为(2,0，2)，(1,0，1)，所以2，所以PBEH.因为PB平面EFH，EH平面EFH，所以PB平面EFH.(2)(0,2，2)，(1,0,0)，(0,1,1)，所以0021(2)10，0120(2)00，所以PDAF，PDAH，又因为AFAHA，所以PD平面AHF.11如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别为A1B1，B1C1，C1D1的中点(1)求证：AG平面BEF；(2)试在棱长BB1上找一点M，使DM平面BEF，并证明你的结论解析 (1)以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，E，F，G，因为，而，所以，故与平面BEF共面，又因为AG不在平面BEF内，所以AG平面BEF.(2)设M(1,1，m)，则(1,1，m)，由0，0，所以m0m ，所以M为棱BB1的中点时，DM平面BEF.12已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3，点E在AA1上，点F在CC1上，且AEFC11.(1)求证：E，B，F，D1四点共面；(2)若点G在BC上，BG，点M在BB1上，GMBF，垂足为H，求证：EM平面BCC1B1.证明 (1)以B为原点，以BA，BC，BB1为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则B(0,0,0)，E(3,0,1)，F(0,3,2)，D1(3,3,3)，则(3,0,1)，(0,3,2)，(3,3,3)，所以.由向量共面的充要条件知E，B，F，D1四点共面(2)设M(0,0，z0)，G，则，而(0,3,2)，由题设得3z020，得z01.故M(0,0,1)，有(3,0,0)又(0,0,3)，(0,3,0)，所以0，0，从而MEBB1，MEBC.又BB1BCB，故ME平面BCC1B1.13选做题如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直ABCD，ABBC，AB2CD2BC，EAEB.(1)求证：ABDE；(2)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；(3)线段EA上是否存在点F，使EC平面FBD？若存在，求出；若不存在，请说明理由解析 (1)证明：取AB的中点O，连接EO，DO.因为EBEA，所以EOAB.因为四边形ABCD为直角梯形AB2CD2BC，ABBC，所以四边形OBCD为正方形，所以ABOD.因为EODOO，所以AB平面EOD，所以ABED.(2)因为平面ABE平面ABCD，且EOAB，所以EO平面ABCD，所以EOOD.由OB，OD，OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.因为三角形EAB为等腰直角三角形，所以OAOBODOE，设OB1，所以O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，E(0,0,1)所以(1,1，1)，平面ABE的一个法向量为(0,1,0)设直线EC与平面ABE所成的角为，所以sin |cos，|，即直线EC与平面ABE所成角的正弦