2020版高考数学一轮复习第五章平面向量第3讲平面向量的数量积及应用教案理（含解析）新人教A版.docx

第3讲平面向量的数量积及应用基础知识整合1数量积的有关概念(1)两个非零向量a与b，过O点作a，b，则AOB，叫做向量a与b的夹角；范围是0180.(2)a与b的夹角为90度时，叫ab.(3)若a与b的夹角为，则ab|a|b|cos.(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.(5)a在b的方向上的投影为|a|cos.(6)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，夹角为，则|a|，cos .abx1x2y1y20.abx1y2x2y10.2数量积满足的运算律已知向量a，b，c和实数，则向量的数量积满足下列运算律：(1)abba.(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab)cacbc.1数量积运算律要准确理解、应用，例如，abac(a0)不能得出bc，两边不能约去一个向量2数量积不满足结合律(a b)ca(bc)3当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|，特别地，aaa2或|a|.1(2019重庆模拟)已知向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，且(2a3b)c，则实数k()A B0 C3 D答案C解析因为2a3b(2k3，6)，(2a3b)c，所以(2a3b)c2(2k3)60，解得k3.选C.2(2019泉州质检)已知正六边形ABCDEF的边长为1，则()的值为()A BC D答案D解析由图知，与的夹角为120.()cos12012.3(2018全国卷)已知向量a，b满足|a|1，ab1，则a(2ab)()A4 B3 C2 D0答案B解析因为a(2ab)2a2ab2|a|2(1)213.故选B.4(2016全国卷)已知向量，则ABC()A30 B45 C60 D120答案A解析cosABC，所以ABC30.故选A.5(2019三门峡质检)已知向量a，b满足|2ab|，且ab，则|2ab|_.答案解析|2ab|，(2ab)27，即4a2b24ab7，ab，ab0，4a2b27，|2ab|.6已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_，的最大值为_答案11解析()()|2.因为，所以0.所以1201.设AEAB(01)，则()|2(01)，的最大值为1.核心考向突破考向一平面向量数量积的运算例1(1)(2019绍兴模拟)已知向量a，b满足|a|，(a2b)a，则向量b在向量a方向上的投影为()A B C D答案A解析(a2b)a，(a2b)a22|a|b|cosa，b0，|a|b|cosa，b1，即|b|cosa，b1，向量b在向量a方向上的投影为|b|cosa，b，故选A.(2)(2018上海高考)在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，B(2,0)，E，F是y轴上的两个动点，且|2，则的最小值为_答案3解析设E(0，m)，F(0，n)，又A(1,0)，B(2,0)，(1，m)，(2，n)2mn，又知|2，|mn|2.当mn2时，mn2(n2)n2n22n2(n1)23.当n1，即E(0,1)，F(0，1)时，取得最小值3.当mn2时，mn2(n2)n2n22n2(n1)23.当n1，即E(0，1)，F(0,1)时，取得最小值3.综上可知，的最小值为3.触类旁通 向量数量积的两种运算方法(1)当向量的模和夹角已知时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cosa，b(2)当向量的坐标已知时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.即时训练1.(2019湖北模拟)已知点A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为()A BC D答案A解析(2,1)，(5,5)，由定义知在方向上的投影为.2已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，ae12e2，bke1e2，若ab0，则实数k的值为_答案解析因为ab(e12e2)(ke1e2)ke(12k)(e1e2)2e，且|e1|e2|1，e1e2，所以k(12k)20，解得k.考向二平面向量数量积的性质角度平面向量的垂直例2(1)已知向量a(1,2)，b(2，3)若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c()A. B.C. D.答案D解析不妨设c(m，n)，则ac(1m,2n)，ab(3，1)，由(ca)b得3(1m)2(2n)，由c(ab)得3mn0，联立，解得故选D. (2)如图所示，在ABC中，ADAB，|1，则()A.2 B. C. D.答案D解析()|cosBDA|2.故选D.角度平面向量的模例3(1)(2019济南模拟)设向量a，b满足|a|1，|ab|，a(ab)0，则|2ab|()A2 B2 C4 D4答案B解析a(ab)0，a2ab1，|ab|2a22abb23，b24，|2ab|2.故选B.(2)已知向量a与b的夹角为120，|a|3，|ab|，则|b|等于()A5 B4 C3 D1答案B解析|ab|2(ab)2a22abb2|a|22|a|b|cos120|b|23223|b|b|293|b|b|213，即|b|23|b|40，解得|b|4或|b|1(舍去)故选B.角度平面向量的夹角例4(1)若非零向量a，b满足|a|b|，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为()A. B. C. D.答案A解析由条件，得(ab)(3a2b)3a22b2ab0，即ab3a22b2.又|a|b|，所以ab322b2b2，所以cosa，b，所以a，b.故选A.(2)(2017山东高考)已知e1，e2是互相垂直的单位向量若e1e2与e1e2的夹角为60，则实数的值是_答案解析由题意知|e1|e2|1，e1e20，|e1e2| 2.同理|e1e2|.所以cos60，解得.触类旁通 平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cos，要注意0，(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：abab0|ab|ab|.即时训练3.(2019济宁模拟)平面四边形ABCD中，0，()0，则四边形ABCD是()A矩形 B正方形C菱形 D梯形答案C解析因为0，所以，所以四边形ABCD是平行四边形又()0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形故选C.4(2019江西六校联考)设向量a，b满足|a|2，|b|ab|3，则|a2b|_.答案4解析由|ab|3知|a|2|b|22ab9，又|a|2，|b|3，2ab4，|a2b|4.5(2019安徽“江淮十校”联考)若非零向量a，b满足|a|3|b|a2b|，则a与b的夹角余弦值为_答案解析|a|a2b|，|a|2|a|24ab4|b|2，ab|b|2，cos.考向三向量运算的最值或范围问题例5(1)(2017全国卷)已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()的最小值是()A2 BC D1答案B解析(解析法)建立坐标系如图1所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(0，)，B(1,0)，C(1,0)设P点的坐标为(x，y)，则(x，y)，(1x，y)，(1x，y)，()(x，y)(2x，2y)2(x2y2y)22.当且仅当x0，y时，()取得最小值，最小值为.故选B.(几何法)如图2所示，2(D为BC的中点)，则()2.要使最小，则与方向相反，即点P在线段AD上，则(2)min2|，问题转化为求|的最大值又|2，|22，()min(2)min2.故选B.(2)在矩形ABCD中，AB2，AD1，E为线段BC上的点，则的最小值为()A2 B C D4答案B解析解法一：设(01)，则，(1)，()(1)又|2，|1，且ABBC即0，4(1)242.当时，最小为，故选B.解法二：如图建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，D(0,1)，设E(2，y)(0y1)，则(2，y)，(2，y1)，y2y42.当y时，最小为，故选B.触类旁通 求向量的最值或范围问题求最值或取值范围必须有函数或不等式，因此，对于题目中给出的条件，要结合要求的夹角或长度或其他量，得出相应的不等式或函数(包括自变量的范围)，然后利用相关知识求出最值或取值范围即时训练6(2019温州模拟)如图，AOB为等腰直角三角形，OA1，OC为斜边AB的高，点P在射线OC上，则的最小值为()A1 BC D答案B解析设|t0，因为，则()2t2t2，当t时取等号，所以的最小值为.故选B.7在平行四边形ABCD中，A，边AB，AD的长分别为2,1，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足，则的取值范围是_答案2,5解析设(01)，则，(1)(1)，则()()()(1)(1)22(1).又21cos1，24，21，225(1)26.01，25，即的取值范围是2,5(2018天津高考)在如图的平面图形中，已知OM1，ON2，MON120，2，2，则的值为()A15 B9 C6 D0答案C解析解法一：(基向量法)如图所示，连接MN，由2，2可知点M，N分别为线段AB，AC上靠近点A的三等分点，则33()，由题意可知，2121，12cos1201，结合数量积的运算律可得，3()332336.故选C.解法二：(坐标法)在ABC中，不妨设A90，取特殊情况ONAC，以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，因为MON120，ON2，OM1，所以O，C，M，B.故6.故选C.答题启示向量与平面几何综合问题的解法(1)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解(2)坐标法若把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决 对点训练(2019石家庄模拟