概率习题答案.doc

第三章 多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量及其分布习题1设(X,Y)的分布律为XY1 2 311/6 1/9 1/1821/3a1/9求a.分析：dsfsd1f6d54654646解答：由分布律性质ijPij=1,可知1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1,解得a=2/9.习题2(1)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：(1)PaXb,Yc;解答：PaXb,Yc=F(b,c)-F(a,c).习题2(2)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：(2)P0Yb;解答：P0a,Yb.解答：PXa,Yb=F(+,b)-F(a,b).习题3(1)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求：(1)P12X32,0Y4;解答：P12X23,0YY=1，且由正态分布图形的对称性，知 PXY=PXY,故 PXY=12.习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=k(6-x-y),0x2,2y40,其它,(1)确定常数k;(2)求PX1,Y3;(3)求PX1.5;(4)求PX+Y4.解答：如图所示(1)由-+-+f(x,y)dxdy=1,确定常数k.0224k(6-x-y)dydx=k02(6-2x)dx=8k=1,所以k=18.(2)PX1,Y3=01dx2318(6-x-y)dy=38.(3)PX1,有F(x,y)=PX1,Yy=40xudu01ydy=x2.最后，设x1,0y1,有F(x,y)=PX1,Yy=401xdx0yvdv=y2.函数F(x,y)在平面各区域的表达式F(x,y)=0,x0或y0x2,0x1,y1x2y2,0x1,0y1.y2,x习题9设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=4.8y(2-x),0x1,xy10,其它,求边缘概率密度fY(y).解答：fX(x)=-+f(x,y)dy=0x4.8y(2-x)dy,0x10,其它=2.4x2(2-x),0x10,其它.fY(y)=-+f(x,y)dx=0y4.8y(2-x)dx,0y10,其它=2.4y(4y-y2),0y10,其它.习题10设(X,Y)在曲线y=x2,y=x所围成的区域G里服从均匀分布，求联合分布密度和边缘分布密度.解答：区域G的面积A=01(x-x2)dx=16,由题设知(X,Y)的联合分布密度为f(x,y)=6,0x1,x2yx0,其它,从而fX(x)=-+f(x,y)dy=6x2xdy=6(x-x2),0x1,即fX(x)=6(x-x2),0x10,其它,fY(y)=-+f(x,y)dx=6yydx=6(y-y),0y1,即fY(y)=6(y-y),0y10,其它.3.2 条件分布与随机变量的独立性习题1二维随机变量(X,Y)的分布律为XY01017/157/307/301/15(1)求Y的边缘分布律；(2)求PY=0X=0,PY=1X=0;(3)判定X与Y是否独立？解答：(1)由(x,y)的分布律知，y只取0及1两个值.Py=0=Px=0,y=0+Px=1,y=0=715+730=0.7Py=1=i=01Px=i,y=1=130+115=0.3.(2)Py=0x=0=Px=0,y=0Px=0=23,Py=1x=0=13.(3)已知Px=0,y=0=715,由(1)知Py=0=0.7,类似可得Px=0=0.7.因为Px=0,y=0Px=0Py=0,所以x与y不独立.习题2将某一医药公司9月份和8份的青霉素针剂的订货单分别记为X与Y. 据以往积累的资料知X和Y的联合分布律为XY515253545551525354550.060.050.050.010.010.070.050.010.010.010.050.100.100.050.050.050.020.010.010.030.050.060.050.010.03(1)求边缘分布律;(2)求8月份的订单数为51时，9月份订单数的条件分布律.解答：(1)边缘分布律为X5152535455pk0.180.150.350.120.20对应X的值,将每行的概率相加,可得PX=i.对应Y的值(最上边的一行),将每列的概率相加，可得PY=j.Y5152535455pk0.280.280.220.090.13(2)当Y=51时,X的条件分布律为PX=kY=51=PX=k,y=51PY=51=pk,510.28,k=51,52,53,54,55.列表如下:k5152535455PX=kY=516/287/285/285/285/28习题3已知(X,Y)的分布律如下表所示，试求：(1)在Y=1的条件下,X的条件分布律;(2)在X=2的条件下,Y的条件分布律.XY0120121/41/8001/301/601/8解答：由联合分布律得关于X,Y的两个边缘分布律为X012pk3/81/37/24Y012pk5/1211/241/8故(1)在Y=1条件下，X的条件分布律为X(Y=1)012pk3/118/110(2)在X=2的条件下，Y的条件分布律为Y(X=2)012pk4/703/7习题4已知(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)=3x,0x1,0yx0,其它,求：(1)边缘概率密度函数；(2)条件概率密度函数.解答：(1)fX(x)=-+f(x,y)dy=3x2,0x10,其它,fY(y)=-+f(x,y)dx=32(1-y2),0y10,其它.(2)对y(0,1),fXY(xy)=f(x,y)fY(y)=2x1-y2,yx1,0,其它,对x(0,1),fYX(yx)=f(x,y)fX(x)=1x,0yX=05x52(5-y)125dydx=13.习题7设随机变量X与Y都服从N(0,1)分布，且X与Y相互独立，求(X,Y)的联合概率密度函数.解答：由题意知，随机变量X,Y的概率密度函数分别是fX(x)=12e-x22，fY(y)=12e-y22因为X与Y相互独立，所以(X,Y)的联合概率密度函数是f(x,y)=12e-12(x+y)2.习题8设随机变量X的概率密度f(x)=12e-x(-x0,各有PXa,Xa=PXaPXa,而事件XaXa,故由上式有PXa=PXaPXa,PXa(1-PXa)=0PXa=0或1=PXa(a0)但当a0时，两者均不成立，出现矛盾，故X与X不独立.习题9设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在(0,1)上服从均匀分布，Y的概率密度为fY(y)=12e-y2,y00,y0,(1)求X与Y的联合概率密度；(2)设有a的二次方程a2+2Xa+Y=0,求它有实根的概率.解答：(1)由题设易知fX(x)=1,0x10,其它,又X,Y相互独立，故X与Y的联合概率密度为f(x,y)=fX(x)fY(y)=12e-y2,0x00,其它;(2)因a有实根=判别式2=4X2-4Y0=X2Y,故如图所示得到：Pa有实根=PX2Y=x2yf(x,y)dxdy=01dx0x212e-y2dy=-01e-x22dx=1-1e-x22dx-0e-x22dx=1-212-1e-x22dx-12-0e-x22dx=1-2(1)-(0),又(1)=0.8413,(0)=0.5,于是(1)-(0)=0.3413,所以Pa有实根=1-2(1)-(0)1-2.510.3413=0.1433.3.3 二维随机变量函数的分布习题1设随机变量X和Y相互独立，且都等可能地取1,2,3为值，求随机变量U=maxX,Y和V=minX,Y的联合分布.解答：由于UV,可见PU=i,V=j=0(ij),于是，随机变量U和V的联合概率分布为V概率U12311/92/92/9201/92/93001/9习题2设(X,Y)的分布律为XY-112-121/101/53/101/51/101/10试求：(1)Z=X+Y;(2)Z=XY;(3)Z=X/Y;(4)Z=maxX,Y的分布律.解答：与一维离散型随机变量函数的分布律的计算类型，本质上是利用事件及其概率的运算法则.注意，Z的相同值的概率要合并.概率1/101/53/101/51/101/10(X,Y)X+YXYX/Ymaxx,Y(-1,-1)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,1)(2,2)-2011341-1-2-2241-1-1/2-221112222于是(1)X+Y-20134pi1/101/51/21/101/10(2)XY-20134pi1/21/51/101/101/10(3)X/Y-2-1-1/212pi1/51/53/101/51/10(4)maxX,Y-112pi1/101/57/10习题3设二维随机向量(X,Y)服从矩形区域D=(x,y0x2,0y1的均匀分布，且U=0,XY1,XY,V=0,X2Y1,X2Y,求U与V的联合概率分布.解答：依题(U,V)的概率分布为PU=0,V=0=PXY,X2Y=PXY=01dxx112dy=14,PU=0,V=1=PXY,X2Y=0,PU=1,V=0=PXY,X2Y=PYX2Y=01dyy2y12dx=14,PU=1,V=1=1-PU=0,V=0-PU=0,V=1-PU=1,V=0=1/2,即UV01011/401/41/2习题4设(X,Y)的联合分布密度为f(x,y)=12e-x2+y22,Z=X2+Y2,求Z的分布密度.解答： FZ(z)=PZz=PX2+Y2z.当z0时，FZ(z)=P()=0;当z0时，FZ(z)=PX2+Y2z2=x2+y2z2f(x,y)dxdy=12x2+y2z2e-x2+y22dxdy=1202d0ze-22d=0ze-22d=1-e-z22.故Z的分布函数为FZ(z)=1-e-z22,z00,z00,z0.习题5设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=12(x+y)e-(x+y),x0,y00,其它,(1)问X和Y是否相互独立？(2)求Z=X+Y的概率密度.解答：(1)fX(x)=-+f(x,y)dy=0+12(x+y)e-(x+y)dy,x00,x0under2line令x+y=tx+12te-tdt=12(x+1)e-x,x00,x0,由对称性知fY(y)=12(y+1)e-y,y00,y0,显然f(x,y)fX(x)fY(y),x0,y0,所以X与Y不独立.(2)用卷积公式求fZ(z)=-+f(x,z-x)dx.当x0z-x0即x0x0时，fZ(z)=0z12xe-xdx=12z2e-z.于是，Z=X+Y的概率密度为fZ(z)=12z2e-z,z00,z0.习题6设随机变量X,Y相互独立，若X服从(0,1)上的均匀分布，Y服从参数1的指数分布，求随机变量Z=X+Y的概率密度.解答：据题意，X,Y的概率密度分布为fX(x)=1,0x10,其它,fY(y)=e-y,y00,y0,由卷积公式得Z=X+Y的概率密度为fZ(z)=-+fX(x)fY(z-x)dx=-+fX(z-y)fY(y)dy=0+fX(z-y)e-ydy.由0z-y1得z-1y0时，fZ(z)=0+fX(z-y)e-ydy=max(0,z-1)ze-ydy=e-max(0,z-1)-e-z,即fZ(z)=0,z01-e-z,01.习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=be-(x+y),0x1,0y+,0,其它.（1）试确定常数b；（2）求边缘概率密度fX(x),fY(y)；（3）求函数U=maxX,Y的分布函数.解答：（1）由-+-+f(x,y)dxdy=1，确定常数b.01dx0+be-xe-ydy=b(1-e-1)=1，所以b=11-e-1，从而f(x,y)=11-e-1e-(x+y),0x1,0y+,0,其它.（2）由边缘概率密度的定义得fX(x)=0+11-e-1e-(x+y)dy=e-x1-e-x,0x1,0,其它，fY(x)=0111-e-1e-(x+y)dx=e-y,0y+,0,其它（3）因为f(x,y)=fX(x)fY(y)，所以X与Y独立，故FU(u)=PmaxX,Yu=PXu,Yu=FX(u)FY(u)，其中FX(x)=0xe-t1-e-1dt=1-e-x1-e-1,0x1，所以FX(x)=0,x0,1-e-x1-e-1,0x1,1,x1.同理FY(y)=0ye-tdt=1-e-y,0y+,0,y0，因此FU(u)=0,u0,(1-e-u)21-e-1,0u00,x0,2(y)=e-y,y00,y0,其中0,0,试求系统L的寿命Z的概率密度.解答：设Z=minX,Y,则F(z)=PZz=Pmin(X,Y)z =1-Pmin(X,Y)z=1-PXz,Yz =1-1PXz1-PYz=1-1-F1z1-F2z由于F1(z)=0ze-xdx=1-e-z,z00,z0,F2(z)=1-e-z,z00,z0,故 F(z)=1-e-(+)z,z00,z00,z0.习题9设随机变量X,Y相互独立，且服从同一分布，试证明：Paa2-PXb2.解答：设minX,Y=Z,则Paz=1-PXz,Yz=1-PXzPYz=1-PXz2,代入得Pab2-(1-PXa2) =PXa2-PXb2.证毕.复习总结与总习题解答习题1在一箱子中装有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种试验：(1)放回抽样；(2)不放回抽样.我们定义随机变量X,Y如下：X=0,若第一次取出的是正品1,若第一次取出的是次品, Y=0,若第二次取出的是正品1,若第二次取出的是次品,试分别就(1),(2)两种情况，写出X和Y的联合分布律.解答：(1)有放回抽样，(X,Y)分布律如下：PX=0,Y=0=10101212=2536; PX=1,Y=0=2101212=536,PX=0,Y=1=1021212=536, PX=1,Y=1=221212=136,(2)不放回抽样，(X,Y)的分布律如下：PX=0,Y=0=1091211=4566, PX=0,Y=1=1021211=1066,PX=1,Y=0=2101211=1066, PX=1,Y=1=211211=166,YX010145/6610/6610/661/66习题2假设随机变量Y服从参数为1的指数分布，随机变量 Xk=0,若Yk1,若Yk(k=1,2),求(X1,X2)的联合分布率与边缘分布率.解答：因为Y服从参数为1的指数分布，X1=0,若Y11,若Y1, 所以有 PX1=1=PY1=1+e-ydy=e-1, PX1=0=1-e-1,同理 PX2=1=PY2=2+e-ydy=e-2, PX2=0=1-e-2,因为 PX1=1,X2=1=PY2=e-2， PX1=1,X2=0=PX1=1-PX1=1,X2=1=e-1-e-2, PX1=0,X2=0=PY1=1-e-1, PX1=0,X2=1=PX1=0-PX1=0,X2=0=0,故(X1,X2)联合分布率与边缘分布率如下表所示：X1slashX201PX1=i01-e-101-e-11e-1-e-2e-2e-1PX2=j1-e-2e-2习题3在元旦茶话会上，每人发给一袋水果，内装3只橘子，2只苹果，3只香蕉. 今从袋中随机抽出4只，以X记橘子数，Y记苹果数，求(X,Y)的联合分布.解答：X可取值为0,1,2,3,Y可取值0,1,2. PX=0,Y=0=P=0, PX=0,Y=1=C30C21C33/C84=2/70, PX=0,Y=2=C30C22C32/C84=3/70, PX=1,Y=0=C31C20C33/C84=3/70, PX=1,Y=1=C31C21C32/C84=18/70, PX=1,Y=2=C31C22C31/C84=9/70, PX=2,Y=0=C32C20C32/C84=9/70, PX=2,Y=1=C32C21C31/C84=18/70, PX=2,Y=2=C32C22C30/C84=3/70, PX=3,Y=0=C33C20C31/C84=3/70, PX=3,Y=1=C33C21C30/C84=2/70, PX=3,Y=2=P=0,所以，(X,Y)的联合分布如下：XY012301203/709/703/702/7018/7018/702/703/709/703/700习题4设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X,Y)的联合分布律及关于X与Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处：XYy1y2y3pix11/8x21/8pj1/61解答：由题设X与Y相互独立，即有 pij=pipj(i=1,2;j=1,2,3), p1-p21=p11=16-18=124,又由独立性，有 p11=p1p1=p116故p1=14.从而p13=14-124-18, 又由p12=p1p2, 即18=14p2.从而p2=12. 类似的有 p3=13,p13=14,p2=34.将上述数值填入表中有XYy1y2y3pix11/241/81/121/4x21/83/81/43/4pj1/61/21/31习题5设随机变量(X,Y)的联合分布如下表：求：(1)a值； (2)(X,Y)的联合分布函数F(x,y)； (3)(X,Y)关于X,Y的边缘分布函数FX(x)与FY(y).解答：(1)because由分布律的性质可知ijPij=1, 故14+14+16+a=1,a=13.(2)因F(x,y)=PXx,Yy当x1或y-1时，F(x,y)=0;当1x2,-1y0时，F(x,y)=PX=1,Y=-1=1/4;当x2,-1y0时， F(x,y)=PX=1,Y=-1+PX=2,Y=-1=5/12;当1x0时， F(x,y)=PX=1,Y=-1+PX=1,Y=0=1/2;当x2,y0时， F(x,y)=PX=1,Y=-1+PX=2,Y=-1 +PX=1,Y=0+PX=2,Y=0 =1;综上所述，得(X,Y)联合分布函数为 F(x,y)=0,x1或y-11/4,1x2,-1y05/12,x2,-1y01/2,1x2,y01,x2,y0.(3)由FX(x)=PXx,Y+=xixj=1+pij, 得(X,Y)关于X的边缘分布函数为： FX(x)=0,x114+14,1x214+14+16+13,x2=0,x11/2,1x21,x2,同理，由FY(y)=PX+,Yy=yiyi=1+Pij, 得(X,Y)关于Y的边缘分布函数为 FY(y)=0,y-12/12,-1y01,y0.习题6设随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y)=c(R-x2+y2),x2+y2R0,x2+y2R,求：(1)常数c; (2)PX2+Y2r2(rR).解答：(1)因为 1=-+-+f(x,y)dydx=x2+y2Rc(R-x2+y)dxdy =020Rc(R-)dd=cR33,所以有c=3R3.(2)PX2+Y2r2=x2+y2r23R3R-x2+y2dxdy =020r3R3(R-)dd=3r2R2(1-2r3R).习题7设f(x,y)=1,0x2,max(0,x-1)ymin(1,x)0,其它, 求fX(x)和fY(y).解答： max(0,x-1)=0,x1x-1,x1, min(1,x)=x,x11,x1,所以，f(x,y)有意义的区域(如图)可分为 0x1,0yx,1x2,1-xy1,即f(x,y)=1,0x1,0yx1,1x2,x-1y1,0,其它 所以 fX(x)=0xdy=x,0x0,y00,其它,(1)确定常数c; (2)求X,Y的边缘概率密度函数；(3)求联合分布函数F(x,y); (4)求PYX;(5)求条件概率密度函数fXY(xy); (6)求PX2Y00,x0=2e-2x,x00,x0,fY(y)=-+f(x,y)dx=0+2e-2xe-ydx,y00,其它=e-y,y00,y0.(3)F(x,y)=-x-yf(u,v)dvdu =0x0y2e-2ue-vdvdu,x0,y00,其它 =(1-e-2x)(1-e-y),x0,y00,其它.(4)PYX=0+dx0x2e-2xe-ydy=0+2e-2x(1-e-x)dx=13.(5)当y0时， fXY(xy)=f(x,y)fY(y)=2e-2xe-ye-y,x00,x0=2e-2x,x00,x0.(6)PX2Y1=PX2,Y1PY1 =F(2,1)01e-ydy=(1-e-1)(1-e-4)1-e-1=1-e-4.习题10设随机变量X以概率1取值为0, 而Y是任意的随机变量，证明X与Y相互独立.解答：因为X的分布函数为F(x)=0,当x0时1,当x0时, 设Y的分布函数为FY(y),(X,Y)的分布函数为F(x,y)，则当x0时，对任意y, 有 F(x,y)=PXx,Yy=P(Xx)(Yy) =P(Yy)=P=0=FX(x)FY(y);当x0时，对任意y, 有 F(x,y)=PXx,Yy=P(Xx)(Yy) =PS(Yy)=PYy=Fy(y)=FX(x)FY(y),依定义，由F(x,y)=FX(x)FY(y)知，X与Y独立.习题11设连续型随机变量(X,Y)的两个分量X和Y相互独立，且服从同一分布，试证PXY=1/2.解答：因为X,Y独立，所以f(x,y)=fX(x)fY(y). PXY=xyf(x,y)dxdy=xyfX(x)fY(y)dxdy =-+fY(y)-yfX(x)dxdy=-+fY(y)FY(y)dy =-+FY(y)dFY(y)=F2(y)2-+=12,也可以利用对称性来证，因为X,Y独立同分布，所以有 PXY=PYX,而PXY+PXY=1, 故 PXY=1/12.习题12设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为若X与Y相互独立，求参数a,b,c的值.解答：关于X的边缘分布为Xx1x2x3pka+1/9b+1/9c+1/3关于Y的边缘分布为Yy1y2pk1/9+a+c4/9+b由于X与Y独立，则有p22=p2p2 得 b=(b+19)(b+49) p12=p1p2 得 19=(a+19)(b+49) 由式得b=29, 代入式得a=118. 由分布律的性质，有a+b+c+19+19+13=1,代入a=118,b=29, 得c=16.易验证，所求a,b,c的值，对任意的i和j均满足pij=pipj.因此，所求a,b,c的值为a=118,b=29,c=16.习题13已知随机变量X1和X2的概率分布为且PX1X2=0=1.(1)求X1和X2的联合分布律； (2)问X1和X2是否独立？解答：(1)本题是已知了X1与X2的边缘分布律，再根据条件PX1X2=0=1, 求出联合分布. 列表如下：X2X1-101PX2=j011/401/401/201/21/2PX1=i1/41/21/41由已知PX1X2=0=1,即等价于PX1X20=0,可知PX1=1,X2=1=0,PX1=-1,X2=1=0.再由p1=p-11+p11+p01, 得p01=12, p-10=p-1=p-11=14,p10=p1-p11=14,从而得p00=0.(2)由于p-10=14p-1p0=1412=18, 所以知X1与X2不独立.习题14设(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)=1R2,x2+y2R20,其它,(1)求X与Y的边缘概率密度；(2)求条件概率密度，并问X与Y是否独立？解答：(1)当xR时，fX(x)=-+f(x,y)dy=-+0dy=0;当-RxR时，fX(x)=-+f(x,y)dy=1R2-R2-x2R2-x2dy=2R2R2-x2.于是fX(x)=2R2-x2R2,-RxR0,其它.由于X和Y的地位平等，同法可得Y的边缘概率密度是：fY(y)=2R2-y2R2,-RyR0,其它.(2)fXY(xy)=f(x,y)fY(y)注意在y处x值位于xR2-y2这个范围内，f(x,y)才有非零值，故在此范围内，有fXY(xy)=1R22R2R2-y2=12R2-y2,即Y=y时X的条件概率密度为fXY(xy)=12R2-y2,xR2-y20,其它.同法可得X=x时Y的条件概率密度为fYX(yx)=12R2-x2,yR2-x20,其它.由于条件概率密度与边缘概率密度不相等，所以X与Y不独立.习题15设(X,Y)的分布律如下表所示XY-112 -121/102/103/102/101/101/10求：(1)Z=X+Y; (2)Z=maxX,Y的分布律.解答：与一维离散型随机变量函数的分布律的计算类似，本质上是利用事件及其概率的运算法则. 注意，Z的相同值的概率要合并.概率 (X,Y)X+YXYX/YmaxX,Y 1/102/103/102/101/101/10 (-1,-1)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,1)(2,2)-2011341-1-2-2241-1-1/2-221-112222于是(1)X+Y-20134pi1/102/105/101/101/10 (2)maxX,Y-112pi1/102/107/10习题16设(X,Y)的概率密度为f(x,y)=1,0x1,0y2(1-x)0,其他，求Z=X+Y的概率密度.解答：先求Z的分布函数Fz(z)，再求概率密度 fz(z)=dFz(z)dz.如右图所示.当z0时，Fz(z)=PX+Yz=0;当0z1时， Fz(z)=PX+Yz=x+yzf(x,y)dxdy =0zdx0z-x1dy=0z(z-x)dx=z2-12x20z=12z2；当1z2时， Fz(z)=02-zdx0z-xdy+2-z1dx02(1-x)