三年高考（2017_2019）高考数学真题分项汇编专题13不等式、推理与证明理（含解析）.docx

专题13不等式、推理与证明1【2019年高考全国I卷理数】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是A165 cmB175 cmC185 cmD190 cm【答案】B【解析】方法一：如下图所示.依题意可知：，腿长为105 cm得，即，所以AD169.89.头顶至脖子下端长度为26 cm，即ABb，则Aln(ab)0B3a0Dab【答案】C【解析】取，满足，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，所以，故选C【名师点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断4【2019年高考北京卷理数】若x，y满足，且y1，则3x+y的最大值为A7B1C5D7【答案】C【解析】由题意作出可行域如图阴影部分所示. 设,当直线经过点时,取最大值5.故选C【名师点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型,根据“画移解”等步骤可得解.题目难度不大,注重了基础知识基本技能的考查.5【2019年高考北京卷理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足m2m1=lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A 1010.1B 10.1C lg10.1D 1010.1【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足,令,.故选：A【名师点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识信息处理能力阅读理解能力以及指数对数运算.6【2019年高考天津卷理数】设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为A2B3C5D6【答案】D【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分.目标函数的几何意义是直线在轴上的截距，故目标函数在点处取得最大值.由，得，所以.故选C.【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围即：一画，二移，三求7【2019年高考天津卷理数】设，则“”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】化简不等式，可知推不出，由能推出，故“”是“”的必要不充分条件，故选B.【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件.8【2019年高考浙江卷】若实数满足约束条件，则的最大值是AB 1C 10D 12【答案】C【解析】画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示。因为，所以.平移直线可知，当该直线经过点A时，z取得最大值.联立两直线方程可得，解得.即点A坐标为，所以.故选C.【名师点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.9【2019年高考浙江卷】若，则“”是 “”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，当且仅当时取等号，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.【名师点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.10【2018年高考全国I卷理数】已知集合，则ABCD【答案】B【解析】解不等式x2-x-20得x2，所以A=x|x2，所以可以求得，故选B11【2018年高考全国III卷理数】设，则ABCD【答案】B【解析】，01a+1b1,即0a+bab0,b0，ab0，即aba+b0，故选B.12【2018年高考天津卷理数】设变量满足约束条件则目标函数的最大值为A6 B19 C21 D45【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程得，可得点A的坐标为，据此可知目标函数的最大值为：.本题选择C选项.【名师点睛】求线性目标函数zaxby(ab0)的最值，当b0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.13【2018年高考天津卷理数】设，则“”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】绝对值不等式x-1212-12x-12120x1，由x31x1.据此可知x-1212是x31的充分而不必要条件.故选A.【名师点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14【2018年高考北京卷理数】设集合则A对任意实数a，B对任意实数a，（2，1）C当且仅当a0时，（2，1）D当且仅当时，（2，1）【答案】D【解析】点（2，1）在直线上，表示过定点（0，4），斜率为的直线，当时，表示过定点（2，0），斜率为的直线，不等式表示的区域包含原点，不等式表示的区域不包含原点.直线与直线互相垂直.显然当直线的斜率时，不等式表示的区域不包含点（2，1），故排除A；点（2，1）与点（0，4）连线的斜率为，当，即时，表示的区域包含点（2，1），此时表示的区域也包含点（2，1），故排除B；当直线的斜率，即时，表示的区域不包含点（2，1），故排除C，故选D.【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，考查考生的数形结合思想、化归与转化思想以及逻辑推理能力和运算求解能力，考查的核心素养是直观想象、数学运算.15【2017年高考全国I卷理数】设x、y、z为正数，且，则A2x3y5zB5z2x3yC3y5z2xD3y2x0恒成立，结合基本不等式的结论可得：2a+2-3b22a2-3b=22-6=14.当且仅当2a=2-3ba-3b=6，即a=3b=-1时等号成立.综上可得2a+18b的最小值为14.【名师点睛】利用基本不等式求最值时，要灵活运用以下两个公式：，当且仅当时取等号；，当且仅当时取等号解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”31【2018年高考江苏卷】在中，角所对的边分别为，的平分线交于点D，且，则的最小值为_【答案】9【解析】由题意可知，SABC=SABD+SBCD,由角平分线性质和三角形面积公式得12acsin120=12a1sin60+12c1sin60，化简得ac=a+c,1a+1c=1，因此4a+c=4a+c1a+1c=5+ca+4ac5+2ca4ac=9,当且仅当c=2a=3时取等号，则4a+c的最小值为9.【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求字母为正数）、“定”不等式的另一边必须为定值）、“等（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.32【2017年高考全国I卷理数】设x，y满足约束条件则的最小值为.【答案】【解析】不等式组表示的可行域如图所示，易求得，由得在轴上的截距越大，就越小，所以，当直线过点时，取得最小值，所以的最小值为.【名师点睛】本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：直线型，转化成斜截式比较截距，要注意前面的系数为负时，截距越大，值越小；分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.33【2017年高考全国III卷理数】若，满足约束条件，则的最小值为_.【答案】【解析】作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示.目标函数即，易知直线在轴上的截距最大时，目标函数取得最小值，数形结合可得目标函数在点处取得最小值，为.【名师点睛】求线性目标函数zaxby(ab0)的最值，当b0时，直线过可行域且在y轴上的截距最大时，z值最大，在y轴上的截距最小时，z值最小；当b0时，直线过可行域且在y轴上的截距最大时，z值最小，在y轴上的截距最小时，z值最大.34【2017年高考天津卷理数】若，则的最小值为_【答案】【解析】，（前一个等号成立的条件是，后一个等号成立的条件是，两个等号可以同时成立，当且仅当时取等号）【名师点睛】利用均值不等式求最值时要灵活运用以下两个公式：，当且仅当时取等号；，当且仅当时取等号解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”35【2017年高考北京卷理数】三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3.记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_.记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是_.【答案】【解析】作图可得中点的纵坐标比中点的纵坐标大，所以Q1，Q2，Q3中最大的是，分别作关于原点的对称点，比较直线的斜率（即为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数），可得最大，所以p1，p2，p3中最大的是【名师点睛】本题考查了根据实际问题分析和解决问题的能力，以及转化与化归的能力，因为第名工人加工总的零件数是，比较总的零件数的大小，即可转化为比较的大小，而表示中点连线的纵坐标，第二问也可转化为中点与原点连线的斜率.36【2017年高考北京卷理数】能够说明“设a，b，c是任意实数若abc，则a+bc”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为_.【答案】1，2，3（答案不唯一）【解析】，矛盾，所以1，2，3可验证该命题是假命题.【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一37【2017年高考江苏卷】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是_【答案】30【解析】总费用为，当且仅当，即时等号成立【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误38【2017年高考上海卷】不等式的解集为_【答案】【解析】由题意，不等式，得，所以