高考数学总复习第六章数列第35讲等比数列及其前n项和练习理新人教版.docx

第35讲等比数列及其前n项和夯实基础【p74】【学习目标】1掌握等比数列的定义与性质、通项公式、前n项和公式等2掌握等比数列的判断方法3掌握等比数列求和的方法【基础检测】1等比数列an中，a327，a5243，则a1与a7的等比中项为()A81 B81 C81 D27【解析】a1a7aa3a5，a1与a7的等比中项为a481.【答案】A2记等比数列an的前n项和为Sn，且S415，a2a410，则a2()A1 B2 C2 D1【解析】由题得a11，q2，a2122.【答案】C3记等比数列an的前n项和为Sn，且满足2Sn2n1，则的值为()A4 B2 C2 D4【解析】根据题意，当n1时，2S12a14，故当n2时，anSnSn12n1，数列an是等比数列，则a11，故1，解得2.【答案】C4数列an为正项等比数列，若a33，且an12an3an1(nN，n2)，则此数列的前5项和S5等于()A.B41 C.D.【解析】因为an12an3an1，所以q22q3，q0，q3，S5a3a3qa3q2 .【答案】A5已知数列满足a11，an12an1，则其通项an_【解析】因为a11，an12an1，所以an112，则数列是以2为首项，2为公比的等比数列an122n1，即an2n1.【答案】2n1【知识要点】1等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母_q_表示(q0)2等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项ana1qn1(nN*)3等比中项若G2ab(ab0)，那么G叫做a与b的等比中项4等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0)，其前n项和为Sn，当q1时，Snna1；当q1时，Sn.5等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm(n，mN*)(2)若an为等比数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman(3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a，anbn，仍是等比数列(4)等比数列前n项和的性质公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为_qn_典例剖析【p75】考点1等比数列基本量的运算(1)等比数列an中，an0，a1a26，a38，则a6()A64 B128 C256 D512【解析】由题意结合等比数列的通项公式可得：解得：则a6a1q522564.【答案】A(2)已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10()A7 B5 C7 D5【解析】由题得a4a78，因为a4a72，a44，a72或a42，a74，即或或所以a1a108(8)7或1(2)37.【答案】A考点2等比数列的性质(1)在各项均为正数的等比数列an中，若a5a114，a6a128，则a8a9_【解析】由等比数列的性质得aa5a114，aa6a128，因为数列的各项均为正，所以a82，a92，所以a8a94.【答案】4(2)数列an中，已知对任意nN*，a1a2a3an3n1，则aaaa等于()A(3n1)2 B.(9n1)C9n1 D.(3n1)【解析】a1a2an3n1，nN*，n2时，a1a2an13n11，当n2时，an3n3n123n1，又n1时，a12满足上式，an23n1，故数列a是首项为4，公比为9的等比数列因此aaa(9n1)【答案】B考点3等比数列的判定与证明已知数列an和bn满足a1，an1ann4，bn(1)n(an3n21)，其中为实数，n为正整数(1)证明：对任意实数，数列an不是等比数列；(2)证明：当18时，数列bn是等比数列【解析】(1)假设存在一个实数，使an是等比数列，则有aa1a3，即2492490，矛盾所以对任意实数，an不是等比数列(2)bn1(1)n1an13(n1)21(1)n1(1)n(an3n21)bn.又18，所以b1(18)0.由上式知bn0，所以(nN*)故当18时，数列bn是以(18)为首项，为公比的等比数列【点评】等比数列的四种常用判定方法(1)定义法：若q(q为非零常数，nN*)或q(q为非零常数且n2，nN*)，则an是等比数列(2)中项公式法：若数列an中，an0且aanan2(nN*)，则数列an是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成ancqn1(c，q均是不为0的常数，nN*)，则an是等比数列(4)前n项和公式法：若数列an的前n项和Snkqnk(k为常数且k0，q0，1)，则an是等比数列其中，(1)，(2)是判定等比数列的常用方法，常用于证明，(3)，(4)常用于选择题、填空题中的判定若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可考点4等比数列前n项和的最值问题在等比数列中，an0，公比q，且a1a52a3a5a2a825，又a3与a5的等比中项为2.(1)求数列的通项公式；(2)设bnlog2an，数列的前n项和为Sn，当最大时，求n的值【解析】(1)a1a52a3a5a2a825，a2a3a5a25，又an0，a3a55.又a3与a5的等比中项为2，a3a54，而q，a3a5，a34，a51，q，a116，an16，即an25n.(2)bnlog2an5n，bn1bn1.是以b14为首项，1为公差的等差数列，Sn，当n8时，0；当n9时，0；当n9时，0，dS30 Ba1d0，dS30Ca1d0 Da1d0，dS30【解析】由a2，a3，a6成等比数列，可得aa2a6，可得(a12d)2(a1d)(a15d)，即2a1dd20，公差d不等于零，a1d0.【答案】C4各项都是实数的等比数列an中，其前n项和记为Sn，若S1010，S2030，则S30等于()A50 B60 C70 D90【解析】在等比数列中，S1010，S2030，由等比数列的性质，得：S10，S20S10，S30S20成等比数列，(S20S10)2S10(S30S20)，(3010)210(S3030)，解得S3070.【答案】C5设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和已知a2a41，S37，则其公比q等于_【解析】an是由正数组成的等比数列，且a2a41，设an的公比为q，则q0，且a1，即a31.S37，a1a2a317，即6q2q10.故q或q(舍去)，q.【答案】6已知数列an为正项的递减等比数列，a1a3，a2，记数列的前n项和为S，则使不等式2 0181成立的最大正整数n的值为_【解析】设数列an的公比为q，由数列an为正项的递减等比数列，a1a3，a2，即a2q.解得q，q3(舍)，a12，an2.Sn23，2 0181，即2 0181，3n0，q2，amana12m1a12n1a2mn216a，mn24，即mn6，6，当且仅当，即m1，n5时等号成立，的最小值为6.【答案】B2已知数列an满足a1a2a3an2n2(nN*)，且对任意nN*都有t，则实数t的取值范围是()A.B.C.D.【解析】数列an满足a1a2a3an2n2，n1时，a12，当n2时，a1a2a3an12(n1)2，可得：an22n1，数列为等比数列，首项为，公比为，因为对任意nN*都有t，则t的取值范围是.【答案】D3设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，且对任意的实数x，yR，都有f(x)f(y)f(xy)，若a1，anf(n)(nN*)，则数列an的前n项和Sn的取值范围是_【解析】由已知可得a1f(1)，a2f(2)f(1)2，a3f(3)f(2)f(1)f(1)3，anf(n)f(1)n，Sn1，nN*，Sn1.【答案】4记数列an的前n项和为Sn，且a11，nan1(n2)Sn(n1，2，3，)(1)求证：数列为等比数列；(2)求数列an的通项公式及前n项和Sn；(3)若数列bn满足：b1，(nN*)，求数列bn的通项公式【解析】(1)将an1Sn1Sn代入已知nan1(n2)Sn，整理得2，又由已知1，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列(2)由(1)可得2n