2020版高考数学总复习第五篇数列（必修5）第3节等比数列应用能力提升理（含解析）.docx

第3节等比数列【选题明细表】知识点、方法题号等比数列的判定与证明7,11,14等比数列的基本运算2,3,8,13等比数列的性质1,5,6等差、等比数列的综合4,9,12等比数列的应用10,15基础巩固(建议用时:25分钟)1.已知an,bn都是等比数列,那么(C)(A)an+bn,anbn都一定是等比数列(B)an+bn一定是等比数列,但anbn不一定是等比数列(C)an+bn不一定是等比数列,但anbn一定是等比数列(D)an+bn,anbn都不一定是等比数列解析:两个等比数列相应项的积组成的数列仍是一个等比数列,而相应项的和组成的数列不一定是等比数列.故选C.2.(2018成都第二次诊断检测)在等比数列an中,已知a3=6, a3+a5+a7=78,则a5等于(B)(A)12 (B)18 (C)36 (D)24解析:a3+a5+a7=a3(1+q2+q4)=6(1+q2+q4)=781+q2+q4=13q2=3,所以a5=a3q2=63=18.故选B.3.(2018辽宁大连八中模拟)若记等比数列an的前n项和为Sn,若a1=2,S3=6,则S4等于(C)(A)10或8(B)-10(C)-10或8(D)-10或-8解析:由等比数列求和公式,当q1时得S3=6,所以q2+q-2=0,所以q=-2或q=1(舍去),当q=-2时,S4=-10,当q=1时,S4=4a1=8.故选C.4.(2018广东广州市一模)已知等差数列an的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则an前6项的和为(B)(A)-20(B)-18(C)-16(D)-14解析:因为a1,a3,a4成等比数列,所以=a1a4,所以(a1+4)2=a1(a1+6),所以a1=-8,所以S6=6(-8)+2=-18,选B.5.(2018湖南省两市九月调研)已知等比数列an中,a5=3,a4a7=45,则的值为(D)(A)3(B)5(C)9(D)25解析:因an是等比数列,所以a4=,a7=a5q2,所以a4a7=q=9q=45,所以q=5,所以=25,选D.6.设各项都是正数的等比数列an,Sn为前n项和,且S10=10,S30=70,那么S40等于(A)(A)150 (B)-200(C)150或-200 (D)400或-50解析:依题意,数列S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比数列,因此有(S20-S10)2=S10(S30-S20).即(S20-10)2=10(70-S20),故S20=-20或S20=30,又数列an是各项都是正数的等比数列,所以S200,因此S20=30,S20-S10=20,S30-S20=40,故S40-S30=80.S40=150.故选A.7.(2018浙江温州市一模)已知数列an是公差不为0的等差数列,bn=,数列bn的前n项,前2n项,前3n项的和分别为A,B,C,则(D)(A)A+B=C (B)B2=AC(C)(A+B)-C=B2 (D)(B-A)2=A(C-B)解析:因为an是公差不为0的等差数列,所以bn是公比不为1的等比数列,由等比数列的性质,可得A,B-A, C-B成等比数列,所以可得(B-A)2=A(C-B),故选D.8.等比数列an的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公比q=.解析:由S3+3S2=0,即a1+a2+a3+3(a1+a2)=0,即4a1+4a2+a3=0,即4a1+4a1q+a1q2=0,即q2+4q+4=0,所以q=-2.答案:-29.(2018四川成都二诊)已知数列an的各项都为正数,前n项和为Sn,若log2an是公差为1的等差数列,且S5=62,则a2= .解析:由log2an是公差为1的等差数列,log2an+1-log2an=1,则=2,所以an是以2为公比的等比数列.又S5=62,所以=62,得a1=2.所以a2=4.答案:4能力提升(建议用时:25分钟)10.(2018山东、湖北部分重点中学模拟)朱世杰是历史上最伟大的数学家之一,他所著的四元玉鉴卷中“如像招数”五问中有如下问题:“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤,只云初日差六十四人,次日转多七人,每人日支米三升,共支米四百三石九斗二升,问筑堤几日”.其大意为“官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝,第一天派出64人,从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人,修筑堤坝的每人每天分发大米3升,共发出大米40 392升,问修筑堤坝多少天”,在该问题中前5天共分发的大米为(A)(A)1 170升(B)1 380升(C)3 090升(D)3 300升解析:设第n天派出的人数为an,则an是以64为首项、7为公差的等差数列,则第n天修筑堤坝的人数为an=64+(n-1)7=7n+57,则前n天共派出的人数为Sn=,所以前5天共分发的大米数为3S5=3=1 170(升).故选A.11.数列an中,已知对任意nN*,a1+a2+a3+an=3n-1,则+ 等于(B)(A)(3n-1)2(B)(9n-1)(C)9n-1 (D)(3n-1)解析:因为a1+a2+an=3n-1,nN*,n2时,a1+a2+an-1=3n-1-1,所以当n2时,an=3n-3n-1=23n-1,又n=1时,a1=2适合上式,所以an=23n-1,故数列是首项为4,公比为9的等比数列.因此+=(9n-1).故选B.12.(2018东北三省三校联考)各项均为正数的数列an和bn满足: an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列,且a1=1,a2=3,则数列an的通项公式为.解析:由题意知2bn=an+an+1,=bnbn+1,所以an+1=,当n2时,2bn=+,因为bn0,所以2=+,所以成等差数列,由a1=1,a2=3,得b1=2,b2=,所以=,=,所以公差d=,所以=,所以bn=,所以an=.答案:an=13.(2018全国卷)等比数列an中,a1=1,a5=4a3.(1)求an的通项公式;(2)记Sn为an的前n项和.若Sm=63,求m.解:(1)设an的公比为q,由题设得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1.(2)若an=(-2)n-1,则Sn=.由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.综上,m=6.14.(2018四川成都一诊)已知数列an满足a1=-2,an+1=2an+4.(1)证明数列an+4是等比数列;(2)求数列|an|的前n项和Sn.(1)证明:因为a1=-2,所以a1+4=2.因为an+1=2an+4,所以an+1+4=2an+8=2(an+4),所以=2,所以an+4是以2为首项,2为公比的等比数列.(2)解:由(1)可知an+4=2n,所以an=2n-4.当n=1时,a1=-20,所以S1=|a1|=2;当n2时,an0,所以Sn=-a1+a2+an=2+(22-4)+(2n-4)=2+22+2n-4(n-1)=-4(n-1)=2n+1-4n+2.又当n=1时,上式也满足.所以Sn=2n+1-4n+2.15.设数列an(n=1,2,3,)的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)记数列的前n项和为Tn,求使得|Tn-1|成立的n的最小值.解:(1)由已知Sn=2an-a1,有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n2),即an=2an-1(n2).从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因为a1,a2+1,