与圆有关的比例线段(切割线定理).ppt

弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.,圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数,推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，相等的圆周角所对的弧也相等,推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；反之，的圆周角所对的弦是直径,复习回顾,相交弦、切割线、切线长定理,五 与圆有关的比例线段,一、下面我们首先沿用从特殊到一般的思路,讨论与圆有关的相交弦的问题.,探究1:如图1,AB是O的直径,CDAB,AB与CD相交于P,线段PA、PB、PC、PD之间有什么关系？,证明:连接AD、BC.,则由圆周角定理的推论可得:AC.,RtAPDRtCPB.,探究2:将图中的AB向上（或向下）平移,使AB不再是直径（如图），结论（）还成立吗？,证明:连接AD、BC.,则由圆周角定理的推论可得:AC.,RtAPDRtCPB.,证明:连接AD、BC.,则由圆周角定理的推论可得:AC.,APDCPB.,探究3:上面讨论了CDAB的情形进一步地,如果CD 与AB不垂直，如图, AB 、CD是圆内的任意两条相交弦,结论（）还成立吗？,PAPB=PCPD(3),综上所述，不论AB 、 CD具有什么样的位置，都有结论（）成立！,相交弦定理：圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.,几何语言： AB 、 CD是圆内的任意两条相交弦,交点为P, PAPB=PCPD.,上面通过考察相交弦交角变化中有关线段的关系，得出相交弦定理.下面从新的角度考察与圆有关的比例线段,探究4:使圆的两条弦的交点从圆内（图）运动到圆上（图），再到圆外（图），结论(1)还成立吗？,当点P在圆上,PA=PC=0,所以PAPB=PCPD=0仍成立.,当点P在圆外,连接AD、BC,容易证明:,PADPCB,所以PA:PC=PD:PB,即PAPB=PCPD仍成立.,如图,已知点P为O外一点,割线PBA、PDC分别交O于A、B和C、D. 求证:PAPB=PCPD.,证法2：连接AC、BD， 四边形ABDC为O 的内接四边形, PDB= A， 又 P=P, PBD PCA. PD ：PA=PB ：PC. PAPB=PCPD.,割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每一条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等.,应用格式（几何语言描述）: PAB,PCD是O 的割线, PAPB=PCPD.,证明:连接AC、AD,同样可以证明,PADPCA, 所以PA:PC=PD:PA, 即PA2=PCPD仍成立.,如图,已知点P为O外一点，PA切O于点A，割线PCD 交O于C、D. 求证：PA2=PCPD.,证明：连接AC、AD， PA切O于点A,D= PAC. 又 P=P, PAC PDA. PA ：PD=PC ：PA. PA2= PCPD.,切割线定理:从圆外一点引圆的切线和条割线,切线长是这点到割线与圆的交点的两条线段长的比例中项.,应用格式（几何语言描述）: PA是O 的切线,PCD是O 的割线, PA=PCPD.,O,D,P,C,A,探究5:使圆的割线PD绕点P运动到切线位置，可以得出什么结论？,思考：从这几个定理的结论里大家能发现什么共同点？,1.结论都为乘积式;,2.几条线段都是从同一点出发;,3.都是通过三角形相似来证明（都隐含着三角形相似）.,另外，从全等角度可以得到：,2.联系直角三角形中的射影定理，你还能想到什么？,说明了“射影定理”是“相交弦定理”和“切割线定理”的特例！,例1 如图,圆内的两条弦AB、CD相交于圆内一点P,已知PA=PB=4,PC=PD/4.求CD的长.,解：设CD=x,则PD=4/5x,PC=1/5x.,由相交弦定理，得PAPB=PCPD,44=1/5x4/5x,解得x=10.,CD=10.,练习1.如图,割线PAB,PCD分别交圆于A,B和C,D. (1)已知PA=5,PB=8,PC=4,则PD= ,PT= (2)已知PA=5,PB=8,PO=7,则半径R=,10,3,练习2.如图,割线PAB,PCD分别交圆于A,B和C,D,连结AC,BD,下面各比例式中成立的有:,O,D,P,A,T,B,C,PAPB=(7-R) (7+R),PAC PDB,BED AEC,PAD PCB,E,练习3.如图,A是O上一点,过A切线交直径CB的延长线于点P,ADBC，D为垂足.求证：PB :PD=PO:PC.,分析：要证明PB ：PD=PO ：PC ,很明显PB、PD、PO、PC在同一直线上无法直接用相似证明，且在圆里的比例线段通常化为乘积式来证明,所以可以通过证明PB PC=PD PO,而由切割线定理有PA2=PB PC,只需再证PA2=PD PO，而PA为切线,所以连接OA,由射影定理 得到.,例2 如图,E是圆内两弦AB和CD的交点，直线EF/CB,交AD的延长线于点F，FG切圆于点G.求证：(1) DFEEFA; (2)EF=FG.,证明： (1)EF/CB, DEF=DCB.,DCB和DAB都是 上的圆周角.,DAB =DCB=DEF.,DFE=EFA（公共角）, DFEEFA.,(2)由(1)知 DFEEFA，,EF2 =FAFD.,又FG是圆的切线，,FG2 =FAFD.,EF2 =FG2 ,即FG=EF.,例3 如图，两圆相交于A、B两点，P为两圆公共弦AB上任意一点，从P引两圆的切线PC、PD，求证：PC=PD.,PC2=PAPB, PD2=PAPB.,证明：由切割线定理可得：,PC2=PD2. 即PC=PD,例4 如图，AB是O的直径，过A、B引两条弦AD和BE，相交于点C求证：ACAD+BCBE=AB2,证明：连接AC、AD，过C作CFAB,与AB交于F,AB是O的直径，AEB=ADB=900.,又 AFC=900, A、F、C、E四点共圆., BCBE=BFBA. (1),同理可证F、B、D、C四点共圆., ACAD=AFAB. (2),(1)+(2)可得 ACAD+BCBE= AB(AF+BF)=AB2.,例5 如图，AB、AC是O的切线，ADE是O的割线，连接CD、BD 、BE 、CE.,问题1:由上述条件能推出哪些结论？, CD:CE=AC:AE, CDAE=ACCE. (2),同理可证BDAE=ACCE. (3),AC=AB,由(2)(3)可得BECD=BDCE. (4),探究1:由已知条件可知ACD=AEC,而CAD=EAC,ADCACE. (1),问题2 在图1中,使线段AC绕A旋转，得到图2.其中EC交圆于G,DC交圆于F.此时又能推出哪些结论？,问题2 在图1中,使线段AC绕A旋转，得到图2.其中EC交圆于G,DC交圆于F.此时又能推出哪些结论？,探究2:连接FG.与探究1所得到的结论相比较,可以猜想ACDAEC.下面给出证明.,AB2=ADAE,而AB=AC,ADCACE. (5),而CAD=EAC, AC2=ADAE,同探究1的思路，还可得到探究1得出的结论(2)(3)(4).,另一方面，由于F、G、E、D四点共圆.,CFG=AEC.,又ACF=AEC.,CFG=ACF.,故FG/AC. (6),你还能推出其他结论吗？,问题3 在图2中,使线段AC继续绕A旋转，使割线CFD变成切线CD,得到图3. 此时又能推出哪些结论？,探究3:可以推出探究1、2中得到的(1)(6)的所有结论.,此外，,AC/DG., ADCACE.,由(7)(8)两式可得：ACCD=AECG. (9),连接BD、BE,延长GC到P,延长BD交AC于Q,则PCQ=PGD DBE,所以C、E、B、Q四点共圆.,你还能推出其他结论吗？,练习4. 如图,过O外一点P作两条割线, 分别交 O于点A、B和C、D. 再作O的切线PE, E为切点, 连接CE、DE. 已知AB=3cm,PA=2cm,CD=4cm. （1）求PC的长 ; （2）设CE=a,试用含a的代数式表示DE.,解：（1）由切割线定理，得 PC PD=PA PB,AB=3, PA=2,PB=AB+PA=5.,设PC=m, CD=4 , PD=PC+CD=m+4. m（m+4）=25,化简，整理得：m2+4m10=0,解得： (负数不合题意，舍去),由切割线定理得: PE=PCPD=PAPB=10.,由弦切角定理,得CEP=D.,又 CPE=EPD（公共角）.,CPEEPD.,（2）设CE=a,试用含a的代数式表示DE.,练习5.如图：过点A作O的两条割线,分别交O于B、C和D、E. 已知AD=4,DE=2, CE=