高考数学总复习第三章导数及其应用第18讲导数与函数的综合问题练习理新人教版.docx

第18讲导数与函数的综合问题夯实基础【p39】【学习目标】掌握应用导数求解实际问题的基本题型，提升通过构造函数应用导数解决不等式、方程等问题的能力【基础检测】1函数f(x)，若存在x0(0，2使得mf(x0)0成立，则实数m的取值范围是()A. B(1，)C(1，) D.【解析】若存在x0(0，2使得mf(x0)0成立，则在x(0，2内f(x)mine2.【答案】A2若函数f(x)x2exa恰有三个零点，则实数a的取值范围是()A. B.C(0，4e2) D(0，)【解析】函数yx2exa的导数为y2xexx2exxex(x2)，令y0，则x0或2，当2x0上时，y0，函数在两个区间上单调递增，函数f(x)在x2处取极大值，在x0处取极小值，函数的极值为：f(0)a，f(2)4e2a，已知函数f(x)x2exa恰有三个零点，故a0，解得实数a的取值范围是.【答案】B3某品牌小汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式为yx3x18(0x120)若要使该汽车行驶200千米时的油耗最低，则汽车匀速行驶的速度应为()A60千米/时 B80千米/时C90千米/时 D100千米/时【解析】当速度为x千米/小时时，时间为小时，所以f(x)x220(0x120)，所以f(x)x(0x120)，令f(x)0，x90.当x(0，90)时，函数f(x)单调递减，当x(90，120)时，函数f(x)单调递增所以x90时，函数f(x)取得最小值【答案】C4已知表面积为100的球内接一个圆锥，则该圆锥体积的最大值为()A. B. C. D.【解析】设球的半径为R，内接圆锥的底面半径为r，高为h，由题意知，4R2100，解得R5，则球心到圆锥底面的距离为(0r5)，所以h5，所以该圆锥的体积为Vr2(5)，设t(0t5)，则V(25t2)(5t)(t35t225t125)(0t5)，所以V(3t210t25)(3t5)(t5)，当0t时，V0，当t0，则()A3f(1)f(3)C3f(1)f(3) Df(1)f(3)【解析】由于f(x)xf(x)，则0恒成立，因此在R上是单调递减函数，f(3)【答案】B【知识要点】1优化问题与实际问题相关的利润最大、用料最省、效率最高等问题通常称为优化问题2导数在优化问题中的应用3导数与不等式(1)不等式的证明可以通过构造函数等价转换为探究函数值的大小，然后应用导数讨论函数的单调性，从而实现不等式的证明(2)含参数不等式的恒成立问题，通过分离变量，构造函数等价转换为函数最值问题，然后应用导数求函数最值4导数与方程方程根的存在性问题等价转换为函数极值和单调性问题研究，然后应用导数及数形结合确定方程根的存在性和个数典例剖析【p39】考点1利用导数研究生活中的优化问题如图(1)是一个仿古的首饰盒，其左视图是由一个半径为r分米的半圆和矩形ABCD组成，其中AD长为a分米，如图(2)为了美观，要求ra2r.已知该首饰盒的长为4r分米，容积为4立方分米(不计厚度)，假设该首饰盒的制作费用只与其表面积有关，下半部分的制作费用为每平方分米2百元，上半部制作费用为每平方分米4百元，设该首饰盒的制作费用为y百元(1)写出y关于r的函数解析式；(2)当r为何值时，该首饰盒的制作费用最低？【解析】(1)由题知44r2r38ar2，a.又因ra2r，得r，y2(4ar8ar8r2)4(r4rr2)24ar16r220r224r20r216r2(1614)r2.(2)令f(r)(1614)r2，f(r)(3228)r，令f(r)0则r，0，函数f(r)为增函数r时，f(r)最小答：当r分米时，该首饰盒制作费用最低【点评】利用导数解决生活中的优化问题的四步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)；(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答考点2利用导数解决含参不等式问题已知函数f(x)(x1)23aln x，xR.(1)当a1时，求f(x)在点(1，f(1)处的切线方程及函数f(x)的单调区间；(2)若对任意x1，e，f(x)4恒成立，求实数a的取值范围【解析】(1)当a1时，f(x)(x1)23ln x，f(1)4，f(x)2x2，f(1)1，则切线方程为y41(x1)，即yx3.当x，f(x)2x20，即x时，f(x)单调递增；当x，f(x)2x20)当a0时，f(x)0，f(x)在1，e上单调递增，f(x)minf(1)4，f(x)4不恒成立；当a0时，设g(x)2x22x3a，x0，g(x)的对称轴为x，g(0)3a0，g(x)在(0，)上单调递增，且存在唯一x0(0，)使得g(x0)0.当x(0，x0)时，g(x)0，即f(x)0，即f(x)0，f(x)在(x0，)上单调递增f(x)在1，e上的最大值f(x)maxmaxf(1)，f(e)得(e1)23a4解得a.【点评】“恒成立”、“存在性”问题一定要正确理解问题实质，深刻挖掘条件内含，进行等价转化考点3利用导数证明不等式已知函数f(x)ax2bxln x(a0，bR)(1)设a1，b1，求f(x)的单调区间；(2)若对任意的x0，f(x)f(1)，试比较ln a与2b的大小【解析】(1)由f(x)ax2bxln x，x(0，)，f(x).a1，b1，f(x)(x0)令f(x)0，得x1.当0x1时，f(x)0，f(x)单调递减；当x1时，f(x)0，f(x)单调递增f(x)的单调递减区间是(0，1)，单调递增区间是(1，)(2)由题意可知，f(x)在x1处取得最小值，即x1是f(x)的极值点，f(1)0，2ab1，即b12a.ln a(2b)ln a2b24aln a.令g(x)24xln x(x0)，则g(x).令g(x)0，得x.当0x时，g(x)0，g(x)单调递增，当x时，g(x)0，g(x)单调递减，g(x)g1ln 1ln 40，g(a)0，即24aln a2bln a0，故ln a2b.考点4利用导数研究函数的零点或方程根的问题已知f(x)ex(ax2x1)(1)当a0时，求证：f(x)1；(2)当a0时，试讨论方程f(x)1的解的个数【解析】(1)要证f(x)1ex(ax2x1)1，只要证exax2x10(*)令h(x)exax2x1，则h(x)ex2ax1，而 h(x)ex2a0，所以h(x)在上单调递增，又h(0)0，所以h(x)在上单调递减，在上单调递增，h(x)minh(0)0，即h(x)0，(*)式成立所以原不等式成立(2)问题转化为函数h(x)exax2x1的零点个数而h(x)ex2ax1，h(x)ex2a.令h(x)0，解得xln 2a.所以h(x)在上单调递减，在上单调递增所以h(x)minh(ln 2a)2a2aln 2a1，设m2a，g(m)mmln m1，而 g(m)1(1ln m)ln m，则g(m)在上单调递减，在上单调递增，所以g(m)maxg(1)0，即h(x)min0 (当m1即a时取等)1 当a时，h(x)min0, 则h(x)0恒成立所以h(x)在R上单调递增，又h(0)0，则h(x)有一个零点；2当a时，ln 2a0，h(x)minh(ln 2a)0，则存在x10使得h(x1)0，又h(0)0，这时h(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以h(x1)0，h(0)0，所以这时h(x)有两个零点；3当0a时，ln 2a0，h(x)minh(ln 2a)0，则存在x2h(0)0.又x时，h(x)exax2x10时，原方程两个解方法总结【p40】1应用导数解决不等式的问题，构造函数应用导数推理求解是有效方法之一，也是近几年高考压轴题的常见命题方法之一(1)利用导数解不等式，一般可构造函数，利用已知条件确定函数单调性解不等式；(2)证明不等式f(x)g(x)，可构造函数F(x)f(x)g(x)，利用导数求F(x)的值域，得到F(x)0)，则h(x).当x(0，1)时，h(x)0，函数h(x)单调递增所以h(x)minh(1)4.所以ah(x)min4.【答案】B3已知定义域为R的函数f(x)满足f(4)3，且对任意实数x，总有f(x)3，则不等式f(x)3x15的解集为()A(，4) B(，4)C(，4)(4，) D(4，)【解析】设g(x)f(x)(3x15)f(x)3x15，则所求的不等式解集可理解为使g(x)0的解集g(x)的导函数为g(x)f(x)3，根据题意可知g(x)f(x)30对任意实数x恒成立，所以g(x)在R上单调递减则g(4)f(4)12150，令g(x)0，则g(x)4.【答案】D4若a，则方程ln xax0的实根的个数为()A0个 B1个C2个 D无穷多个【解析】方程ln xax0等价于a，设f(x).f(x)，令f(x)0，得xe，f(x)在(0，e)上单调递增；在(e，)上单调递减f(x)的最大值f(e)，即f(x)(仅当xe时，等号成立)a，原方程无实根【答案】A5某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数给出：yt3t236t.则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是_时【解析】yt2t36(t12)(t8)，令y0得t12(舍去)或t8，当6t0；当8t9时，y0.当t8时，y有最大值【答案】86已知函数ya2ln x的图象上存在点P，函数yx22的图象上存在点Q，且P，Q关于原点对称，则a的取值范围是_【解析】函数yx22的图象与函数yx22的图象关于原点对称，若函数ya2ln x的图象上存在点P，函数yx22的图象上存在点Q，且P，Q关于原点对称，则函数ya2ln x的图象与函数yx22的图象有交点，即方程a2ln xx22有解，令fx222ln x，则f，当x时，f0，故当x1时，f(x)有最小值3.由f4，fe2，故当xe时，f(x)有最大值e2，故a.【答案】7如图是一块地皮OAB，其中OA, AB是直线段，曲线段OB是抛物线的一部分，且点O是该抛物线的顶点，OA所在的直线是该抛物线的对称轴经测量，OA2 km, AB km，OAB.现要从这块地皮中划一个矩形CDEF来建造草坪，其中点C在曲线段OB上，点D, E在直线段OA上，点F在直线段AB上，设CDa km，矩形草坪CDEF的面积为f(a)km2.(1)求f(a)，并写出定义域；(2)当a为多少时，矩形草坪CDEF的面积最大？【解析】(1)以O为原点，OA边所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，过点B作BGOA于点G，在直角ABG中，AB，OAB，所以AGBG1，又因为OA2，所以OG1，则B(1，1)，设抛物线OCB的标准方程为y22px，代入点B的坐标，得p，所以抛物线的方程为y2x. 因为CDa，所以AEEFa，则DE2aa2，所以f(a)a(2aa2)a3a22a，定义域为(0，1). (2)f(a)3a22a2，令f(a)0，得a. 当0a0, f(a)在上单调递增；当a1时，f(a)0恒成立【解析】(1)f(x)a(x0)，当a0时，f(x)0恒成立，所以，f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，令f(x)0，得到x，所以，当x时，f(x)0，f(x)单调递增，当x时，f(x)0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减(2)法一：由(1)可知，当a0时，f(x)ln xaxln1，特别地，取a，有ln x0，即ln x，所以e2ln xex(当且仅当xe时等号成立)，因此，要证exe2ln x0恒成立，只要证明exex在(0，)上恒成立即可，设g(x)(x0)，则g(x)，当x(0，1)时，g(x)0恒成立法二：记函数(x)ex2ln xln x，则(x)exex2，可知(x)在(0，)上单调递增，又由(1)0知，(x)在(0，)上有唯一实根x0，且1x02，则(x0)ex020，即ex02(*)，当x(0，x0)时，(x)0，(x)单调递增，所以(x)(x0)ex02ln x0，结合(*)式ex02，知x02ln x0，所以(x)(x0)x020，则(x)ex2ln x0，即ex2ln x，所以有exe2ln x0恒成立B组题1已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是()A(2，) B(1，)C(，2) D(，1)【解析】a0时，不符合题意，a0时，f(x)3ax26x.令f(x)0，得x0或x.若a0，则由图象知f(x)有负数零点，不符合题意则a0知，此时必有f0，即a310，化简得a24.又a0，所以a2.【答案】C2已知函数f(x)(a，bR)，若对x(0，)，都有f(x)1恒成立，记ab的最小值为g(a，b)，则g(a，b)的最大值为_【解析】由题意可得x(0，)，f(x)1恒成立，1，解得eaxbx，即axbln x，为满足题意，当直线与曲线相切时成立，不妨设切点(x0，ln x0)，由(ln x)，切线方程为yln x0(xx0)，即yx1ln x0，a，bln x01，ab.令g(x)，g(x)0，xe2，当0x0，g(x)是增函数，当xe2时，g(x)0.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，上仅有一个零点【解析】(1)由f(x)kln x(k0)，得x0且f(x)x.由f(x)0，解得x(负值舍去)f(x)与f(x)在区间(0，)上的情况如下：x(0，)(，)f(x)