定积分在几何学上的应用.ppt

1,第八节 定积分在几何上的应用,第六章 定积分的应用,建立积分模型的微元法,求平面图形的面积,求空间立体的体 积,求平面曲线的弧长与曲率,旋转体的侧面积,小结 思考题 作业,2,究竟哪些量可用定积分来计算呢.,首先讨论这个问题.,结合曲边梯形面积的计算,?,一、建立积分模型的微元法,可知,用定积分计算的量,应具有如下,及定积分的定义,许多部分区间,(即把a, b分成,两个特点:,(1) 所求量I 即与a, b有关;,(2) I 在a, b上具有可加性.,则I 相应地分成许多部分量,而I 等于所有部分量之和),3,按定义建立积分式有四步曲:,“分割、,有了N-L公式后,对应用问题来说关键就在于,方法,简化步骤,如何写出被积表达式.,得到,这个复杂的极限运算问题得,到了解决.,是所求量 I 的微分,于是, 称,为量 I 的,微元或元素.,取近似、,求和、,取极限 ”,4,元素法或微元法.,简化步骤,(1) 由具体情况选取一个变量,如 ,为积分变量,并确定它的变化区间,求出这一小区间上的部分量的近似值,即,记为:,(3) 以,为被积表达式在,上作定积分,得:,这种简化了的建立积分式的方法称为,5,这个小区间上所对应的小曲边梯形面积,面积元素,(3)得,曲边梯形面积的积分式也可以用元素法,建立如下.,近似地等于长为f(x)、宽为dx 的,小矩形面积,故有,(1) 选x为积分变量,6,二、求平面图形的面积,回忆,的几何意义:,曲边梯形的面积.,启示,一般曲线围成区域的面积也可以,用定积分来计算.,定积分,下面曲线均假定是连续曲线.,7,求这两条曲线,及直线,所围成的区域的,面积A.,的面积元素dA为,它对应,(1),即,1.直角坐标系中图形的面积,选x为积分变量,8,(2) 如果,的相对位置不定,则,(3) 特别,时,有,注意:,此时的A表示图形的面积真值,而,表示曲边梯形面积的代数和.,9,例1,求由抛物线,与直线,所围成的图形的面积.,10,(4),由曲线,和直线,所围成的区域的,面积A.,它对应的面积元素dA为,选y为积分变量,11,(5) 设所给曲线由参数方程给出:,上有连续导数,则,=,关键:,12,例2 求摆线(旋轮线),与x轴所围成图形的面积.,解,面积,作变量代换,说明:摆线一拱的面积等于其母圆面积的三倍.,13,分成若干块上面讨论过的那两种区域,只要分别,(6),一般情况下,由曲线围成的有界区域,总可以,算出每块的面积再相加即可.,(2),(1),(1),(2),14,面积元素,曲边扇形的面积,2.极坐标下平面图形的面积,由极坐标方程,给出的平面曲线,所围成的面积A.,和射线,曲边扇形,15,解,利用对称性知,例3 求心形线,所围成图形的面积.,16,例4 求由圆,和双纽线,所围成的公共部分的面积.,交点,17,例5 求由,所围成图形的面积.,注意:,求封闭曲线所围成图形的面积时,1. 先分析对称性;,2. 找与坐标轴的交点;,3. 利用极坐标.,18,圆柱,圆锥,圆台,三、求空间立体的体 积,旋转体,这直线叫做旋转轴,由一个平面图形绕,这平面内一条直线,旋转一周而成的立体,1. 旋转体的体积,19,旋转体的体积,采用元素法,如果旋转体是由连续曲线,直线,及 x 轴所围成的曲边梯形绕,x 轴旋转一周而成的立体,体积为多少?,取积分变量为x,为底的,小曲边梯形绕 x 轴旋转而,成的薄片的,体积元素,(1),20,解,体积元素,例6,取积分变量为x,21,如果旋转体是由连续曲线,及 y 轴所围成的曲边梯形绕,y 轴旋转一周而成的立体,体积为多少?,(2),直线,体积元素,旋转体的体积,22,例7 求由,和y轴所围成图形绕x轴旋转而成的,旋转体的体积.,注意:,23,解,例8,求摆线,的一拱,与y=0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积.,绕 x轴旋转的旋转体体积,变量代换,24,绕 y轴旋转的旋转体体积,可看作平面图OABC,与OBC,分别绕 y轴旋转构成的旋转体的体积之差.,摆线,25,例9 求由曲线,与x轴所围的图形分别绕x轴和y轴,及y=1,旋转而成的立体的体积.,26,或,选x为积分变量,(3) 平移坐标,27,解,取坐标如图所示.,圆的方程为,R ,和下半圆下的曲边梯形,两个旋转体的体积之差.,例10,所求圆环体可看成是,上半圆下的,曲边梯形,绕x轴旋转一周.,28,对称性,四分之一圆面积,29,2. 平行截面面积为已知的立体的体积,上垂直于一定轴的各个截面面积,立体体积,如果一个立体不是旋转体,但却知道该立体,的体积也可用定积分来计算.,那么,这个立体,表示过点x,且垂直于x轴的,截面面积,为x的已知连续函数.,采用元素法,体积元素,30,解,取坐标系如图,底圆方程,例11,一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角,计算这平面截圆柱体所得,立体的体积.,垂直于x轴的截面为直角三角形.,底,高,截面面积,立体体积,31,作一下垂直于y轴的截面是,截面长为,宽为,矩形,截面面积,可否选择y作积分变量?,此时截面面积函数是什么?,如何用定积分表示体积?,思考,32,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,垂直于x轴的截面为等腰三角形,例12,求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径 的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积.,33,例13,求心形线,绕极轴旋转而成的立体的体积.,利用参数方程,34,四、求平面曲线的弧长与曲率,设A、B是曲线弧上,在弧上,插入分点,并依次连接相邻分点得一内接折线,当分点的数目,无限增加且每个小弧段都缩向一点时,此折线的长,的极限存在,则称此极限为曲线弧AB,的弧长.,1. 平面曲线弧长的概念,的两个端点,定理 光滑曲线弧是可求长.,35,弧长元素,弧长,2. 直角坐标情形,小切线段的长,以对应小切线段的长代替小线段的长,设曲线弧为,其中,有一阶连续导数.,取积分变量为x,任取小区间,36,解,所求弧长为,例14,悬链线方程,计算介于,之间一段弧长度.,37,曲线弧为,弧长,3. 参数方程情形,其中,具有连续导数.,38,解,星形线的参数方程为,对称性,第一象限部分的弧长,例15,求星形线,的全长.,39,曲线弧为,弧长,4. 极坐标情形,其中,具有连续导数.,40,解,41,5. 曲率,是描述曲线局部性质(弯曲程度)的量.,弧段弯曲程度 越大,转角相同弧段 越短,(1). 曲率的定义,曲率,转角越大,弯曲程度大,42,设曲线C是光滑的，,定义,曲线C 在点M处的曲率为,（,平均曲率为,存在的条件下,43,(2). 曲率的计算公式,(1) 直线的曲率处处为零;,(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.,44,二阶可导,由公式,45,定义,(circle of curvature),使,曲率圆.,曲率中心,曲率半径.,设曲线 y = f (x) 在点,M(x, y)处的曲率为K (K 0).,在点M处的曲线的法线上,在凹的一侧取一点D,以D为圆心,为半径作圆(如图).,称此圆为曲线在点M处的,3、曲率圆与曲率半径,46,(1) 曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的,(2) 曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处,(3) 曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点,曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).,的曲率越小(曲线越平坦);,附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).,曲率互为倒数,即,47,五、旋转体的侧面积,采用元素法,如果旋转体是由连续曲线,直线,及 x 轴所围成的曲边梯形绕,x 轴旋转一周而成的立体,侧面积为多少?,取积分变量为x,为底的,小曲边梯形绕 x 轴旋转而,成的薄片的,侧面积元素,48,从而,侧面积为,例 求曲线,绕直线 旋转一周所得的旋转体的侧面积.,49,求在直角坐标系下、极坐标系下平面图形,（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分,分平面图形的方法有:,分竖条,分横条, 分成扇形,分成圆环.,的面积.,运算）,六、小结,旋转体的体积,平行截面面积为已知的立体的体积,绕 x 轴旋转一周,绕 y 轴旋转一周,50,平面曲线弧长的概念,直角坐标系下,参数方程情形下,极坐标系下,求弧长的公式,曲率的计算公式,曲率圆,曲率半径的概念,旋转体的侧面积,51,思考题1,位置无关.,设,分别表示,从点,向抛物线,引出的两条切线的切点