MATLAB数值计算1.ppt

MATLAB 的数值运算,制作: 陈学明,创建矩阵的规则,矩阵元素必须用 括住 矩阵元素必须用逗号或空格分隔 在 内矩阵的行与行之间必须用分号分隔 当一个指令或矩阵太长时，可用续行 例：y=2, 4, 5; 3 6 8,矩阵元素,矩阵元素可以是任何matlab表达式 ，可以是实数 ，也可以是复数，复数可用特殊函数i，j 输入。大的矩阵可以用分行输入，回车键代表分号。 a=1 2 3;4 5 6 x=2 pi/2; sqrt(3) 3+5i,用matlab函数创建矩阵,空阵 matlab允许输入空阵，当一项操作无结果时，返回空阵。 rand 随机矩阵 eye 单位矩阵 zeros 全部元素都为0的矩阵 ones 全部元素都为1的矩阵 diag 产生对角矩阵,矩阵下标与子矩阵提取,A(m, n) 提取第m行，第n列元素 A(:, n) 提取第n列元素 A(m, :) 提取第m行元素 A(m1:m2, n1:n2) 提取第m1行到第m2行和第n1列到第n2 列的所有元素 A(m:end, n) 提取从第m行到最末行和第n列的子块 A(:) 得到一个长列矢量，该矢量的元素按矩 阵的列进行排列,例：假如A是一个已知10*10的方阵,那么: （1）A(:,3) （2） A(5,:) （3） A(1:5,3) （4）A(1:5,7:10) （5） A(1 3 5 ,2 4 6) （6） A(:,7:-1:3) （7） A(:,2 4)= （1）是A的第3列元素构成的列向量; （2）是A的第5行元素构成的行向量; （3）是A的前5行的第3列元素构成的列向量; （4）是A的前5行,第7到第10列元素构成的子矩阵; （5）A第1、3、5行,第2、4、6列元素构成的子矩阵; （6）A的第7、6、5、4、3列元素构成的子矩阵. （7）把A的第2、4列删除,形成A的一个子矩阵.,矩阵的修改,(1)直接修改 可用键找到所要修改的矩阵，用键移动到要修改的矩阵元素上即可修改。 (2)指令修改 可以用A(, )= 来修改。 (3)由矩阵编辑器修改 由Matlab提供工具栏按钮来查看工作区变量，单击变量，可以打开或删除变量,例： 修改矩阵A中元素的数值 A=1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12; 13 14 15 16; A(1,1)=0;A(2,2)=A(1,2)+A(2,1);A(4,4)=cos(0); 则矩阵变为： A = 0 2 3 4 5 7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1,数据的保存,把Matlab工作空间中一些有用的数据长久保存下来的方法是生成mat数据文件。 save 将工作空间中所有的变量存到Matlab.mat文件中 save data将工作空间中所有的变量存到data.mat文件中。 save data a b 将工作空间中a和b变量存到data.mat文件中。,数据的获取,运行Matlab时即可用load指令调用已生成的mat文件。 load load data load data a b ,矩阵加、减（,）运算,规则： 相加、减的两矩阵必须有相同的行和列两矩阵对应元素相加减。 允许参与运算的两矩阵之一是标量。标量与矩阵的所有元素分别进行加减操作。,矩阵乘（）运算,规则： A矩阵的列数必须等于B矩阵的行数 标量可与任何矩阵相乘。 例：a=1 2 3;4 5 6;7 8 0;b=1;2;3;c=a*b c =14 32 23,注：一个n行m列的矩阵可以乘以一个m行p列的矩阵，得到的结果是一个n行p列的矩阵，其中的第i行第j列位置上的数等于前一个矩阵第i行上的m个数与后一个矩阵第j列上的m个数对应相乘后所有m个乘积的和。,矩阵除（ ,/）运算,矩阵除的运算在线性代数中没有，有矩阵逆的运算，在Matlab中有两种矩阵除运算: （左除） /（右除） AB为方程AXB的解 B/A为方程XAB的解 AB=inv(A)*B B/A=B*inv(A) B/A=(AB),矩阵的一些特殊操作,矩阵的变维 a=1:12,b=reshape(a,3,4) %b为3行4列 c=zeros(3,4);c(:)=a(:) 矩阵的变向 rot90:旋转(逆时针）; fliplr:左右翻; flipud:上下翻 矩阵的抽取 diag:抽取主对角线;tril: 抽取主下三角; triu:抽取主上三角,例：a=1 2 3;4 5 6;7 8 9 , b=rot90(a),c=flipud(a),d=fliplr(a) a =1 2 3 4 5 6 7 8 9 b =3 6 9 2 5 8 c =7 8 9 4 5 6 1 2 3 d =3 2 1 6 5 4 9 8 7,矩阵的乘方,a p a 自乘p次幂,方阵,1的整数,对于p的其它值,计算将涉及特征值和特征向量，如果p是矩阵，a是标量，则ap使用特征值和特征向量自乘到p次幂；如a,p都是矩阵，ap则无意义。 当一个方阵有复数特征值或负实特征值时，非整数幂是复数阵,特殊的应用矩阵,约当阵将状态空间模型转换为约当标准形形式：jordan(a) 得到矩阵a的约当标准形 V,J=jordan(a) J为约当标准形，V为相似变换阵，满足Va*V=J. 例：a=1,2;3,4;J=jordan(a),V,JJ=jordan(a) J = 5.3723 0 0 -0.3723 V = 0.2389 0.7611 0.5222 -0.5222 JJ = 5.3723 0 0 -0.3723,特殊的应用矩阵,伴随矩阵将状态空间模型转换为可控标准形 compan(p) 获得多项式P的伴随矩阵 p=1 2 3,a=compan(p) p = 1 2 3 a = -2 -3 1 0,特殊的应用矩阵,格雷姆（Gram)矩阵计算可控性和可观性格雷姆阵 Gc=gram(G,c) 计算稳定系统G的可控性格雷姆矩阵Gc Go=gram(G,o) 计算稳定系统G的观测性性格雷姆矩阵Go,关系运算,关系运算符： (大于) =(大于或等于)、=(等于)、=(不等于)。 关系运算符的运算法则： 关系运算将对两个矩阵的对应元素进行比较。 必须是两个同维矩阵或其中一个矩阵为标量才能进行 MATLAB提供了一些逻辑函数,常用的逻辑函数,常用的矩阵函数,矩阵的行列式、矩阵的秩、特征值等在现代控制理论中有广泛的应用，Matlab提供了相应的函数求其值 det(A) 方阵A的行列式 eig(A) 方阵A的特征值和特征向量 rank(A) 矩阵A的秩 trace(A) 矩阵A的迹 expm(A) 矩阵的指数 sqrtm(A) 求矩阵的平方根 funm(A,fun) 求一般的方阵函数,求解线性方程,信号处理、控制理论、物理学等领域中的很多问题都可以归结到下面的线性方程组,矩阵行列式,如N阶矩阵A的行列式不等于0，即时，称矩阵A非奇异，否则A奇异。当线性方程系数矩阵非奇异，则线性方程有唯一解。对N阶方阵A，MATLAB中由函数得到行列式,矩阵条件数,矩阵特征值和特征向量,矩阵分解,矩阵分解通过将复杂矩阵表示成形式简单或具有良好数学性质（统称为简单矩阵）的组合，以便于理论分析或数值计算。通常矩阵分解将复杂矩阵分解为几个简单矩阵的乘积。求解线性方程组不可避免地要用到矩阵分解的概念。 MATLAB中，线性方程组的求解主要用到三种基本的矩阵分解，即对称正定矩阵的cholesky分解、一般方程的gaussian消去法和矩阵的正交分解。这三种分解由函数chol、lu和qr完成。,正定矩阵,正定矩阵的判定 判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。 判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。 判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。,正定矩阵,正定矩阵的性质： 1.正定矩阵一定是非奇异的。非奇异矩阵的定义：若n阶矩阵A的行列式不为零，即 |A|0，则称A为非奇异矩 2.正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。 3.若A为n阶对称正定矩阵，则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L，使得A=L*L，此分解式称为正定矩阵的乔列斯基（Cholesky）分解。,Cholesky分解,如果A为n阶对称正定矩阵，则存在一个实的非奇异上三角阵R，满足R*R = A，称为Cholesky分解（P71例3-15) Matlab使用函数chol实现Cholesky分解，其格式为： R = chol(A) 若A非正定，则产生错误信息。 R,p = chol(A) 不产生任何错误信息，若A为正定阵，则p=0，R与上相同；若A非正定，则p为正整数，R是有序的上三角阵。,lu分解,lu分解的含义 1u分解是除法运算的基础。gaussian消去法或lu分解是将任何方阵X表示为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即X=LU。线性代数中已经证明，只要方阵A是非奇异的，LU分解总是可以进行的。 lu分解的条件 进行lu分解时，矩阵X必须是方阵。,lu分解,MATLAB提供的lu函数用于对矩阵进行LU分解，其调用格式为： L,U=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个变换形式的下三角阵L(行交换)，使之满足X=LU。注意，这里的矩阵X必须是方阵。 L,U,P=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个下三角阵L以及一个置换矩阵P，使之满足PX=LU。当然矩阵X同样必须是方阵。 实现LU分解后，线性方程组Ax=b的解x=U(Lb)或x=U(LPb)，这样可以大大提高运算速度。,qr分解,qr分解的含义 qr分解即矩阵的正交分解，是将矩阵X分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，即X=QR。 适用条件及范围 qr分解适用于方阵，是非常重要的分解形式。,QR分解,Matlab使用函数qr实现QR分解，其格式为： Q,R = qr(A) Q,R,E = qr(A) 求得正交矩阵Q和上三角阵R，E为单位矩阵的变换形式，R的对角线元素按大小降序排列，满足AE=QR。 Q,R = qr(A,0) R = qr(A,0),奇异值分解,奇异值分解也是矩阵求秩运算的基础，对矩阵A进行奇异值分解S=svd(A)，得到向量s的非零元素的个数就是矩阵A的秩。,奇异值分解,U,S,V=svd(X) 产生一个与矩阵X具有相同维数的矩阵S，其对角线元素为递减的非负值，同时得到酉矩阵U和V，使得X=U*S*V； U,S,V=svd(X,0) 得到一个“经济大小”的分解结果，如果X是mn矩阵且mn，则只计算U矩阵的前n行，且S矩阵是nn阶的。 S=svd(X,0) 得到矩阵X的奇异值组成的向量；,多项式与插值,多项式在数学中有着极为重要的作用，同时多项式的运算也是工程和应用中经常遇到的问题。MATLAB 提供了一些专门用于处理多项式的函数，用户可以应用这些函数对多项式进行操作。MATLAB 中对多项式的操作包括多项式求根、多项式的四则运算及多项式的微积分。,多项式的表示方式,多项式的 MATLAB表示法： 如：PS32S23S4 MATLAB可表示为系数向量 P1 2 3 4,多项式的四则运算,由于多项式是利用向量来表示，多项式的四则运算可以转化为向量的运算。 多项式的加减为对应项系数的加减，因此可以通过向量的加减来实现。但是在向量的加减中两个向量需要有相同的长度，因此在进行多项式加减时，需要将短的向量前面补 0。 多项式的乘法实际上是多项式系数向量之间的卷积运算，可以通过 MATLAB 中的卷积函数 conv 来完成。 多项式的除法为乘法的逆运算，可以通过反卷积函数 deconv 来实现。,多项式的其他运算,除多项式的四则运算外，MATLAB 还提供了多项式的一些其他运算。如表所示。,多项式的运算函数（1）,roots 函数和 poly 函数 这两个函数为功能互逆的两个函数。roots 函数用于求解多项式的根。该函数的输入参数为多项式的系数组成的行向量，返回值为由多项式的根组成的列向量。poly 函数用于生成根为制定数值的多项式。 polyval 函数 polyval 函数用于多项式求值。对于给定的多项式，利用该函数可以计算该多项式在任意点的值。,多项式的运算函数（2）,polyder 函数 函数 polyder 用于多项式求导。该函数可以用于求解一个多项式的导数、两个多项式乘积的导数和两个多项式商的导数。该函数的用法为： q = polyder(p) 该命令计算多项式 p 的导数。 c = polyder(a,b) 该命令实现多项式 a、b 的积的导数。 q,d = polyder(a,b) 该命令实现多项式a、b 的商的导数，q/d 为最后的结果。,若已知多项式根向量，可用poly（P）生成多项式 【例】 已知 P1(s)(s+1)(s+2)(s+3)的 根为： -1 -2 -3 则编写：P1poly（-1,-2,-3） 运行后,得 P1 1 6 11 6 表示已生成多项式为：P=s3+6s2+11s+6,多项式的生成,多项式运算（1）,1求多项式值 polyval(p,x0) V=polyval(P1,1) V=24 2多项式加、减: * 阶次相同，低阶缺项系数必须补0 【例】： （s2+2s+1）+ 2s2 P1= 1 2 1； P