证券投资组合论文.doc

分类号： o211 单位代码： 106 密 级： 一 般 学 号： 1160248014022 本科毕业论文（设计）题 目： 浅谈投资组合的收益与风险 专 业： 数学与应用数学 姓 名： 刘 小 刚 指导教师： 冯 强 职 称： 讲 师 答辩日期： 二一二年五月十九日浅谈投资组合的收益与风险摘 要: 概率论对于投资分析有重要的意义.本文应用概率论中的期望和方差来衡量投资组合的收益率和风险,以及对期望、方差和协方差的分析,得出最佳的投资组合方案,使收益一定时,风险最小,以此指导人们在投资活动中获得高额的回报及规避风险问题. 关键词: 投资组合;收益;风险;协方差矩阵the return and risk about investment portfolioabstract: probability theory for investment analysis is of important significance. in this paper, the portfolio return and risk are measured through the application of expectation and variance, and the best portfolio scheme which would bring the minimum systematic risk at the fixed return is get through the analysis of expectation and variance, so as to guide people in investment activities how to get high returns and risk-avoiding.key words: portfolio investment; return; risk; covariance matrix.1引言证券投资是一种买卖或持有一定数量的有价证券(金融资产),借以获得利益的行为,它是市场经济条件中个人或机构投资的主要形式.人们在投资活动中最关心的两大问题就是如何获得高额的回报及规避风险.但一般情况,投资的收益率和风险是相关的,高收益率同时有高风险,一般收益一定时,都希望将风险降到最低.一个投资组合的期望和方差反映它的收益和风险.文献1-2中作者运用期望和方差衡量投资的收益和风险，我引用这部分内容求具体投资组合的收益率和风险.文献3-6中讲了协方差矩阵在最优化问题中的应用、有效边界问题以及咋样求解，我引用这部分内容解决在一定收益前提下的最小风险问题.文献7-8中系统介绍了期望、方差、协方差和相关系数的概念.文献9-10中作者对两种证券组合的投资做了分析,我引用这部分内容解决由两种股票组成的投资的最小风险问题.2预备知识定义 设为离散型随机变量,其分布列为若级数绝对收敛,则称该级数为随机变量的数学期望,称期望,记为或即有 （1）定义 设为随机变量, 如果存在, 称它为的方差, 记为或或或 （2）称为的根方差或标准差.定义 为一个二维随机变量.如果存在,则称它为与的协方差.记作或,即 （3）若是连续型的,其密度函数为,则 （4）若是离散型的,则 . （5）由于 （6）协方差也可以用下式计算 . （7）定义 如果存在,数值称为和的相关系数或标准协方差,记为,即 （8）定理 设均为随机变量,且它们的协方差均存在.则 推论 设为随机变量,则维随机变量 （9）3模型与应用3.1投资组合的期望收益率一个证券组合由一定数量的单一证券构成,它的期望收益即取决与每只证券的期望收益,又取决于各种证券在组合中占有的比例.因此,某一投资组合的期望收益率是该组合中各种证券期望收益率的加权平均值.由式子（1）得期望的数学表达式为 （10）式中,为投资组合的期望收益率;为第种证券投资价值在组合中的投资比,且设,表示所有资金投资于风险证券上;为第证券的期望收益率.例1 某资产组合中包括a、b、c三种股票,股份数分别为100、200、100，每股初始出厂价分别为40元、35元和62元,则它们在组合中的权数分别为0.2325、0.4070、0.3605.若每股期末的期望值分别为46.8元、43.61元、和76.14元,如表1所示.求该资产组合的收益率? 表1（三支股票的统计数据）证券名称组合中的股份数每股初始化市价权重每股期望期望值a100400.232546.48b200350.407043.61c100620.360576.14解 小结:组合的收益率和各构成它的每支股票的收益率以及各股票所占的权重有关.3.2投资组合的风险我们用方差反映投资组合的风险,投资者都是风险的厌恶者,投资者可以通过调整股票的权重来降低投资的风险.投资组合风险的一般计算公式 在明确了协方差后,可以得出投资组合预期收益率的方差及标准差的一般计算公式为 （11）式中,为投资组合收益率的方差,即风险. 例2某公司持有燕京啤酒、万科a和招商银行三只股票构成的投资组合,记燕京啤酒为,记万科a为,记招商银行为.其数据如表4表2燕京啤酒、万科a和招商银行的分析数据股票0.3-0.0472.3110.280.5352.4670.420.4461.885求该股票组合风险?解 经计算可以得出三只股票的协方差矩阵如表5表3 三只股票的协方差矩阵5.34-0.130.52-0.136.090.530.520.533.55 小结:组合和的风险与各构成股票的方差和它们之间的相关系数有关系.投资组合的最小风险两种证券构成的投资组合的最小风险比较简单,多种证券构成的投资组合的最小风险比较难求,实际中往往要求收益率大于零或为某一定值时的最小风险,计算量也很大,可以用计算机处理数据.(1)两种证券或股票的最小风险.假设投资组合中只有两种证券,即 （12）两种证券的投资组合的方差为 （13）为使投资组合的风险极小化,首先求对式（13）求的一阶导数,则 （14）令式（14）为0,则 （15）例3 已知证券组合是由和两种证券构成,证券a和b的方差以及相关系数如表4 ,咋样可使风险最小?表4（相关系数表）证券名称方差相关系数a0.30.4b0.5解 由表4得则小结:这说明应把全部资金的70%投资于证券,而把余下的30%资金投资于证券,这样的投资风险最小.(2)多种证券组合而成的投资组合的最小风险.如果投资组合中多于两种证券可以用极小微分法求解.在一个证券组合中,在确定一定的收益率目标后,要求组合的风险最小的有效组合,用数学语言表达式为求组合收益率方差的极小值.这时可以利用拉格朗日乘数法求解. 拉格朗日乘数法是解决有限制条件下最优化问题的一种方法，求组合方差的最小,限制两个条件:(1)投资收益率达到预期水平;(2)各种证券的权数之和等于1,数学表达式如下 （16）式中，.由于限制条件有两项,需引入两个乘数从而将（16）中转化为拉格朗日目标函数 （17）若要风险最小,则将式（17）所有以及作偏微分,并令其为0,由此可得到下列个一次线性方程式组 (18)式中(18)最后两个式子是对偏微分的结果.将上面个一次方程转换为矩阵等式 (19)其中,表示系数矩阵,变数向量为,是常数向量.由于证券组合的预期期望收益和证券之间的协方差是已知的,用的反矩阵,便可求出.,例4 从我国证券市场的不同行业中,随机选取了收益较好的3只股票,分别记作股票1、股票2、股票3, 在网上查找3只股票近5年每月的开盘、收盘价，根据公式算出每只股票每月的收益率,再据期望、协方差函数求得相应的统计量见表5和表6.要求收益率不低于上年的0.303.每股的权重应为多少?表 5 (三支股票的数据表）股票期望方差1-0.475.3420.5356.0930.4463.55表 6（协方差矩阵）12315.34-0.130.522-0.134.50-0.5330.52-0.533.55解 设,其中表示第只股票的资金权重; ,表示第只股票的收益率期望值,建立表达式引入两个乘数可得拉格朗日目标函数:要求风险的最小值,对所有以及作偏微分,令其为0,此可得到下列5一次线性方程式所以求解得所以股票1、股票2、股票3的权数分别为0.3218，0.1585，0.5197.小结:当投资组合的收益率一定时,我们总希望风险越低越好,要通过上述方法求最小风险,协方差矩阵要可逆.组合的风险与各构成它的每只股票的方差以及两两的协方差有关系.4 结束语 期望和方差是衡量一个投资组合的收益和风险的两个量.投资组合的收益与风险不仅与各个分量的期望和方差有关系,且与各分量之间的关系密不可分.协方差与相关系数反映的是两个随机变量之间关系的数字特征.一个投资组合,有一定数量证券、股票等构成,每个分量都占有一定比例,选择不同的组合权数,可以得到不同的收益和承担不同风险.在实际投资中,人们既希望得到一定的收益,又希望降低风险.投资者可以通过调整股票的权重来降低投资的风险.在收益率确定的情况,计算风险最小时,计算量往往非常庞大,我们可以借助计算工具的帮助. 参考文献1 郭爱平.证券组合投资多模型决策实证分析j.阴山学刊,2007,12(4):9-13.2 彭勇行.风险投资的最优组合决策j.中南财经大学学报,1996,5(11):157-160.3 安中华.其一协方差矩阵的最有投资组合选择j.武汉化工学院学报,2004,9(3):82-854 安中华, 周树民.正义交换求解奇异协方差矩阵的投资组合问题j.湖北教育学院学报,2004,9(5):4-7.5 苏咪咪,叶中行. 协方差矩阵奇异情况下的最优投资组合j.上海复旦大学学报,2005,8(6):245-248.6 逢淑梅,易建新. 协方差矩阵的三种风险资产的组合边界j.新余高专学报,2004,10(5):12-14.7 刘新平.概率论与数理统计m.陕西:陕西师范大学出版总社，2010.8 刘嘉焜，王家生，张玉环，宋占杰. 应用概率统计（第2版）m.北京：科学出版社，2010.9 张中华.投资学m.北京：高等教育出版社,2006.10 中国证券业协会.证券投资分析（第2版）m.北京:中国时政经济出版社,2011.11 wayne l. winston. 运筹学（第四版）m.北京:清华大学出版