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文档简介
11 不等关系 12 比较大小,1.不等式与等式之间主要有哪些异同? 不等式与等式是生活、生产实践中最常见的关系式,其相异的性质主要在与数相乘时,不等式两边乘(除以)的数的符号不同时,结论不同;而等式则不然等式与不等式的性质对比如下表:,2.不等式的证明或比较实数大小有哪些方法及注意事项呢? 证明一个不等式和比较实数的大小一样,根据题目的特点可以有不同的证明方法 (1)作差法和作商法是比较实数大小和证明不等式的重要方法,但是它们又有自己的适用范围,对于不同的问题应当选择不同的方法进行解决: 一般的实数大小的比较都可以采用作差法,但是我们要考虑作差后与0的比较,通常要进行因式分解,配方或者其他变形操作,所以,作差后必须容易变形到能看出与0的大小关系,(2)在证明不等式时还可以利用已经证明的结论,或者利用不等式的性质对不等式进行变形,使不等式变成简单易于比较大小的形式,再比较大小得出结论,需要注意的是,有些结论的递推是双向的,而有些是单向的,例如,不等式性质中的对称性就是双向的,而传递性就是单向的,在不等式两边同乘一个数或式子的时候,必须先判断要乘的数或式子的符号,决定相乘后是否改变符号 (3)有些不容易从正面证明的不等式还可以采用反证法进行证明,具体可以根据课本对性质4的推论3的证明方法和步骤,它可以把难以从正面说明的问题转化为其反面进行说明.,例1 对于实数a、b、c,判断下列命题的真假: (1)若ab,则acbc; (2)若ab,则ac2bc2; (3)若aabb2; (4)若ab0,则 (5)若ab0,则,解析:(1)因未知c的正负或是否为零,无法确定ac与bc的大小,所以是假命题; (2)因为c20,所以只有c0时才能正确c0时,ac2bc2,所以是假命题; 变式:若ac2bc2,则ab,此命题是真命题; (3)aab;ab2,命题是真命题;,变式训练1 如果ab,则下列各式正确的是( ) Aalgxlgxb(x0) Bax2bx2 Ca2b2 Da2xb2x,解析:对于A:当x0时,lgxR,当lgx0时,algxblgx(x0)不成立,故应排除A; 对于B:xR,当x0时,ax2bx2, ax2bx2不成立,故应排除B; 对于C:a2b2(ab)(ab),又由ab可知ab0,但是ab的符号是不确定的,因此a2b2不成立,故应排除C; 对于D:由指数函数的性质可知,2x0, 又ab,a2xb2x成立,故选择D. 答案:D,实数(或式)比较大小的依据是abab0;abab0;a0,b0时, 1ab) 方法步骤是作差(商)变形判断大于或小于零(大于1或小于1)关键是变形,变形的目的在于便于判断正负常见的变形有因式分解、配方等,例2 已知x1,比较x36x与x26的大小 解析:(x36x)(x26)x3x26x6 x2(x1)6(x1)(x1)(x26), x1,(x1)(x26)0,x36xx26.,变式训练2 设mR,xR,比较x2x1与2m22mx的大小,例3 比较aabb与abba(a、b为不相等的正数)的大小,变式训练3 若m0,比较mm与2m的大小,例4 已知a0,试比较a与 的大小,变式训练4 已知a,b均为正数,nN*,比较(ab)(anbn)与2(an1bn1)的大小 解析:(ab)(anbn)2(an1bn1) an1abnanbbn12an12bn1 abnanban1bn1 a(bnan)b(anbn) (ab)(bnan), a、bR,nN*,且n1, 当ab0时,ab0,bnan. (ab)(bnan)0.,当ba0时,aban. (ab)(bnan)0时,ab0. 所以(ab)(bnan)0. 综上所述,(ab)(anbn)2(an1bn1)0. 即(ab)(anbn)2(an1bn1),例5 (一题多解)求证: ab. 分析:本题可以用比较法证明;也可以用不等式性质得到证明,变式训练5 已知ab,cbd. 证明:证法1:由ab知ab0,由c0, (ac)(bd)(ab)(dc)0, acbd. 证法2:cd. 又ab,a(c)b(d),即acbd.,例6 求下面题目中 的取值范围 (1)m3;(2)m2;(3)3m2.,答案:,例7 设f(x)ax2bx且1f(1)2,2f(1)4,求f(2)的取值范围 分析:本题是关于x的一元二次函数,可以利用换元法来求解在求解时一定要注意已知条件中a、b的关系,准确把握a、b的取值范围,否则容易出错下面我们再用一种新的方法待定系数法来求解,f(2)3f(1)f(1) 1f(1)2,2f(1)4, 53f(1)f(1)10,故5f(2)10.,例8 甲、乙两人同时从寝室到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步;乙一半时间步行,一半时间跑步,如果两人步行速度、跑步速度均相同,则 ( ) A甲先到教室 B乙先到教室 C两人同时到教室 D谁先到教室不确定 分析:用路程速度时间,求甲、乙两人所用的时间,再用比较法求解,答案:
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