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毕 业 论 文黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系王建红 指导教师姓名： 项 明 寅 副教授 黄山学院 申请学位级别： 学士 学科、专业名称： 数学与应用数学 论文提交日期： 2007年05月 论文答辩日期: 2007年06月 学位授予单位：黄山学院 答辩委员会主席： 评 阅 人： 2007年06月dissertation submitted tohuangshan universityforthe bachelor degree ofmathematics and applied mathematicsthe difference and ralation between riemann calculus and lebegue calculusbywang jianhongsupervisor: vice-prof xiang mingyinmay 2007黄山学院毕业论文勒贝格积分与黎曼积分的区别与联系摘 要本文从微积分的发展过程出发引出了我们已知的黎曼积分，尽管黎曼积分的理论比较完备，但在考虑某些问题时，我们看到了黎曼积分的局限性，并通过具体的例子给予了说明于是就有了改造黎曼积分的必要性，从而提出了勒贝格积分本文的中心任务就是从我们已学过的黎曼积分和勒贝格积分的知识来探讨和归纳出两者之间的区别与联系，通过具体比较两者的定义，存在的条件，黎曼积分和勒贝格积分的性质、黎曼可积函数类和勒贝格可积函数类、以及与黎曼积分和勒贝格积分相关的一些定理，并进一步用具体的例子来说明勒贝格积分使一些黎曼积分难以解决的问题变得迎刃而解，最后总结两者之间的区别与联系并顺便指出，勒贝格积分是黎曼积分的推广，但非黎曼反常积分的推广关键词：黎曼积分，勒贝格积分，区别，联系the difference and ralation between riemann calculus and lebegue calculusabstractthis article begins from the fluxionary calculus developing process which draws out our have known riemann integral calculus.although the riemann integral calculus theory is quite complete， when considered some questions， we saw the riemann integral calculus very limit to explain this question through the concrete examplestherefore it is necessary to point out the lebesgue integral calculus which have the very superiority compared to the riemann integral calculus this articles central task is to discuss and induce the difference and the relation between the riemann integral calculus and lebesgue integral calculus from what we have studied the knowledge about the two kinds calculus specifically comparing their definition， the existence of conditions， the nature of the riemann calculus and lebesgue calculus ，the riemann integral calculus function class and lebesgue integral calculus function class， as well as about the riemann integral calculus and lebesgue integral calculus there are some theorems furthermore through using the concrete example to explain lebesgue integral calculus cause the question to be solved easily finally summarizing the two kinds integral calculus between the difference and the relationby the way，lebesgue integral calculus is riemann integral calculus promotion，but it is not riemann improper integral calculus promotionkey words: riemann calculus， lebesgue calculus， difference， relation 目 录第一章 绪 论11-1 微积分的发展史11-2 黎曼积分和勒贝格积分的引入1第二章 黎曼积分和勒贝格积分的区别与联系52-1黎曼积分和勒贝格积分的定义的比较52-2黎曼积分和勒贝格积分的存在条件的比较82-3黎曼积分和勒贝格积分的性质的比较92-4黎曼积分函数类与勒贝格积分函数类122-5与黎曼积分和勒贝格积分相关的一些定理的比较12第三章 实例15第四章 总结和展望164-1本文总结164-2 展望17参考文献18致谢19iii第一章 绪 论1-1 微积分的发展史积分学的历史很早，它起源于求积问题，早在古代人们就着手计算由曲边围成的图形的面积我国数学家刘徽力求单位圆的面积，他的方法是用许多不重叠的三角形来拟合图形，由于时代的限制他不能克服“无穷运算”的困难古希腊时代的穷竭法、中国的割圆术和祖暅定理都是早期的积分学关于积分的理解因为什么是无穷小，什么是不可分量而遇到困扰古代的穷竭法也只能用于最简单的曲线所成图形的面积如卡瓦列里用数列求和方法实际上得到不定积分，但牛顿将微分学的思想用到积分问题上，看到了积分运算是微分运算在某种意义下的逆运算，也就发展了不定积分的思想，莱布尼兹主要从定积分思想看出了积分运算是微分运算的逆总之得到了现在的牛顿莱布尼兹公式，即设如果是的不定积分，则它一定也是原函数，且任意两原函数相差一个常数，所以 此公式重要性在于计算积分再也不用用古希腊的穷竭法那么冗长了，而有了系统的处理方法因此微积分成了真正可以应用的理论了，上述公式被成为微积分基本定理，在当时，积分的概念并不清楚，而且他们遇到的函数无非是些简单的初等函数，到柯西发表他的著名的几本教科书后也就有了现时我们所了解的积分理论，现在称这种积分为黎曼积分其实应该称为柯西积分1-2 黎曼积分和勒贝格积分的引入柯西积分的对象是连续函数的积分，当然许可在某些点上不连续或无界，即包括了现在所说的反常积分而黎曼考虑的对象是使得积分和极限存在的函数类，或如达布所说的上下积分相等也就所谓的黎曼可积类黎曼可积函数许可更多的不连续点，极大的扩充了可积函数类现在我们知道为黎曼可积的充要条件是几乎处处连续，但是还要研究具有不连续点的函数，这在数学上是十分重要的，一个直接的来源是傅立叶级数的研究，许多物理问题都导致不连续的傅立叶级数问题处理这类问题需要更有力更细致的数学工具因此积分理论特别是他的发展在数学推理的严格性方面要求更高，如：当仅为黎曼可积时，微积分基本定理的证明有了困难而现在通用的证明方法应用了微积分中值定理，但其中假设了是连续的达布提出了以下的证明达布定理：设在 上可积，在上处处有导数，即则有 （1）证明：作的一个分划，所以，又由拉格朗日中值定理可得，存在，使得所以由于在上可积，因此当上述分划无限加细时，右边的极限即为，所以上述证明在当连续，但在有限多个点上不成立时也是有效的，只是将这有限多个点列入分点之内即可上述证明虽然很简单，易理解，但并未解决问题因为黎曼可积函数只是几乎处处连续，而将所有不连续点均归入分点之内是办不到的另一个例子是关于二重积分化为累次积分的问题，设在长方形区域：中连续，则必连续有著名的富比尼定理成立即， （2）关键在于若对连续，则对于固定的，是的连续函数，因此，存在且作为一个含参变量的积分，它是的连续函数，而是有意义的，因此上式是很自然的结果但若只是黎曼可积时，则对于固定的，是否为的黎曼可积函数甚至是否对几乎所有，是否为的黎曼可积函数均是个问题，因此不一定有意义，但上下积分仍有意义，因此关于黎曼可积的的二重积分，富比尼定理为：若是在中的可积函数，则有、 （3）此式的意思为内层的上下积分均是参数的黎曼可积函数，而且其积分就等于二重积分，记，在上也是黎曼可积的，且有，则由此是否可得到至少几乎处处有呢？即对几乎所有的均存在，则（3）式就变为（2）式了但是若一个非负黎曼可积函数积分为0，则此函数几乎处处为0，这证明很难的，而对勒贝格可积函数，（3）式结果是成立的在黎曼积分中重积分化为累次积分所要求的条件比勒贝格积分理论中要多，从副比尼定理中可知只要重积分存在，它就和两个累次积分相等，这是勒贝格积分的另一成功之处从上述两例子可看出，黎曼积分虽然比较简单，但一旦要考虑可能在一个零测度集上不连续的黎曼可积函数一些本来很自然的结果变得很难证明了，甚至可能不成立，尤其是不能在积分号下求极限，故黎曼可积函数类缺乏完备性，有其内在的局限性随着微积分学的发展，人们在利用黎曼积分时，感到它有很大的局限性，这要从黎曼积分的起源说起，我们知道黎曼积分的思想方法是“分割，近似求和，取极限”第一个提出分割区间做和式极限严格定义积分的是柯西他考察的积分对象是 上的连续函数，因此黎曼积分在处理诸于逐段连续的函数以及一致收敛的级数来说是足够的然而随着集合论的一系列工作的创始，出现一些“病态”函数，在研究它们的可积性时黎曼积分理论面临了新的挑战特别是考虑可积函数的连续性和极限与积分次序交换问题以及微积分基本定理和可积函数空间的完备性方面如：（1）狄里克雷函数，由定义可证不是黎曼可积的，因此必须扩大积分的范围(2)在处不连续，但它是非一致收敛的，但此例子说明函数一致收敛只是极限与积分运算交换次序的充分而非必要条件，但一致收敛是非常强的条件，我们要考虑能否将条件减弱呢？（3）在微积分基本定理中 ，必须可积的，但我们知道存在着可微且导数有界的函数，但其导数不是可积的因此限制了微积分基本定理的应用范围随着数学的向前发展，人们发现了许多问题在积分中都无法给出圆满的解决，科学不断的前进，积分论在进一步革新二十世纪初勒贝格提出了积分，它为现代分析数学打开了大门，积分的提出使许多问题变得迎刃而解了我们知道积分是用勒贝格积分和代替黎曼积分和，引入测度来推广长度，概率论就是以测度作为基础的，与黎曼积分比较，勒贝格积分虽然克服了它的许多缺点，但任何一种理论都不是十全十美的，积分也有它的缺点，如在应用时测度比长度就要麻烦第二章 黎曼积分和勒贝格积分的区别与联系2-1黎曼积分和勒贝格积分的定义的比较黎曼积分与勒贝格积分的定义：的定义是从求曲边梯形的面积所引入的其定义为：设在上有界，对作分割，即，记，（称为分割的细度）在分割所属的各个小区间上任取一点，则构成一个属于的介点集，作和式，称此式为在上属于分割的一个积分和或称黎曼和，记为，故有定义为：设为定义在上的函数，是一确定的数，若对任意的，总存在某一，使得上的任意分割，只要，属于分割的所有积分和都满足，则称在上可积称为在上的定积分记为=关于积分我们知道它的思想是“分割，近似求和，求极限”，这里的分割是指分割定义域在此定义中的可积性与的存在性是统一的，但在应用中要求预先知道的值是不现实的因此我们提出积分的另一定义，如下： 设在上有界，对作分割，即其中令分别称为（）上积分和（）下积分，如果（）上，下积分积分相等则称 在上可积将上，下积分的公共值记为 在上的积分，记为我们已知，测度是长度的推广，上述即为的测度，则启发我们为推广（）积分可以考虑将区间的分割推广为测度空间中具有有限测度的集的分划，而且对于上的有限正值函数，为使在可积，按照积分的思想，必须使得在分割后，在多数小区间上的振幅足够小，这使得具有较多激烈震荡的函数被排除在可积函数类外因此勒贝格提出了从分割值域入手的积分即任给，作，其中，分别为在上的下界和上界令，如果存在，则定义为而对于一般可测函数的积分定义为：设在可测集上可测，若记，则有，若 不同为 ，则称在上积分确定且有，当此式右端右边两个积分值都有限时，称在上可积积分是建立在勒贝格测度论的基础上，可以统一处理有界和无界的情形，而且函数可定义在更一般的点集上为了与积分联系起来，我们还给出（）积分的另一定义为：设为测度空间，在 上有界，对做分划 t，其中所有的都可测 且 ，令 令，分别称为（）上，下积分如果，则 在上可积，并称 () 上，下积分的公共值为在上的积分，记为这种定义直观，易接受，只是它过分的套用了积分定义的模式，掩盖了的优点以上是测度有限可测集上有界函数的积分定义，我们看到它在形式上同积分除了“积分区域”更一般外，主要不同之处在于采用了测度和分划的不同，即区间一律换成了可测集注：当，记为特别地当，记为比较两者定义可知，将分划成小区间是将分划成可测集的特殊情况，故必有由此式可知，当在上可积时即时必有所以当在上可积时，则在上必可积，但反之不一定成立如定义在=0，1上的狄利刻雷函数，我们已知不是可积的，但由积分的定义可以证明是可积的，且有由上述过程可知，()积分的建立是通过分割定义域，对和式求极限而得来的，这只是在每个小区间上所取值的改变而引起的，的变化极小或者即使变化较大，但改变较小时，才可积而积分却改变了这种现象，它是对的值域进行分割，把函数值相差不大的点结合在一起，从而扩展了可积函数类，使得好多问题变得迎刃而解了因此对定义域和值域的分割是积分和积分的本质区别实际上设定义在集e上，对作分划 ， 令， 则当在上可测时所有的也可测且 ，则得到了的相应的分划这时 ， 因此对的值域作分划d实质仍然是为了对的定义域作分划2-2黎曼积分和勒贝格积分的存在条件的比较可积的条件：（一） 可积的必要条件是在上有界（这说明，任何可积函数必须有界，但有界函数未必可积，如狄里克雷函数，这与积分不同，积分可以是无界的）（二）可积的充要条件有：1定义在上有界函数 可积的充要条件为在上的上积分等于下积分，即2定义在上有界函数 可积的充要条件为，总存在某一分割，使得3定义在上有界函数可积的充要条件为，总存在某一分割，使得4定义在上有界函数 可积的充要条件为对任给正数，总存在某一分割，使得属于的所有振幅的小区间的总长不超过注：由此条件可以证明黎曼函数在上可积可积的条件：1设是可测集上的有界函数，则在上可积的充要条件为，存在的分划d使得)（此条件与积分类似）2设是可测集上的有界函数，则在上可积的充要条件为在上可测（即对于中测度有限的可测集上的有界函数可测性与可积性等价）3设，是上的可测函数， 则在上可积的充要条件为4设在反常积分存在，则在可积的充要条件为在上反常积分存在，且有5设为上可积函数列，在上几乎处处成立，且（常数），则在上可积2-3黎曼积分和勒贝格积分的性质的比较r积分的性质：1如果在上可积，k为常数，则k在上也可积，且有2若在上r可积，则在上也可积（注：有但）3有界函数在上都可积，则在上也可积，且有4设在上可积，且，则5若在上可积，则|在上也可积，且有（注：其逆命题不成立，如在上不可积，但在上可积6设在上可积，则，其中是中任意两点7设在上可积，则在的任一内闭子区间上也可积8设在上连续且非负，若有，则在上9设在上可积，则在上也可积10设在上可积，且在上有，则在上也可积11设在上连续，且对上任一连续函数，有，则在上12设在上连续，且对于所有那些在上满足的连续函数有，则则在上 13（黎曼-勒贝格引理）设在可积，则l积分的性质：1积分区域的可加性设存在，式中是互不相交的可测集，则（注：设，是互不相交的可测集，对于任意的，不能推出但有能得到，这与积分是有区别的，在积分中）2零集上的积分若，则（约定当而或者而都有）3关于可积函数的单调性：（1）设都存在，且在上几乎处处成立，则，特别地若在上几乎处处成立，则（2）设，在上几乎处处成立，则（3），设在上可测，若，在上几乎处处成立，则4关于积分区域的单调性设，是的可测子集，则存在，特别地，若在上非负可测，则5线性性质（1）设，则，（其中为常数）且（2），设，则 注：若不能推出，如取，则，但在上不可积6绝对可积性且在上可测，且有由于可积函数的绝对可积性故积分是一种绝对收敛的积分，而反常积分不必为绝对收敛，因此积分不是反常积分的推广7（1）唯一性定理：设在上可测，则在上几乎处处成立（2）设，若对于所有有界函数，均有在上几乎处处成立（注：不能推出在上几乎处处成立如取，令，则，但8，积分的绝对连续性设，则对于使得对中任何可测子集，只要9，可积函数的逼近性质设，在上有界可积，则对于上可测的简单函数，使得在上几乎处处成立，且10，积分的平均连续性设为距离空间，为距离的外测度，其中所有的为开集，且为由导出的全有限测度，则（简单的说：）11，积分弱连续性，设在上非负递减可积，且在上几乎处处成立，则（注：逆命题不成立）12，则在中可积13（积分变量的平移变换），则对任意的，且有14（黎曼-勒贝格引理的推广） 若是上的可测函数列且满足15 2，对任意的有则对任意的，有2-4黎曼积分函数类与勒贝格积分函数类积分函数类：1若为上的连续函数，则在上可积2若是上只有有限个间断点的有界函数，则在上可积3若是上只有有限个第一类间断点的函数，则在上可积4若是上的单调函数，则在上可积5设在上有界，且，若在上只有为间断点，则在上可积积分函数类：可积的有界函数均是可积的2-5与黎曼积分和勒贝格积分相关的一些定理的比较关于积分的定理有：积分的第一中值定理：若在上连续，则在上至少存在一点， 使得推广的积分的第一中值定理：若在闭区间上连续，且在上不变号，则在上至少存在一点，使得积分第二中值定理：若在上为非负的单调递减函数，是可积的，则推论1，若在上且单增，是可积的，则推论2，若在上为单调函数，是可积的，则关于积分的相关定理：关于积分的最大成功之处在于讨论积分与极限交换问题时将会看到着问题在积分范围内得到比在积分范围内远为圆满的解决如，设为测度空间，在上几乎处处成立，我们可知从的可测性可以推出它的极限函数的可测性，但能否从呢？先看下述例子例1 设，令，且，有，因为，但在不是可积的例2 设，但上述两例说明，当，从 不一定能推出 ，即使 也不一定能保证极限符号与积分号能交换次序，我们在微积分中熟知当 时，也不能保证它的极限函数 ，往往要加上 在上一致收敛于的苛刻条件，对于积分，并不要求 一致收敛于，所加条件弱得多当讨论一般可积函数的情形时，有勒贝格控制收敛定理：设（1）是可测集上的可测函数列（2）在上几乎处处成立，且在上可积（3），则在上可积且注：（一） 若将条件（3）改为在上几乎处处成立，定理结论仍成立（二） 设，若将条件（2）改为（常数），若在上几乎处处成立或，定理结论仍成立再看非负可测函数类有：列维定理：设为可测集上的一列非负可测函数，且在上有（单调列），令，则逐项积分定理：设，若有，则在上几乎处处收敛，若记和函数为，则，且有积分号下求导定理：设是定义在上的函数，它作为的函数在上可积，作为的函数在上可微，若存在，使得，则通过以上定理我们可以发现在极限运算与()积分运算交换次序时，只须满足存在一个控制函数g或满足单调即可这些条件与一致收敛条件相比弱得多，在这样的条件下，极限与积分运算，微分与积分运算，积分与积分运算很容易交换次序而在积分中有界收敛定理为：（1）是定义在上的可积函数（2）(3)是定义在上的可积函数，且有则有这里不仅受到条件（2）的限制，而且还必须假设极限函数的可积性，它只是控制收敛定理的一个特例第三章 实例例1：求解，又 所以，又因为在上可积，由控制收敛定理可知，=0而在r积分中要证明在上一致收敛是很麻烦的例2：设，求证： 证：当时，当时，且有，所以 由黎曼积分与勒贝格积分的关系和控制收敛定理可得例3：设，证明：，但在上广义可积 证：由收敛，但发散可立得结论 第四章 总结和展望4-1本文总结总结积分和积分的区别和联系如下：在积分中我们定义了，分别为的上，下积分可以得到：引理：设是上的有界函数，记是在上的振幅函数，则有 （左端为在上的积分）定理1：设是上的有界函数，则在上可积的充要条件为在上的不连续点集是零测度集定理2：若在上可积，则在上必可积，且积分值相等上述所说的只是上有界函数的积分，对于无界函数的瑕积分以及无穷区间上的反常积分，情况就不同了，而积分是一种绝对收敛积分，但有定理：设是递增可测函数列，其并集为且，若，则，且有特别地，当时，且在每个上都可积以及存在，则可通过计算积分而得到积分且有在测度积分理论下：（1）微积分定理的使用范围扩大了，勒贝格提出当有界时，证明微积分定理的困难不大，但在是有限值且无界的情形时，只要是可积的，基本定理仍成立他通过对导数几乎处处为零但函数本身并非常数的函数的考察，认识到在积分的意义下，任何绝对连续函数都可积的结论是正确的因此在定理中只须满足在上的绝对连续函数，则（2） 在进行重积分运算时，重积分化为累次积分的条件减弱了，在积分理论下，要求重积分和俩个累次积分都存在时才相等但在积分理论下，只须可测且有一个累次积分存在即可（3） 积分的几何意义也推广开来，将积分中曲边梯形面积推广为在上的下方图形集的测度（4）在关于二重积分和累次积分的关系问题上，积分反映出了它的不足之处，特别是把积分推广于无界函数的情形时，对此，勒贝格的重积分理论，使得用累次积分来计算二重积分函数范围扩大了，也就有了前面所述的富比尼定理（5）积分理论作为分析学中的一个有效的工具，尤其是在三角级数问题中，得到了广泛的应用，吸引了许多数学家的兴趣我们前面都提到积分是积分的推广，但要注意它并非是反常积分的推广，但对于非负有限函数的r反常积分有下述结果：设是上非负有限函数，且，如果在上的反常积分存在，则在上可积，且成立上述定理要求非负是很重要的如在反常积分理论中，无穷积分，而在积分理论中，故在上不是可