高中数学课时提升作业十四2.2.2.2双曲线方程及性质的应用（含解析）新人教A版选修.docx

课时提升作业 十四双曲线方程及性质的应用一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015全国卷)已知M(x0,y0)是双曲线C:x22-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点,若0,则y0的取值范围是()A.-33,33B.-36,36C.-223,223D.-233,233【解析】选A.因为F1(-,0),F2(,0),x022-=1,所以=(-x0,-y0)(-x0,-y0)=+-30,即3-10,解得-33y02,所以当l与双曲线的两交点在左、右两支上时应该有两条,共三条.3.(2016泉州高二检测)若曲线C上存在点M,使M到平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差为8,则称曲线C为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是()A.x+y=5B.x2+y2=9C.x225+y29=1D.x2=16y【解析】选B.因为M到平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差为8,所以M的轨迹是以A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线的右支,方程为-=1(x4),A:直线x+y=5过点(5,0)满足题意;B:x2+y2=9的圆心为(0,0),半径为3,与M的轨迹没有交点,不满足题意;C:+=1的右顶点(5,0),满足题意;D:方程代入-=1,可得y-=1,即y2-9y+9=0,所以y=3,满足题意.4.(2016青岛高二检测)过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右顶点A作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C.若=,则双曲线的离心率是()A.2B.3C.5D.10【解析】选C.右顶点为A(a,0),则直线方程为x+y-a=0,可求得直线与两渐近线的交点坐标B,C,则=,=.又2=,所以2a=b,所以e=.【补偿训练】已知F1,F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,过F1作垂直于x轴的直线交双曲线于A,B两点.若ABF2为直角三角形,则双曲线的离心率为()A.1+2B.12C.2D.21【解析】选A.因为ABF2是直角三角形,所以AF2F1=45,|AF1|=|F1F2|,=2c.所以b2=2ac,所以c2-a2=2ac,所以e2-2e-1=0.解得e=1.又e1,所以e=1+.5.(2016沈阳高二检测)已知双曲线E的中心在原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB中点为N(-12,-15),则E的方程为()A.x23-y26=1B.x24-y25=1C.x26-y23=1D.x25-y24=1【解析】选B.由已知条件易得直线l的斜率k=1,设双曲线方程为-=1(a0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),则x12a2-y12b2=1,x22a2-y22b2=1,两式相减并结合x1+x2=-24,y1+y2=-30得=,从而=1,又因为a2+b2=c2=9,故a2=4,b2=5,所以E的方程为-=1.【拓展延伸】解决与双曲线弦的中点有关问题的两种方法(1)根与系数的关系法:联立直线方程和双曲线方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.(2)点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,将端点坐标分别代入双曲线方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,可求斜率k=.这是解决与中点有关问题的简便而有效的方法.求弦中点轨迹问题,此方法依然有效.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016济南高二检测)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)和椭圆x216+y29=1有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为.【解析】由题意知,椭圆的焦点坐标是(,0),离心率是74.故在双曲线中c=,e=,故a=2,b2=c2-a2=3,故所求双曲线的方程是-=1.答案:-=17.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F,过F且斜率为3的直线交双曲线C于A,B两点.若=4,则双曲线C的离心率为.【解析】设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由得(b2-3a2)y2+2b2cy+3b4=0,因为b2-3a20,所以y1+y2=,y1y2=,由=4得y1=-4y2,所以-3y2=,-4=,所以y2=,代入-4=,得16c2=27a2-9b2,又b2=c2-a2,所以16c2=27a2-9c2+9a2,所以36a2=25c2,所以e2=,所以e=.答案:8.已知直线l:x-y+m=0与双曲线x2-y22=1交于不同的两点A,B,若线段AB的中点在圆x2+y2=5上,则m的值是.【解析】由消去y得x2-2mx-m2-2=0.=4m2+4m2+8=8m2+80.设A(x1,y1),B(x2,y2).则x1+x2=2m,y1+y2=x1+x2+2m=4m,所以线段AB的中点坐标为(m,2m),又因为点(m,2m)在圆x2+y2=5上,所以5m2=5,所以m=1.答案:1【补偿训练】双曲线x29-y216=1的两个焦点为F1,F2,点P在双曲线上,若PF1PF2,则点P到x轴的距离为.【解析】设|PF1|=m,|PF2|=n(mn),所以a=3,b=4,c=5.由双曲线的定义知,m-n=2a=6,又PF1PF2.所以PF1F2为直角三角形.即m2+n2=(2c)2=100.由m-n=6,得m2+n2-2mn=36,所以2mn=m2+n2-36=64,mn=32.设点P到x轴的距离为d,=d|F1F2|=|PF1|PF2|,即d2c=mn.所以d=3.2,即点P到x轴的距离为3.2.答案:3.2三、解答题(每小题10分,共20分)9.双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F且垂直于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点.已知|,|,|成等差数列,且与同向.(1)求双曲线的离心率.(2)设AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.【解析】(1)设OA=m-d,AB=m,OB=m+d,双曲线方程为-=1.由勾股定理可得(m-d)2+m2=(m+d)2,得d=m,tanAOF=,tanAOB=tan2AOF=.由倍角公式得=,解得=,则离心率e=52.(2)直线AB的方程为y=-(x-c),与双曲线方程-=1联立消y并将a=2b,c=b代入,化简有x2-x+21=0.x1+x2=,x1x2=,设交点A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则|AB|=|x1-x2|=4,将数值代入,得4=,解得b=3,故所求的双曲线方程为-=1.10.已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1交于A,B两点.(1)若以AB为直径的圆过坐标原点,求实数a的值.(2)是否存在这样的实数a,使A,B两点关于直线y=12x对称?若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由消去y得,(3-a2)x2-2ax-2=0.依题意即-a0,b0)左右两支分别交于M,N两点,F是双曲线C的右焦点,O是坐标原点,若|=|,则双曲线的离心率等于()A.3+2B.3+1C.2+1D.22【解析】选B.由题知|MO|=|NO|=|FO|,所以MFN为直角三角形,且MFN=90,取左焦点为F0,连结NF0,MF0,由双曲线的对称性知,四边形NFMF0为平行四边形.又因为MFN=90,所以四边形NFMF0为矩形,所以|MN|=|F0F|=2c,又因为直线MN的倾斜角为60,即NOF=60,所以NMF=30,所以|NF|=|MF0|=c,|MF|=c,由双曲线定义知|MF|-|MF0|=c-c=2a,所以e=+1.【补偿训练】过双曲线M:x2-y2b2=1(b0)的左顶点A作斜率为1的直线l.若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B,C,且B是AC的中点,则双曲线M的离心率为()A.52B.103C.5D.10【解析】选D.由题意可知A(-1,0),故直线l的方程为y=x+1.两条渐近线方程为y=bx,由已知联立得B,同理可得C,又B是AC的中点,故2=0+,解得b=3.故c=.所以e=.2.(2016黄冈高二检测)已知平面上两点M(-5,0)和N(5,0),若直线上存在点P使|PM|-|PN|=6,则称该直线为“单曲型直线”,下列直线中是“单曲型直线”的是()y=x+1;y=2;y=43x;y=2x+1.A.B.C.D.【解析】选D.因为|PM|-|PN|=6,所以点P在以M,N为焦点的双曲线的右支上,即-=1(x0).对于,联立消y得7x2-18x-153=0,因为=(-18)2-47(-153)0,所以y=x+1是“单曲型直线”.对于,联立消y得x2=,所以y=2是“单曲型直线”.对于,联立整理得0=1,不成立,所以y=x不是“单曲型直线”.对于,联立消y得20x2+36x+153=0,因为=362-4201530,所以y=2x+1不是“单曲型直线”.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016福州高二检测)设双曲线x29-y216=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B,则AFB的面积为.【解题指南】由双曲线的方程可得a,b的值,进而可得c的值,得到A,F两点的坐标.因此可得BF的方程为y=(x-5),与双曲线的渐近线方程联立,得到点B的坐标,即可算出AFB的面积.【解析】根据题意,得a2=9,b2=16,所以c=5,且A(3,0),F(5,0).因为双曲线-=1的渐近线方程为y=x.所以直线BF的方程为y=(x-5).若直线BF的方程为y=(x-5),与渐近线y=-x交于点B,此时SAFB=|AF|yB|=2=;若直线BF的方程为y=-(x-5),与渐近线y=x交于点B.此时SAFB=|AF|yB|=2=.因此,AFB的面积为.答案:4.(2016浙江高考)设双曲线x2-y23=1的左、右焦点分别为F1,F2.若点P在双曲线上,且F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.【解析】由已知a=1,b=,c=2,则e=2,设P(x,y)是双曲线上任意一点,由对称性不妨设P在右支上,则1x|F1F2|2即(2x+1)2+(2x-1)242,解得x,所以x0,b0).如图,B是右顶点,F是右焦点,点A在x轴正半轴上,且满足|,|,|成等比数列,过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l,垂足为P.(1)求证:=.(2)若l与双曲线C的左右两支分别相交于点E,D,求双曲线离心率e的取值范围.【解析】(1)双曲线的渐近线为y=x,F(c,0),所以直线l的斜率为-,所以直线l:y=-(x-c).由得P,因为|,|,|成等比数列,所以xAc=a2,所以xA=,A,=0,-abc,=,=所以=-,=-,则=.(2)由得,b2-a4b2x2+2cx-=0,x1x2=,因为点E,D分别在左右两支上,所以a2,所以e22,所以e.6.(2016哈尔滨高二检测)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率e=233,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离是32.(1)求双曲线的方程及渐近线方程.(2)若直线y=kx+5(k0)与双曲线交于不同的两点C,D,且两点都在以A为圆心的同一个圆上,求k的值.【解析】(1)直线AB的方程为+=1,即bx-a