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第三章 矩阵的初等变换3.1 矩阵的秩 1. 子式：在中, 选取行与列, 位于交叉处的个数按照原来的 相对位置构成阶行列式, 称为的一个阶子式, 记作 对于给定的, 不同的阶子式总共有个 2. 矩阵的秩：在中，若 (1) 有某个阶子式； (2) 所有的阶子式（如果有阶子式的话） 称的秩为, 记作, 或者 规定： 性质：(1) (2) 时 (3) (4) 中的一个 (5) 中所有的 例1 , 求 解 位于1,2行与1,2列处的一个2阶子式 计算知, 所有的3阶子式, 故注 , 若, 称为行满秩矩阵； 若, 称为列满秩矩阵 , 若, 称为满秩矩阵（可逆矩阵, 非奇异矩阵）； 若, 称为降秩矩阵（不可逆矩阵, 奇异矩阵）3.2 矩阵的初等变换 1. 初等变换 行变换 列变换 对调 数乘 倍加 经过初等变换得到, 记作 2. 等价矩阵：若, 称与等价, 记作 (1) 自反性： (2) 对称性： (3) 传递性：, 定理1 证 只需证明 设, 仅证行变换之(3)的情形： (1) 若, 则有 不含： 含, 不含： 含, 且含： 故中所有的阶子式 , 于是可得 (2) 若或者, 构造矩阵 , 由(1)可得 其余情形类似 例2 , 求 解 , 故 行最简形： 标准形： 定理2 若, 则 ：行阶梯形 ：行最简形 定理3 若, 则, 称为的等价标准形 推论1 若满秩, 则 推论2 3.3 解线性方程组的消元法 例如 解线性方程组的初等变换： (1) 互换两个方程的位置 (2) 用非零数乘某个方程 (3) 将某个方程的若干倍加到另一个方程 用矩阵的初等变换表示方程组的求解过程如下： 方程组： 或者 增广矩阵： 设, 且的左上角阶子式, 则 ： 行最简形 的同解方程组为 (3.4) 若, 则方程组(3.4)无解： 若, 则方程组(3.4)有解： (1) 时, 方程组(3.4)成为 , , , 是其唯一解 (2) 时, 方程组(3.4)成为 一般解为 其中为任意常数 定理4 , (1) 有解； (2) 有解时, 若, 则有唯一解； 若, 则有无穷
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