高数第一讲函数及函数的极限.ppt

引 言,一、什么是高等数学 ?,初等数学, 研究对象为常量,以静止观点研究问题.,高等数学, 研究对象为变量,运动和辩证法进入了数学.,数学中的转折点是笛卡儿的变数.,有了变数 , 运动进入了数学,有了变数，辩证法进入了数学 ,有了变数 , 微分和积分也就立刻成 为必要的了,而它们也就立刻产生.,恩格斯,笛卡儿 目录 上页 下页 返回 结束,1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续,2. 微积分学: 一元微积分,(上册),(下册),3. 向量代数与空间解析几何,4. 无穷级数,5. 常微分方程,主要内容,多元微积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、如何学习高等数学 ?,1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.,2. 学数学最好的方式是做数学.,聪明在于学习 , 天才在于积累 .,学而优则用 , 学而优则创 .,由薄到厚 , 由厚到薄 .,马克思,恩格斯,要辨证而又唯物地了解自然 , 就必须熟悉数学.,一门科学, 只有当它成功地运用数学时, 才能达到真正完善的地步 .,第一节 目录 上页 下页 返回 结束,华罗庚,给出了几何问题的统一,笛卡儿 (15961650),法国哲学家, 数学家, 物理学家,他,是解析几何奠基人之一 .,1637年他发,表的几何学论文分析了几何学与,代数学的优缺点,进而提出了 “ 另外,一种包含这两门科学的优点而避免其缺点的方法”,从而提出了解析几何学的主要思想和方法,恩格斯把它称为数学中的转折点.,把几何问题化成代数问题 ,作图法,华罗庚(19101985),我国在国际上享有盛誉的数学家.,他在解析数论,自守函数论,高维数值积分等广泛的数学领域中,程,都作出了卓越的贡献 ,发表专著与学术论文近 300 篇.,偏微分方,多复变函数论,矩阵几何学,典型群,他对青年学生的成长非常关心,他提出治学之道是,“ 宽, 专, 漫 ”,即基础要宽,专业要专,要使自己的专业,知识漫到其它领域.,1984年来中国矿业大学视察时给,给师生题词: “ 学而优则用, 学而优则创 ”.,第一讲,分析基础,函数,极限,连续, 研究对象, 研究方法, 研究桥梁,函数及函数的极限,第一讲,一、邻域,第一节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数,二、函数,三、复合函数,四、初等函数,一、邻域,它的几何意义是：以 x0 为中心，d 为半径的开区间 (x0 - d , x0 + d) ，即 x0 - d x x0 + d ，如图 (a)所示 .,对于不等式 0 | x - x0 | d 称为点 x0 的 d 的空心邻域，记作 U ( , d ) . 如图 (b) 所示.,定义域,二、函数,1. 函数的概念,定义. 设数集,则称映射,为定义在,D 上的函数 ,记为,f ( D ) 称为值域,函数图形:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,自变量,因变量,例如, 反正弦主值,定义域,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 已知函数,求,及,解:,函数无定义,并写出定义域及值域 .,定义域,值 域,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 函数的几种特性,设函数,且有区间,(1) 有界性,使,称,使,称,说明: 还可定义有上界、有下界、无界,(见上册 P11 ),(2) 单调性,为有界函数.,在 I 上有界.,使,若对任意正数 M , 均存在,则称 f ( x ) 无界.,称 为有上界,称 为有下界,当,时,称,为 I 上的,称,为 I 上的,单调增函数 ;,单调减函数 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3) 奇偶性,且有,若,则称 f (x) 为偶函数;,若,则称 f (x) 为奇函数.,说明: 若,在 x = 0 有定义 ,为奇函数时,则当,必有,例如,偶函数,双曲余弦,记,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(4) 周期性,且,则称,为周期函数 ,若,称 l 为周期,( 一般指最小正周期 ).,周期为 ,周期为,注: 周期函数不一定存在最小正周期 .,例如, 常量函数,狄里克雷函数,x 为有理数,x 为无理数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、复合函数,则,设有函数链,称为由, 确定的复合函数 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,u 称为中间变量.,注意: 1.构成复合函数的条件,不可少.,例如, 函数链 :,函数,但函数链,不能构成复合函数 .,可定义复合,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 两个以上函数也可构成复合函数.,例如,可定义复合函数:,3. 会正确分解复合函数. 分解原则：由外向里,逐层分解.,例 2,是由哪些函数复合而成的.,解,四、 初等函数,(1) 基本初等函数,幂函数、,指数函数、,对数函数、,三角函数、,反三角函数,(2) 初等函数,由常数及基本初等函数,否则称为非初等函数 .,例如 ,并可用一个式子表示的函数 ,经过有限次四则运算和复合步,骤所构成 ,称为初等函数 .,可表为,故为初等函数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明: 1. 本书中所说函数基本是初等函数; 2.大多数分段函数不是初等函数,但不绝对.,非初等函数举例:,符号函数,当 x 0,当 x = 0,当 x 0,取整函数,当,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第一讲,二 、函数的极限,一、数列的极限,第二节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,极限的概念,一 、数列的极限,引例.,设有半径为 r 的圆 ,逼近圆面积 S .,如图所示 , 可知,当 n 无限增大时,无限逼近 S (刘徽割圆术) ,用其内接正 n 边形的面积,刘徽 目录 上页 下页 返回 结束,定义:,按自然数顺序排列的一串数称为数列,记作,或,称为通项(一般项) .,若数列,及常数 a 有下列关系 :,n 无限增大时,它的一般项,记作,此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .,几何解释 :,或,则称该数列,的极限为 a ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义:如果数列的项数,无限趋近于某个确定的常数,a ,例如,趋势不定,收 敛,发 散,机动 目录 上页 下页 返回 结束,常见的数列极限：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.并非任何数列都有极限值,3. 数列无限趋近于极限值的方式是多种多样的,说明:,1. 夹逼准则 (准则1),机动 目录 上页 下页 返回 结束,极限存在准则,夹逼准则; 单调有界准则; 柯西审敛准则 .,2. 单调有界数列必有极限 ( 准则2 ),( 证明略 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,大,大,正,又,比较可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,刘徽(约225 295年),我国古代魏末晋初的杰出数学家.,他撰写的重,差对九章算术中的方法和公式作了全面的评,注,指出并纠正了其中的错误 ,在数学方法和数学,理论上作出了杰出的贡献 .,他的 “ 割圆术 ” 求圆周率,“ 割之弥细 , 所失弥小,割之又割 , 以至于不可割 ,则与圆合体而无所失矣 ”,它包含了“用已知逼近未知 , 用近似逼近精确”的重要,极限思想 ., 的方法 :,一、自变量趋于有限值时函数的极限,二、函数的极限,自变量变化过程的六种形式:,二、自变量趋于无穷大时函数的极限,本节内容 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,引例: 考察,注:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、自变量趋于无穷大时函数的极限,时,函数,的变化趋势.,有右图可知：,几何解释:,直线 y = A 为曲线,的水平渐近线,时的极限,记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则称常数,A 为函数,当自变量的绝对值无限增大时,即,则相应的函,数值无限趋近于常数,A,两种特殊情况 :,例如，,都有水平渐近线,都有水平渐近线,又如，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当 -x 无限变大时, f ( x ) 趋向于 A,例如,定理:,二、自变量趋于有限值时函数的极限,1.,时函数极限的定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,引例: 考察,时,函数,的变化趋势.,显然，当 x1时,函数,趋向于4.,定义2 . 设函数,在点,的某去心邻域内有定义 ,数 A,则称常数 A 为函数,当,时的极限,或,记作,几何解释:,极限存在,函数局部有界,这表明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如果当 x 无限接近于 x0 时,相应的函数值无限逼近于 常,2. 左极限与右极限,左极限 :,右极限 :,定理 ：,( P38 题8 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,当 x 从x0左侧无限趋近于x0时, f ( x ) 趋向于 A,当 x 从x0的右侧无限趋近于x0时, f ( x ) 趋向于 A,例5. 设函数,讨论,时,的极限是否存在 .,解: 利用定理 3 .,因为,显然,所以,不存在 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第一讲,二、 无穷大,三 、无穷小与无穷大的关系,一、 无穷小,第三节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,无穷小与无穷大,四、无穷小的比较,当,一、 无穷小,定义1 . 若,时 , 函数,则称函数,例如 :,函数,时为无穷小;,函数,当,为,时的无穷小 .,时为无穷小.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 !,时 , 函数,(或 ),则称函数,为,定义1. 若,(或 ),则,时的无穷小 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,称某个变量是无穷小量时,必须指明自变量 的变化过程.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 1. 有限个无穷小(当 x x0 或 x 时)的代数和仍然是无穷小量 .,定理 3. 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量.,定理 2. 有限个无穷小(当 x x0 或 x 时) 之积为无穷小量 .,无穷小的性质,推论 常数与无穷小量之积为无穷小量 .,例1. 求,解:,利用定理 2 可知,说明 : y = 0 是,的渐近线 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、 无穷大,定义2 .若函数 y = f ( x ) 的绝对值 | f ( x )| 在 x 的某种 趋向下无限增大，,则称函数,当,时为无穷大,记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若在 x 的某种趋向下，f ( x ) 恒正地无限变大,或者恒负，但绝对值无限变大，则记为,注意:,1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.,2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !,例如, 函数,当,但,不是无穷大 !,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 称某个变量是无穷大量时,也必 须指明自变量的变化过程.,例 . 因为,所以,渐近线,说明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数,是当,时的无穷大量;,定义:,三、无穷小与无穷大的关系,若,为无穷大,为无穷小 ;,若,为无穷小, 且,则,为无穷大.,则,(自证),据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.,定理4. 在自变量的同一变化过程中,说明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、无穷小的比较,定义.,若,则称 是比 高阶的无穷小,若,若,若,若,或,记作,则称 是比 低阶的无穷小;,则称 是 的同阶无穷小;,则称 是关于 的 k 阶无穷小;,则称 是 的等价无穷小,记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,x sin x， x tan x，arctan x x.,ex - 1 x， ln(1 + x) x.,常见的等价无穷小公式,定理1 . 设,且,存在 , 则,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(等价无穷小替换原理),例1. 求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 求,解:,原式,第一讲,一、 极限的四则运算法则,二、 复合函数的极限运算法则,第四节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,极限运算法则,一、 极限的四则运算法则,则有,定理 1 . 若,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明: 定理 1 可推广到有限个函数相加、减、积的情形,定理 2 . 若,则有,( n 为正整数 ),例1. 设 n 次多项式,试证,证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(详见P44),定理 3 . 若,且 B0 , 则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理4. 若,则有,提示: 因为数列是一种特殊的函数 ,故定理 4可得,x = 3 时分母为 0 !,例2. 设有分式函数,其中,都是,多项式 ,试证:,证:,说明: 若,不能直接用商的运算法则 .,例3.,若,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 求,解: x = 1 时,分母 = 0 , 分子0 ,但因,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5 . 求,解:,时,分子,分子分母同除以,则,分母,“ 抓大头”,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一般有如下结果：,为非负常数 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、 复合函数的极限运算法则,定理5. 设,且 x 满足,时,又,则有,机动