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一、点估计,1、矩估计,设X 服从某分布,但其分布中有未知,参数 ,可通过随机抽取的样本来得出,由于 X 服从某分布,则可计算出,随机抽取总体 X 的样本 ,,的估计量 。,令,这样便可得到 的估计量 。,例1 设 ,,解,为总体X的样本,求 的矩估计量,令,得,所以 的矩估计量,例2 设,为总体X的样本,,求 的矩估计量,解,令,得,所以 的矩估计量,练习 设,为总体X的样本,,求 的矩估计量,解,所以 的矩估计量,2、最大似然估计,设离散型总体X 的概率分布律为:,为总体X的样本,,为未知参数,,构造似然函数为:,设连续型总体X 的概率密度函数为:,为总体X的样本,,为未知参数,,此时的似然函数为:,使得似然函数最大的 的值,就是 的估计值,称为最大似然,估计量 。,下面求似然函数的最大值:,先取对数,再对 求偏导数,进而解方程组,解出的唯一驻点就是,最大似然估计量 。,取对数,最大似然估计量,例3 求泊松分布中参数 的最大似然估计。,解,为总体X的样本,,例4,取对数,最大似然估计量,解,为总体X的样本,求 的最大似然估计量。,3、点估计优劣的评价标准,(1)无偏性;(2)有效性;(3)一致性,(1)无偏性,设 为未知参数 的估计量,若,则 称为参数 的无偏估计量。,事实上, 的无偏估计量 的直观意义就是多 次独立的用 去估计 ,平均下来与 的值相 差无几。,解,例5 若总体 的数学期望为 ,则下面,哪些是 的无偏估计量。,都是 的无偏估计。,(2)有效性,设 均为未知参数 的无偏估计量,若,则称 是较 更有效的估计量。,例6 若总体 的数学期望为 ,方差为,,则下面的无偏估计量哪个更有效。,解,同理,二、区间估计,设X 服从某分布,但其分布中有未知,参数 ,可通过随机抽取的样本来估计,的取值范围 ,并给出 落在此范围,的概率,称为区间估计;即:给定,需找出 的区间,此区间称为置信区间, 称为置信度。,置信区间反映了估计的精确程度,而置信度 则反映了估计的可靠程度。,(1)总体方差已知,1、正态总体均值 的区间估计,为总体X的样本,下面求给定,置信度为 时 的置信区间。,由,得,于是,化简得,故 的置信区间为,解,查表得,为总体X的样本, ,求置信度,为 和 时 的置信区间。,故 的置信区间为,查表得,故 的置信区间为,(2)总体方差未知,为总体X的样本,下面求给定,置信度为 时 的置信区间。,由,得,于是,先算出样本均值 和样本方
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