概率论与数理统计复习.ppt

如果（X，Y）的分布函数,已知，,则,随机变量,随机变量,称为分布函数,关于X的边缘分布函数.,称为分布函数,关于Y的边缘分布函数.,的分布函数为：,的分布函数为：,二、离散型随机向量,定义3.3,的全部取值为,如果二维随机向量,或至多可列个,为离散型的.,则随机向量,有限个,的概率分布,定义3.4,且取这些值的概率为:,联合分布常用表格表示:,联合分布具有性质:,1. 联合分布,设,是二维离散型随机向量,的取值为,联合概率分布.,称上式为随机向量,可能,的概率分布，,或X和Y的,三、连续型随机向量,定义3.5,设,是二维随机向量,其分布函数,为,如果存在非负可积的,二元函数,使得对于任意实数对,有,则称(X,Y)为,称为(X，Y)的,或X与Y 的联合密度函数.,简称,密度函数.,记为,1.密度函数,二维连续型随机向量,概率密度函数,的概率密度函数,密度函数具有性质:,对平面上任意,有,特殊地,对平面上的任一矩形区域,有,（非负性）,（归一性）,可度量的区域D,2.边缘密度函数,设连续型随机向量,的联合密度为,则,是连续型随机变量，,其密度函数为,设连续型随机向量,的联合密度为,则,是连续型随机变量，,其密度函数为,定理3.3,则X与Y相互独立,分布,设X与Y是,离散型随机变量，,其联合概率,分布为,边缘,分别为,的充要条件是,定理3.4,设连续型随机向量(X，Y),的密度函数为,独立,边缘密度分别为,和,的充分必要条件是,则X与Y相互,三、随机变量函数,定理,则,例如：,且,设,(1)如果,是随机变量,存在,是离散型随机向量,的函数,联合概率分布为,的期望,三、随机变量函数的期望,联合概率密度为,则,(2)如果,是连续型随机向量,定理,则,且,设,(1)如果,是随机变量,存在,是离散型随机向量,的函数,联合概率分布为,独立,2.,注意,设,是n个相互独立,则,1.当X与Y不独立时，,的随机,变量,都存在，,也存在，,且,未必有,与 独立,3.4 随机向量的数字特征,对于二维随机向量,除了要讨论,的期望和方差外,还需要讨论,描述X与Y之间相互,关系的数字特征.,这就是协方差,一、协方差,定义3.8,设(X,Y)是二维随机向量,存在，,则称其为,随机变量X和Y的协方差.,均,存在,如果,记为,即,随机变量,随机变量,数,各自,与相关系数.,协方差具有以下性质:,(7) X与Y独立,为任意常数.,C为任意常数.,定义,二.协方差矩阵,对二维随机向量,称矩阵,的协方差矩阵.,为随机向量,协差阵V是对称矩阵.,定义3.10,定理,称,三、相关系数,X和Y的方差,都存在,并且均不为零，,为X与Y之间的相关系数.,设随机变量X和Y的相关系数,存在，,则有,设(X,Y)是二维随机向量,即,当,都存在,且为正时,X与Y不相关,X与Y独立,X与Y不相关,X与Y独立,指X与Y之间,没有线性关系.,X与Y不相关,相关系数的大小,在某种意义上,两个随机,变量之间,线性联系的程度.,没有任何关系;,指X与Y之间,度量了,X与Y独立,X与Y不相关,一般地，,但若,服从二维正态分布,则两者等价.,事实上，,若X与Y不相关,则,即,故X与Y独立.,若(X,Y)服从,则,X与Y独立,X与Y不相关,二维正态分布,三、中心极限定理,定理3.11,设随机变量序列,有,(独立同分布,相互独立,同分布,且数学期望和方差,都存在:,则对一切 ,因此，,当随机变量序列,满足定理,的条件时，,上述等式成立，,故当n充分大时，,可用,近似计算有关