概率论课件第十五次课.ppt

15、设(X,Y)在圆域,服从均匀分布，,试问X与Y：,1）是否独立？,2）是否相关？,作业讲评：,解：,又,则,所以 X，Y不相关。,又,同理,而,所以，X与Y不独立；,第五章 大数定律与中心极限定理,第一节 契比雪夫不等式,1.契比雪夫不等式：,这就是著名的契比雪夫(Chebyshev)不等式.,它有以下等价的形式：,设随机变量X的期望,及方差,存在，则对任意的 ，有,例1、抛一枚硬币，试问抛900次后，出现正面,的次数介于400至500之间的概率至少为多少？,设X表示出现正面的次数，,故有,则所求得概率为：,则,例2、已知某种股票每股价格X的平均值为1元，,标准差为0.3元，求a,使股价超过1+a元或低于1-a,元的概率小于10%.,第五章 大数定律与中心极限定理,第二节 大数定律,概率论与数理统计是研究随机现象统计规律,研究大量的随机现象，常常采用极限形式，,与,大数定律,中心极限定理,性的学科, 随机现象的规律性只有在相同的条件,下进行大量重复试验时才会呈现出来. 也就是说,，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究,大量随机现象.,很广泛，其中最重要的有两种:,由此导致对极限定理进行研究. 极限定理的内容,定理1 (契比雪夫大数定律):,设 X1, X2, , Xn , 是相互独立的随机变量,则对任意的0，恒有,且分别有数学期望E(Xk)和方差D(Xk),(k=1,2, n),若方差有界，即存在常数C，使得:,契比雪夫大数定律给出了 平均值稳定性的科学描述,作为契比雪夫大数定律的特殊情况，有下面的定理.,定理2 (独立同分布下的大数定律):,设X1, X2, , Xn, 是独立同分布的随机变量,D(Xi) = ， i=1, 2, ,序列，且E(Xi)= ，,则对任给 0,定理3 (贝努里大数定律):,或,设nA是n重贝努里试验中事件A发生的次数，,p是A发生的概率，则对任给的 0，,证明：设,则,而,则,则,第五章 大数定律与中心极限定理,第三节 中心极限定理,在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所,例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多,空气阻力所产生的误差，,对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.,如瞄准时的误差，,炮弹或炮身结构所引起的误差等等.,自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人,产生总影响.,随机因素的影响.,们发现，正态分布在自然界中极为常见.,观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随,现在我们就来研究独立随机变量之和所特有,当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？,在什么条件下极限分布会是正态的呢？,机因素的影响所造成，而每一个因素在总影响中,所起的作用不大. 则这种量一般都服从或近似服从,正态分布.,的规律性问题.,定理1 (独立同分布下的中心极限定理)：,设X1, X2, 是独立同分布的随机变量序列，,且E(Xi) = ，,它表明，当n充分大时，n个具有期望和方差的独,D(Xi) = ，i=1, 2, ，,则,即,立同分布的变量之和近似服从正态分布,由题给条件知X1 , X2 , ,X16独立,16只元件的寿命的总和为,解:,且 E(Xi) = 100,所求概率为 P(Y1920),由中心极限定理,近似N(0,1).,设第i只元件的寿命为Xi , i=1, 2, , 16,例1. 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均,值为100小时的指数分布. 现随机地取16只，设它,们的寿命是相互独立的. 求这16只元件的寿命的总,和大于1920小时的概率.,D(Xi),= 10000,P(Y1920),=1(0.8),=10.7881,= 1P(Y1920),=0.2119.,定理2 (德莫佛拉普拉斯定理)：,设随机变量 服从参数n, p(0p1)的二项分,定理表明，,，np(1p)也不太小时），二项变量 的分布近似,布，则对任意x，有,正态分布 N(np, np(1p).,当n很大，,0p1是一个定值时,（或者说,例2、假设生产线上组装每件成品的时间服从指数,分布，统计资料表明该生产线每件成品的组装时间,为10分钟，各件产品的组装时间相互独立，试求组,装100件成品需要15个小时到20个小时的概率。,解：设 表示第 件成品的组装时间，,则 相互独立，,且服从 的指数分布,因为n=100较大，,故有,则所求的概率为：,答：组装100件成品，需要15个小时至20个小时,的概率是0.8185。,例3、某单位内部有260架电话分机，每个分机有,4的时间要用外线通话，可以认为各个电话分机,用不用外线是相互独立的，问总机要多少条外线才,能以95的把握保证各个分机再用外线时不必等候,解：,独立的试验，,用 表示第k部电话分机使用外线,用 表示第k部电话分机不使用外线,则,把考察每部电话分机是否使用外线