概率论课件第十八次课.ppt

1、抽样分布定理中，需要掌握的正态总体的,抽样分布的主要结论是哪几个？,一、复习：,设总体,为使样本均值大于70,的概率不小于90%，则样本容量n至少应取多少？,解：,则,设总体,已知样本容量为24，样,求总体标准差大于3的概率。,本方差为12.5277，,解：,开始,在总体,中随机抽取容量为,21的样本，求,和,解：,第七章 参数估计,第一节 点估计的几种方法,设总体X的分布函数的形式已知，,但它的一个,或多个参数未知，,借助于总体X的一个样本来估计,总体未知参数的值的问题称为参数的点估计。,例1、在某炸药制造厂，一天中发生着火现象的次,数X是一个随机变量，假设它服从以 为参数的,泊松分布，参数 未知。,现有以下的样本值，试,估计参数,解：,所以用样本均值来估计总体均值,即,点估计问题的一般提法：,设有一个统计总体，总体的分布函数,为 F(x, )，,其中 为未知参数,X1,X2,Xn是X的一个样本，,是相应的一个样本值。,点估计问题,就是构造一个适当的统计量,用它的观察值,近似值。,我们称,称,作为未知参数 的,为 的估计量,为 的估计量值。,均简记为：,下面介绍两种常用的构造估计量的方法：,1. 矩估计法,2. 极大似然法,一、 矩估计法,其基本思想是用样本矩估计总体矩 .,它是基于一种简单的“替换”思想建立起来的一,是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的 .,种估计方法 .,理论依据:,大数定律,用相应的样本矩去估计总体矩的估计方法就,称为矩估计法.,记总体k阶矩为,样本k阶矩为,记总体k阶中心矩为,样本k阶中心矩为,常用的是：,用样本均值估计总体均值；,用样本二阶中心矩估计总体方差；,用事件发生的频率估计事件发生的概率；,解:,由矩法,样本矩,总体矩,数学期望 是一阶 原点矩,例1、设总体X的概率密度为,是未知参数,其中,X1,X2,Xn是取自X的样本,求参数 的矩估计.,从中解得,例2、设总体X 在a,b上服从均匀分布，a，b为,解:因为,未知，,X1,X2,Xn是X的一个样本，,试求a，b的,矩估计量。,令,解得：,则,例3、设总体为指数分布，其密度函数为,是样本,试求 的估计量。,解：,（此时k1）,令,矩法的优点是简单易行,并不需要事先知道总,体是什么分布 .,缺点是当总体类型已知时，没有充分利用分布提,供的信息 .,一般场合下,矩估计量不具有唯一性 .,其主要原因在于建立矩法方程时，选取哪些总,体矩用相应样本矩代替带有一定的随意性 .,二、 极大似然法：,是在总体类型已知条件下,它首先是由德国数学家高斯在1821年提出的 ,Gauss,Fisher,然而，这个方法常归功于英国统计学家费歇 .,费歇在1922年重新发现了 这一方法，,使用的一种参数估计方法 .,并首先研究了这 种方法的一些性质 .,极大似然法的基本思想,先看一个简单例子：,一只野兔从前方窜过 .,是谁打中的呢？,某位同学与一位猎人一起外出打猎 .,如果要你推测，,你会如何想呢?,只听一声枪响，野兔应声倒下 .,你就会想，只发一枪便打中,猎人命中的概率一般大,这个例子所作的推断已经体现,于这位同学命中的概率. 看来这一枪是猎人射中的 .,了极大似然法的基本思想 .,极大似然估计原理：,当给定样本X1,X2,Xn时，定义似然函数为：,设X1,X2,Xn是取自总体X的一个样本，样本,的联合密度(连续型）或联合概率函数(离散型)为,f (X1,X2,Xn; ) .,可能产生样本值X1,X2,Xn的一种度量 .,看作参数 的函数，,它可作为 将以多大,极大似然估计法就是用使 达到最大值的,称 为 的极大似然估计,去估计 .,例4、 设X1, X2, , Xn是取自总体X的一个样本，且,解：,似然函数为：,令,解之得,求极大似然估计的一般步骤：,1) 由总体分布导出样本的联合概率函数,2) 把样本联合概率函数(或联合密度)中自变 量 看成已知常数,而把参数 看作自变量, 得到,(或联合密度);,3) 求似然函数的 最大值点 (常常转化为求 的最大值点),即得 的极大似然估计 ;,4) 在最大值点的表达式中, 用样本值代入 就得,参数的极大似然估计值 .,解：,例5、设,所以似然函数为：,是未知参数，,是X的一组观察值，,似然估计量。,令,则,解得：,即为所求