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廿一世紀的數學展望 Mathematics in the 21 Century,丘成桐 哈佛大學 1/9, 2006 於台灣中央大學,在新世紀開始，全世界科學家對這個新時代的來臨，有着無比的興奮，期待着人類有史以來最新的發現。數學是所有推理學問的基礎，我希望在這個演講裏能夠指出今後數學發展的一些綫索。 由希臘數學家發展歐式幾何的公理系統開始，人類對嚴謹的三段論証方法才有實體的認識，影響所及，凡是需要推理的學問都與數學有關，推理的學問可分物理科學，工程科學和社會科學。,社會科學,經濟 金融 保險 估值,病歷調查生物統計調查,都市規劃人口流動人口調查民意調查,文獻整理歷史研究,訊息科學網絡科學,物理科學,數學和工程科學乃是社會科學的基礎 理論物理乃是工程科學的基礎 數學乃是理論物理的基礎,人類科技愈進步愈有能力去發現新的現 象。種種繁複的現象使我們更加迷惘，而亦 因此而更加興奮。 (例如：湍流問題、黑洞問題) 但是主宰所有現象變化的只是幾個小數 的基本定律。在高能物理裏有所謂 Standard model (標準模型)，這個理論統一而 解釋了三個基本場：電磁場、弱力、強力。 但是重力場和這三個力場還未得到統一，主要 是因為與量子力學未能融合。,弦理論企圖統一重力場和其他所有力場。這是一個 宏大的搆想。 在廿一世紀，我相信基本數學會遇到同樣的挑戰： 基本數學也將會來個大統一，也只有在數學各門分 支大統一後，這些分支才會放出燦爛的火花。因為 只有經過統一後，這些學問才會得到本質上的瞭 解。,數學的大統一將會比物理的大統一來得基 本，也很可能由物理學的統一場論孕育而 出。近代弦論的發展已經成功的將 微分幾何 代數幾何 群表示理論 數論 拓樸學 相當重要的部份統一起來。而這二十年來數 學已經由弦論得到豐富的果實。,大自然提供了最為重要的數學模型，以 上很多模型都是從物理直覺或從實驗觀察出 來的，但是數學家卻可以用自己的想像，在 觀察的基礎上創造出新的結構。 成功的數學結構往往是幾代數學家的共 同努力得出的成果，也往往是數學中幾個不 同分支合併出來的火花。,幾何和數字(尤其是整數)可說是數學裏最 直觀的對象，因此在數學的大統一中會起着最 要緊的作用。 廿世紀的數論學家通過代數幾何的方法 已經將整數方程的一部份與幾何結合，群表 示理論是數論和幾何學結合的一個橋樑。 每次數學分支的結合都有結構性的變化, 例如算術幾何的產生，將數論和幾何都帶入新 的境界，解決了一系列的古典問題。,在過去廿年，拓樸學和幾何已經融合。 三維空間和四維空間的研究不能缺乏幾 何的工具。 Thurston 的猜測和 Hamilton 的工作是 在三維空間上引進幾何結構，這些創作新結 構的理論具有劃時代的重要性，正等如十九 世紀的數學家創造 Riemann surface 概念一的 重要。,分析和幾何已經逐漸融合，這三十年來，微分 方程在複幾何和拓撲學上有極為傑出的貢獻。通過 分析方法，陳氏類，Hodge 理論，Atiyah-Singer 指 標定理和我在複流形上搆造的 Kahler-Einstein 度 量，在代數幾何中解決了很多極為重要的問題。 最近 Hamilton 的 Ricci Flow 通過 Perelman 工 作可能解決了 Thurston 的猜想，這些都是數學上百 年來的大事。,在四維空間上，Donaldson 利用 Taubes， Uhlenbeck 在規範場上的存在性定理得到四維 拓撲的突破。 上述工作和 Donaldson-Uhlenbeck-Yau 在複幾何中規範場的工作都與代數幾何和弦理論 息息相關。 事實上弦理論提供了極為重要的訊息，使 得古典的代數幾何得到新的突破。我們期望弦理 論、代數幾何、幾何分析將會對四維拓撲有更深 入的暸解。,在二十一世纪的數學裡，三维的双曲空間和四維的代數曲面理論會變得如黎曼曲面一樣重要，數學會進入一個盡情享受低维空間特殊性质的局面，代數幾何裏的二维、三维和四维流形會有更徹底的理解。 我們希望 Hodge 猜测會得到圆满的解决，從而得知一個拓樸子流型什麼時候可以由代數子流形來表示。同樣的問题也適用於 Vector bundle 上。由弦理論得到的啟示，有些特殊的子流形或可代替代數流形。,現在舉一個理論物理，數學和應用科學 上的共同而重要的問題：基本物理上的 Hierachy 問題，是一個 Scale 的問題。 引力場和其他力場的 Scale 相差極遠， 如何統一，如何解釋？ 在古典物理，微分方程，微分幾何和各 類分析中亦有不同 Scale 如何融合的問題。 在統計物理和高能物理中，用到所謂 renormalization group 的方法，是非穩定 系統的一個重要工具。,如何用基本數學發展出來的方法去處理 不同 Scale 是應用數學中一個重要問題。而事 實上，純數學本身亦有不同度量的問題。 在微分方程，或微分幾何遇到奇異點或 在研究漸近分析時，Blowing up 分析是一個 很重要的工具，而這種 Blowing up 的工具亦 是代數幾何中最有效的工具。,在非綫性微分方程中，我們需要更進一步的做定 性和定量的分析來研究由 Blowing up 得出来的結 果，因此對不同 scale 的量得到進一步的認識。 微分幾何的張量分析 (曲率張量) 在multiscale 分析中應該會有重要的應用，因為即使在同一點上， 物理現象會有不同方向的變化，而此種變化亦應當受 到 scale 的影響，而張量是研究它們的主要工具。 當一個圖 (graph) 逼近一個幾何圖形或微分方程 的解時，multiscale 分析極為重要，如何使圖本身有 一個自然的 scaling 的結搆無論在純數學和應用數學 都是重要的問題，我希望研究離散數學的學者亦注意 到這一點。,近代弦論發現有不同的量子場論可以互相 同構 (isomorphic) 然而scale 剛好相反 因此找到一些強 Coupling Constant 的理 論可以同另一些弱 Coupling Constant 的 理論同構。,由於R 這種奇妙的對稱可以保持量子場論的結構，使得我們可以用擾動性（perturbation analysis）的方法去計算非擾動的場論，在數學上得到驚人的結果。 更要注意到的一點是時空的結構可能因此有基本上的觀念的改變。極小的空間不再有意義。時空的量子化描述需要更進一步的探討。物理學家和幾何學家都希望能夠找尋一個幾何結構來描述這個量子化的空間。有不少學者建議用矩陣模式來解釋這種現象，雖然未能達到目標但已得到美妙的數學現象。,約在兩百年前，Gauss 發現 Gauss 曲率的觀念而創造內蘊幾何時，就感歎到空間的觀念與時而變，和人類對大自然的瞭解有密切的關係。 這二十年來，超對稱的觀念深深地影響著基本物理和數學的發展，在實驗上雖然尚未發現超對稱，但在數學上卻起著凝聚各門分枝的能力，我們寧可相信在極高的能量時，超對稱確實存在，但如何看待超對稱在現實時空中的殘餘，應當會是現代應用物理和應用數學的一個重要命題。,舉例來說，在超對稱的結構中，規範場和電磁場會與完全不相關的子流形理論同構，是否意味著這種日常能見的場論可以用不同的手法來處理？ 種種不同的現象顯示，弦論、幾何、群表示理論逐漸會與算術幾何接近。在所謂 Arakelov 理論中，除了在複數上定義的代數空間外，還需要考慮特微為 p 的代數空間，才能夠對算術空間有完滿的瞭解，是否表示它們能夠幫助我們瞭解現實界的問題？由此觀之，數論上的L函数和 Birch-Swinnerton-Dyer 猜测有没有其他解釋？我們希望在上面提出的從弦理論産生的 duality 在算術幾何也會出現，二百多年來數論學家以橢圓曲綫為主要工具，一個自然的高維推廣就是卡拉比丘空間。希望這個空間在算術幾何上有大的進展。 现在用一个簡單的例子来解釋上述 duality 的现象。,例子： Laplace 算子 我們要求 在 上定義，,Zn 是一個 lattice Rn 而 l 必定要在這個 lattice 的對偶中 (Zn)* 的對偶是 這個對偶在弦論中起相當重要的作用。 在 Fourier 分析和數論中也已得重要的發揮。, 在 L2(T)上的譜 (Spectrum)是 它的譜分解全部可以算出 如果 f：R R 則 如果我們有辦法用分析方法算出 f()，則可 以得到 trace formula,舉例來說 f(x) = exp(tx) exp(t) 的核函數可以算出為 因此,Poisson formula： 數論上的基本公式！ Trace formula Automorphic form 群表示理論, 數論,這個 Torus 的對偶正是弦理論對偶的基礎，現代數論的一個最重要的環節叫Langlands 理論，也有對偶的問題，與代 數幾何和表示理論有密切的關係。希望能夠與這一系列的想法也掛鈎。,另外一個在物理和數學科學共同而有力的工具就是 對稱的概念，它有種種不同的表示方法，比較簡單 的是由群的觀念開始。 群的觀念 小群：如鏡對稱 如雪花的對稱 連續群 (李群) ：物理上用途 非緊離散群： 在數論和幾何上的用途 無限維對稱： 規範場中的規範群 種種不同對稱的觀念在廿世紀後半期的理論科學有基本貢 獻。 Duality 比 Symmetry 更廣義，不同理論的基本同構將是廿 一世紀的一個重要命題。,如何在現實界找出對稱？ 運用之妙 存乎一心 在於作者的經驗和直觀。 由于現實界的問題，産生了廿一世紀基本科學的基本命 題：如何將對稱的物理基本現象與非對稱的世界聯合？ Symmetry breaking 眾生色相 何由而生？ 舉例來說，基本的物理定律是對時間來說對稱的，為何 我們擔憂時光消逝？由對時間對稱的定律來解釋沒有對時間 對稱的直觀世界是現代數學和物理的一個重要問題。,一個重要的解釋是由物理學上的熵而來。 熱力第二基本定理說 Randomness 隨時間而增 Entropy increase with time 這是一個奇妙的定理，到如今還未得到徹底的瞭解。 時間的箭咀在廣義相對論中是一個重要的題目 Roger Penrose 和 Hawking都花了很多時間去討論。 這是因為Einstein方程對時間來說是對稱的，然而 在現實世界，時間是不對稱的。 熵的研究在現代物理和現代數學都起了極重要 的作用，它在上面談到的 Hamilton 理論就起着重要 的功用。但是如何找到它的基本意義而將不同領域 的熵的觀念融合起來是有需要的,湍流的問題，極為復雜，有不同 scale 的問題， 也應當有熵的問題。 流体力學中的奇異點和 boundary layer 也需要 大量的理論投入，需不需要引力場方程来幫忙解 釋，我認為是有意義的。 基本的方程式或基本的物理現象，用數學形式 表達出來時，都是用等式來表達。 但往往在徹底研究這種等式以前，不等式會産 生，同時起着無比的重要性。 波浪的重疊，最後產生的可以是極為光滑的 波。如何控制這種現象要依靠好的不等式。也是一 切分析和應用數學的精華。,Superposition是線性方程的特微，在研究非線性integrable方程時，也有非線性的Superposition，一般而言，我們有沒有辦法由少數的解來產生新的解是一個重要的問題。非線性現象是二十一世紀的研究物件。,由 Stationary 的物理現象到 Dynamical的物理現象，我們會遇到極為困擾而又刺激的數學問題。在方程的觀點來說，橢圓方程過渡到拋物型，到双曲型到混合型的方程組，有極度困難的奇異點處理問題，在物理上有震波的處理問題，既要研究估值，又要研究物理意義，又希望大型計算機能夠幫忙。,高維空間的非綫性波和各種物理幾何的關係將會影響這幾十年的應用數學，其中有孤立子的現象，有震波現象，多種粒子在非綫性的互動時得出的宏觀現象，方程帶有隨機變數時的處理將會是應用數學的重要題目。 很多古典的方法或近代物理的方法應當可以應用到離散問題上去。大型的網絡極為復雜，如何有效的傳播訊息，如何尋找資料，提供暸解數學極有意義的問題。,圖像處理和計算幾何更是一個電腦、幾何、組合數學結合的好地方，在醫學上有重要的貢獻，自動控制論和上述種種應用都會結合，要得到最有效的用途需要數學家密切合作。,研究應用數學的方法,當微分方程和幾何和組合數學，真正大 統一時，應用數學會有大進步。 有宏大胸襟的數學家會在前進途徑上創 造新的結構來因應這個統一的使命，來瞭解 不同的數學分枝。,數學在工業上的應用,工業問題，科學觀察實驗,統計，分析處理,理論，模型,計算，程序,單靠程序和計算的數學即使有短暫的生 長力量，不會有深遠的影响。 如何解釋由計算得出來的現象，如何與 物理和工程的現象相吻合，如何利用計算結 果作有意義的預測，乃是計算數學的目標。 因此理想的應用數學家，應該有數學家的根 基，有物理學家和工程學家的眼光和觸角。,數學提供應用數學幾個重要工具 概率，隨機分析 組合理論 代數(Coding理論) 幾何(圖像處理，壓縮),由於應用科學的產生，所有連續性的數 學理論或存在性定理，都有定量的逼近問 題，因此產生很多有意義的新的數學。 物理，生物，化學，工程將會提供大量 有意義的問題和新的觀念。 好的應用數學家需要融合各種的科學， 經費不是唯一的問題！,七零年代