高中数学第二章抛物线的简单几何性质第2课时抛物线几何性质的应用学案（含解析）.docx

第2课时抛物线几何性质的应用学习目标1.进一步加深对抛物线几何特性的认识.2.掌握解决直线与抛物线相关综合问题的基本方法知识点直线与抛物线的位置关系思考直线与抛物线有且只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？答案不一定，当直线平行于抛物线的对称轴时，直线与抛物线相交梳理(1)直线与抛物线的位置关系有相交、相切、相离，直线与抛物线的公共点个数与由它们的方程组成的方程组的解的个数一致(2)由方程ykxb与y22px联立，消去y得k2x22(kbp)xb20.当k0时，若0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若0，则直线与抛物线有一个公共点；若0)的通径长为2a.()类型一直线与抛物线的位置关系例1已知直线l：yk(x1)与抛物线C：y24x，问：k为何值时，直线l与抛物线C有两个交点，一个交点，无交点？考点直线与抛物线的位置关系题点直线与抛物线公共点个数问题解由方程组消去y，得k2x2(2k24)xk20，(2k24)24k416(1k2)若直线与抛物线有两个交点，则k20且0，即k20且16(1k2)0，解得k(1,0)(0,1)，所以当k(1,0)(0,1)时，直线l和抛物线C有两个交点若直线与抛物线有一个交点，则k20或当k20时，0，解得k0或k1，所以当k0或k1时，直线l和抛物线C有一个交点若直线与抛物线无交点，则k20且1或k1或k0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得，k2x2(2kb2p)xb20.(1)若k20，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合(2)若k20，当0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当0时，直线与抛物线相离，无公共点跟踪训练1设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A.B2,2C1,1 D4,4考点直线与抛物线的位置关系题点直线与抛物线公共点个数问题答案C解析准线方程为x2，Q(2,0)由题意知，直线的斜率存在，设l：yk(x2)，由消去y，得k2x24(k22)x4k20.当k0时，x0，即交点为(0,0)；当k0时，由0，得1k0或00.设弦的两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，y1y2，y1y2.P1P2的中点为(4,1)，2，k3，满足式所求直线方程为y13(x4)，即3xy110，y1y22，y1y222，|P1P2|.方法二设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)则y6x1，y6x2，yy6(x1x2)，又y1y22，3，所求直线的斜率k3，所求直线方程为y13(x4)，即3xy110.由得y22y220，y1y22，y1y222，|P1P2|.反思与感悟中点弦问题解题策略两方法跟踪训练2已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y2x4所得的弦长|AB|3，求此抛物线的方程考点直线与抛物线的位置关系题点由抛物线弦长求解相关问题解设所求抛物线方程为y2ax(a0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y，得4x2(a16)x160，由(a16)22560，得a0或a0.所求抛物线方程为y24x或y236x.类型三抛物线中的定点(定值)问题例3已知点A，B是抛物线y22px(p0)上的两点，且OAOB.(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2)求证：直线AB过定点考点直线与抛物线的位置关系题点直线与抛物线相交时的其他问题(1)解设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则kOA，kOB.因为OAOB，所以kOAkOB1，所以x1x2y1y20.因为y2px1，y2px2，所以y1y20.因为y10，y20，所以y1y24p2，所以x1x24p2.(2)证明因为y2px1，y2px2，所以(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)，所以，所以kAB，故直线AB的方程为yy1(xx1)，所以yy1，即y.因为y2px1，y1y24p2，所以y，所以y(x2p)，即直线AB过定点(2p,0)反思与感悟在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这类问题的关键是代换和转化跟踪训练3如图，过抛物线y2x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值考点直线与抛物线的位置关系题点直线与抛物线相交时的其他问题证明设kABk(k0)直线AB，AC的倾斜角互补，kACk(k0)，即直线AB的方程是yk(x4)2.由方程组消去y后，整理得k2x2(8k24k)x16k216k40.A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解，4xB，即xB.以k代换xB中的k，得xC.kBC.直线BC的斜率为定值1过点P(0,1)与抛物线y2x有且只有一个交点的直线有()A4条B3条C2条D1条考点直线与抛物线的位置关系题点直线与抛物线公共点个数问题答案B解析当斜率不存在时，过P(0,1)的直线是y轴，与抛物线y2x只有一个公共点当斜率存在时，设直线为ykx1.由消去y，得k2x2(2k1)x10，当k0时，符合题意；当k0时，令(2k1)24k20，得k.所以与抛物线只有一个交点的直线共有3条2已知直线ykxk及抛物线y22px(p0)，则()A直线与抛物线有一个公共点B直线与抛物线有两个公共点C直线与抛物线有一个或两个公共点D直线与抛物线可能没有公共点考点直线与抛物线的位置关系题点直线与抛物线公共点个数问题答案C解析直线ykxkk(x1)，直线过点(1,0)又点(1,0)在抛物线y22px的内部，当k0时，直线与抛物线有一个公共点；当k0时，直线与抛物线有两个公共点3已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，设C的焦点为F，则直线BF的斜率为()A.B.C.D.考点直线与抛物线的位置关系题点直线与抛物线相交时的其他问题答案D解析点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线x上，2，p4，抛物线C：y28x.设直线AB的方程为xk(y3)2(k0)，将与y28x联立，得y28ky24k160，令(8k)24(24k16)0，解得k2或k.当k时，切点在第四象限，与题意不符，舍去将k2代入，得即B(8,8)又F(2,0)，kBF.故选D.4若直线xy2与抛物线y24x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是_考点直线与抛物线的位置关系题点直线与抛物线相交弦中点问题答案(4,2)解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y24y80，y1y24，x1x2y1y248，中点坐标为(4,2)5过点P(2,1)作抛物线y24x的弦AB，若弦恰被P点平分(1)求弦AB所在的直线方程(用一般式表示)；(2)求弦长|AB|.考点直线与抛物线的位置关系题点直线与抛物线相交弦中点问题解(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则作差得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，由于直线的斜率存在，故斜率k2，从而直线AB的方程为y12(x2)，即2xy30.(2)由消去y得，4x216x90，因为0，所以于是|AB|.求抛物线的方程常用待定系数法和定义法：直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化一、选择题1过抛物线y2x2的焦点且垂直于它的对称轴的直线被抛物线截得的弦长为()A2B.C.D1考点抛物线的焦点弦问题题点求抛物线的焦点弦长答案B解析抛物线y2x2的标准方程为x2y，焦点坐标为，当y时，x，过抛物线y2x2的焦点且垂直于它的对称轴的直线被抛物线截得的弦长为.2与直线2xy40平行的抛物线yx2的切线方程为()A2xy30B2xy30C2xy10D2xy10考点直线与抛物线的位置关系题点直线与抛物线公共点个数问题答案D解析设直线方程为2xym0，由消去y，得x22xm0，44m0，m1，直线方程为2xy10.3直线ykx2交抛物线y28x于A，B两点，若AB的中点的横坐标为2，则k等于()A2或2B1C2D3考点直线与抛物线的位置关系题点求抛物线中的直线方程答案C解析由题意知消去y，得k2x2(4k8)x40.(4k8)216k20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则2，即x1x24，x1x24，k2或1，经判别式检验知k2符合题意4已知圆C：(x2)2y2r2与抛物线D：y220x的准线交于A，B两点，且|AB|8，则圆C的面积是()A5B9C16D25考点直线与抛物线的位置关系题点直线与抛物线相交弦中点问题答案D解析抛物线D：y220x的准线方程为x5.圆C的圆心(2,0)到准线的距离d3.又由|AB|8，r2d2225，故圆C的面积Sr225，故选D.5过抛物线y24x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A有且仅有一条B有且仅有两条C有无穷多条D不存在考点直线与抛物线的位置关系题点直线与抛物线相交时的其他问题答案B解析若直线AB的斜率不存在，则横坐标之和为2，不符合题意，故设AB的方程为yk(x1)，代入y24x，消去y，得k2x22(k22)xk20，由题意得5，则k2，所以这样的直线有且仅有2条6已知点A(1,2)是抛物线C：y22px与直线l：yk(x1)的一个交点，则抛物线C的焦点到直线l的距离是()A.B.C.D23考点直线与抛物线的位置关系题点直线与抛物线相交时的其他问题答案B解析将点(1,2)代入y22px中，可得p2，即得抛物线y24x，其焦点坐标为(1,0)将点(1,2)代入yk(x1)中，可得k1，即得直线xy10，抛物线C的焦点到直线l的距离d.7已知点A(0，3)，B(2,3)，点P在x2y上，当PAB的面积最小时，点P的坐标是()A(1,1) B.C.D(2,4)考点直线与抛物线的位置关系题点直线与抛物线相交时的其他问题答案B解析A(0，3)，B(2,3)，kAB3，直线AB的方程y3x3.设直线y3xt是抛物线的切线，PAB高的最小值是两直线之间的距离把直线y3xt代入x2y，化简得x23xt0，由0，得t，此时x，y，P点坐标为.8已知直线l：yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线C准线上的射影分别是M，N，若|AM|2|BN|，则k的值是()A.B.C2D.考点直线与抛物线的位置关系题点直线与抛物线相交时的其他问题答案D解析设抛物线C：y28x的准线为m：x2.直线yk(x2)(k0)恒过定点P(2,0)，如图，过A，B分别作AMm于点M，BNm于点N.由|AM|2|BN|，得点B为AP的中点，连接OB，则|OB|AF|，|OB|BF|，点B的横坐标为1，点B的坐标为(1,2)把B(1,2)代入直线l：yk(x2)(k0)，解得k，故选D.二、填空题9直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点，则k_.考点直线与抛物线的位置关系题点直线与抛物线公共点个数问题答案0或1解析由得k2x2(4k8)x40，当k0时，直线与抛物线只有一个公共点；当k0时，由(4k8)216k20，得k1，k0或1.10过抛物线y28x的焦点作倾斜角为的直线l，直线l与抛物线相交于A，B两点，则弦|AB|的长是_考点抛物线的焦点弦问题题点求抛物线的焦点弦长答案16解析由y28x，得其焦点F(2,0)，则过抛物线y28x的焦点F且倾斜角为的直线l的方程为y1(x2)，即xy20.由得x212x40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x212，x1x24，所以|AB|x1x2|16.11.如图，直线yx3与抛物线y24x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为_考点直线与抛物线的位置关系题点直线与抛物线相交时的其他问题答案48解析由消去y，得x210x90，设B，A两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，解得或|AP|10，|BQ|2，|PQ|8，梯形APQB的面积为48.三、解答题12设F(1,0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且2，0.(1)当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)是曲线C上除去原点外的不同三点，且|，|，|成等差数列，当线段AD的垂直平分线与x轴交于点E(3,0)时，求点B的坐标考点抛物线的简单几何性质的综合运用题点抛物线的简单几何性质的综合运用解(1)设N(x，y)，由2，得点P为线段MN的中点，P，M(x,0)，.由x0，得y24x.即点N的轨迹方程为y24x.(2)由抛物线的定义，知|AF|x11，|BF|x21，|DF|x31，|，|，|成等差数列，2x22x11x31，即x2.线段AD的中点为，且线段AD的垂直平分线与x轴交于点E(3,0)，线段AD的垂直平分线的斜率为k.又kAD，1，即1.x1x3，x1x32，又x2，x21.点B在抛物线上，B(1,2)或B(1，2)13已知抛物线C：y22px(p0)上的一点M(2，y0)到焦点F的距离等于3.(1)求抛物线C的方程；(2)若过点D(3,0)的直线l与抛物线C相交于A，B两点，求ABF面积的最小值考点直线与抛物线的位置关系题点直线与抛物线相交时的其他问题解(1)抛物线的准线方程为x，M(2，y0)到焦点的距离为23，p2，抛物线的方程为y24x.(2)设AB的方程为xmy3，由得y24my120，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，y1y212，|y1y2|，SABF|FD|y1|FD|y2|y1|y2|y1y2|4，当m0时，