数系的扩充与复数的引入要点梳理复数的有关概念.ppt

13.6 数系的扩充与复数的引入 要点梳理 1.复数的有关概念 (1)复数的概念 形如a+bi (a,bR)的数叫做复数，其中a,b分 别是它的 和 .若 ，则a+bi为实数, 若 ，则a+bi为虚数,若 ，则a+bi 为纯虚数. (2)复数相等:a+bi=c+di (a,b,c,dR).,实部,虚部,b=0,b0,a=0且b0,a=c且b=d,基础知识 自主学习,(3)共轭复数:a+bi与c+di共轭 (a,b,c,dR). (4)复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面. 叫做实轴， 叫做虚轴.实轴上的点都表示 ；除原点外，虚轴上的点都表示 ； 各象限内的点都表示 . (5)复数的模 向量 的模r叫做复数z=a+bi的模，记作 或 ，即|z|=|a+bi|= .,a=c,b=-d,x轴,y轴,实数,纯虚数,非纯虚数,|z|,|a+bi|,2.复数的几何意义 (1)复数z=a+bi 复平面内的点Z(a,b) (a,bR). (2)复数z=a+bi (a,bR). 3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di (a,b,c,dR),则 加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)= ; 减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)= ; 乘法:z1z2=(a+bi)(c+di)= ;,(a+c)+(b+d)i,(a-c)+(b-d)i,(ac-bd)+(ad+,bc)i,除法: = .(c+di0) (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3C,有z1+z2= ,(z1+z2)+z3= .,z2+z1,z1+(z2+z3),基础自测 1.(2009北京理，1)在复平面内,复数z=i(1+2i) 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析 z=i(1+2i）=-2+i,复数z在复平面内 对应的点为Z（-2，1），该点位于第二象限.,B,2.下列命题正确的是( ) (-i)2=-1;i3=-i;若ab,则a+ib+i; 若zC，则z20. A. B. C. D. 解析 虚数不能比较大小，故错误； 若z=i,则z2=-10,故错误.,A,3.（2008浙江理，1）已知a是实数， 是纯虚 数，则a等于( ) A.1 B.-1 C. D.- 解析 因为该复数为纯虚数，所以a=1.,A,4.（2009山东理，2）复数 等于( ) A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i 解析,C,5.设 为复数z的共轭复数，若复数z同时满足 z- =2i， =iz，则z= . 解析 =iz,代入z- =2i，得z-iz=2i,-1+i,题型一 复数的概念及复数的几何意义 已知复数 试求实数a分别取什么值时，z分别为： （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数. 根据复数z为实数、虚数及纯虚数的 概念,利用它们的充要条件可分别求出相应的a值. 解,题型分类 深度剖析,（2）当z为虚数时， a-1且a6且a1.a1且a6. 当a(-,-1)(-1,1)(1,6)(6,+)时， z为虚数. （3）当z为纯虚数时，有 不存在实数a使z为纯虚数.,(1)本题考查复数集中各数集的分类， 题中给出的复数采用的是标准的代数形式，否则 应先化为代数形式，再依据概念求解. (2)若复数的对应点在某些曲线上，还可写成代数 形式的一般表达式.如：对应点在直线x=1上，则z=1+bi（bR）;对应点在直线y=x上，则z=a+ai (aR)，在利用复数的代数形式解题时经常用到 这一点.,知能迁移1 已知mR，复数 -3)i,当m为何值时,(1)zR；(2)z是纯虚数； (3)z对应的点位于复平面第二象限；(4)z对应的 点在直线x+y+3=0上. 解 (1)当z为实数时,则有m2+2m-3=0且m-10 解得m=-3,故当m=-3时，zR. （2）当z为纯虚数时,则有 解得m=0或m=2. 当m=0或m=2时，z为纯虚数.,（3）当z对应的点位于复平面第二象限时, 解得m-3或1m2，故当m-3或1m2时，z对应 的点位于复平面的第二象限. （4）当z对应的点在直线x+y+3=0上时, 当m=0或m=-1 时，z对应的点在直线x+y+3=0上.,题型二 复数相等 已知集合M=(a+3)+(b2-1)i，8，集合 N=3i,(a2-1)+(b+2)i同时满足MNM，MN ，求整数a、b. 解 依题意得（a+3）+（b2-1）i=3i 或8=(a2-1)+(b+2)i 或a+3+(b2-1)i=a2-1+(b+2)i 由得a=-3,b=2, 经检验，a=-3,b=-2不合题意，舍去.,判断两集合元素的关系,列方程组,分别解方程组,检验结果是否符合条件,a=-3，b=2. 由得a=3,b=-2. 又a=-3,b=-2不合题意.a=3,b=-2. 由得 此方程组无整数解. 综合、得a=-3,b=2或a=3,b=-2. 两复数相等的充要条件是：实部与实部 相等，虚部与虚部相等.构建方程，解方程组体现 了方程的思想.本题中，复数与集合的知识相结合, 体现了题目的灵活性.,知能迁移2 已知复数z的共轭复数是 ，且满足 z+2iz=9+2i.求z. 解 设z=a+bi (a,bR)，则 =a-bi, z +2iz=9+2i， （a+bi）（a-bi）+2i（a+bi）=9+2i 即a2+b2-2b+2ai=9+2i 由得a=1代入得b2-2b-8=0 解得b=-2或b=4. z=1-2i或z=1+4i.,题型三 复数的代数运算 计算(1) 利用复数的运算法则及特殊复数的运 算性质求解.,解,（3）方法一,方法二 （技巧解法）,复数代数形式的运算是复数部分的重 点，其基本思路就是应用运算法则进行计算.复数 的加减运算类似于实数中的多项式的加减运算 （合并同类项），复数的乘除运算是复数运算的 难点，在乘法运算中要注意i的幂的性质，区分 (a+bi)2=a2+2abi-b2与(a+b)2=a2+2ab+b2;在除法运 算中，关键是“分母实数化”（分子、分母同乘以 分母的共轭复数），此时要注意区分(a+bi）(a- bi)=a2+b2与(a+b)(a-b)=a2-b2,防止实数中的相关 公式与复数运算混淆，造成计算失误.,知能迁移3 计算：,解,题型四 复数的几何意义 (12分)如图所示,平行四边形 OABC，顶点O，A，C分别表示0， 3+2i,-2+4i，试求： (1) 所表示的复数； (2)对角线 所表示的复数; (3)求B点对应的复数. 结合图形和已知点对应的复数，根据 加减法的几何意义，即可求解.,解,4分,8分,12分,根据复平面内的点、向量及向量对应 的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数, 只要找出所求向量的始点和终点,或者用向量相等 直接给出结论.,知能迁移4 设复数z的共轭复数为 ，且4z+2 =3 +i,=sin -icos ,复数z-对应复 平面内的向量为 求z的值和 的取值范围. 解 设z=a+bi (a,bR)，则 =a-bi, 由4z+2 =3 +i得 4(a+bi)+2(a-bi)=3 +i， 即6a+2bi=3 +i,根据复数相等的充要条件有,思想方法 感悟提高 方法与技巧 1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除 及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程. 2.在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的 三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往 和加法、减法相结合. 3.要记住一些常用的结果，如i、 的有关 性质等可简化运算步骤提高运算速度.,失误与防范 1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的， 还需考虑它的实部是否有意义. 2.对于复系数（系数不全为实数）的一元二次方 程的求解，判别式不再成立.因此解此类方程 的解，一般都是将实根代入方程，用复数相等 的条件进行求解. 3.两个虚数不能比较大小. 4.利用复数相等a+bi=c+di列方程时，注意a,b,c, dR的前提条件. 5.z20在复数范围内有可能成立，例如:当z=3i时 z2=-90.,一、选择题 1.（2009陕西理，2）已知z是纯虚数， 是实数，那么z等于( ) A.2i B.i C.-i D.-2i 解析 设z=bi(bR,b0),D,定时检测,2.复数 （i是虚数单位）的实部是( ) A. B. C. D. 解析,A,3.已知i为虚数单位，则复数 对应的点位 于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析,C,4.（2009辽宁理，2）已知复数z=1-2i,那么 ( ) A. B. C. D. 解析,D,5.在复平面内,若z=m2(1+i)-m(4+i)-6i所对应的点 在第二象限,则实数m的取值范围是 ( ) A.（0，3） B.（-，-2） C.（-2，0） D.（3，4） 解析 整理得z=（m2-4m）+(m2-m-6)i，对应 点在第二象限，则,D,6.已知a是实数， 是纯虚数，则a等于 ( ) A.1 B.-1 C. D.- 解析,A,二、填空题 7.已知z1=2+i,z2=1-3i,则复数 的虚部为 . 解析,-1,8.已知复数z1=-1+2i,z2=1-i，z3=3-2i，它们所对应的 点分别为A，B，C.若 则x+y的值 是 . 解析 得（3-2i）=x(-1+2i) +y(1-i)=(-x+y)+(2x-y)i，,5,9.（2009福建理，11）若 (i为虚 数单位，a,bR)，则a+b= . 解析 1+i=a+bi,a=1,b=1,a+b=2.,2,三、解答题 10.计算： =i+（-i）1 602 =i+i2=i-1=-1+i.,解,11.已知x,y为共轭复数，且（x+y）2-3xyi=4-6i， 求x,y. 解 设x=a+bi (a,bR)，则y=a-bi,