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1 高等数学（高等数学（B B） （1 1）作业答案）作业答案 高等数学（高等数学（B B） （1 1）作业）作业 1 1 初等数学知识 一、名词解释： 邻域设是两个实数，且，满足不等式的实数的和a0 axx 全体，称为点的邻域。a 绝对值数轴上表示数的点到原点之间的距离称为数的绝对值。记aa 为。a 区间数轴上的一段实数。分为开区间、闭区间、半开半闭区间、无穷 区间。 数轴规定了原点、正方向和长度单位的直线。 实数有理数和无理数统称为实数。 二、填空题 1绝对值的性质有、0abaab )0( b b a b a aaa 、。babababa 2开区间的表示有、。),(ba 3闭区间的表示有、。ba， 4无穷大的记号为。 5表示全体实数，或记为。)(，x 6表示小于的实数，或记为。)(b，bbx 7表示大于的实数，或记为。)(，aa xa 8去心邻域是指的全体。用数轴表示即为 9.MANZU )()(aaaa， 9满足不等式的数用区间可表示为。1 1 2 x x 2 1 1( ， 三、回答题 2 1答：（1）发展符号意识，实现从具体数学的运算到抽象符号运算的转 变。 （2）培养严密的思维能力，实现从具体描述到严格证明的转变。 （3）培养抽象思维能力，实现从具体数学到概念化数学的转变。 （4）树立发展变化意识，实现从常量数学到变量数学的转变。 2答：包括整数与分数。 3答：不对，可能有无理数。 4答：等价于。51 ( ， 5答：。) 2 3 2 1 ( ， 四、计算题 1解：。12 02 01 02 01 0)2)(1( xx x x x x xx或或 。), 2() 1 ,(解集为 2解： 05 01 05 01 0)5)(1(056 2 x x x x xxxx或 。15xx或)5 1，解集为（ 3解：为方程的解。520)5)(2(0103 21 2 xxxxxx， 函函 数（数（P3P3） 一、名词解释 函数设 x 与 y 是两个变量，若当 x 在可以取值的范围 D 内任意取一个 数值时，变量 y 通过某一法则 f,总有唯一确定的值与之对应，则称变量 y 是变 量 x 的函数。其中 D 叫做函数的定义域，f 称为对应法则，集合 G=y|y=f(x),x 叫做函数的值域。D 奇函数若函数的定义域关于原点对称，若对于任意的，恒)(xfy x 有 为奇函数。，则称函数)()(xfxf)(xfy 偶函数若函数的定义域关于原点对称，若对于任意的，恒)(xfy x 有 ，则称函数为偶函数。)()(xfxf)(xfy 定义域自变量的取值范围，记作。Dx 值域所有函数值组成的集合，记作 G=y|y=f(x),x。D 初等数学包括几何与代数，基本上是常量的数学。 三角函数：称 为三角函数。xyxyxyxyxyxycscseccottancossin， 3 指数函数称函数为指数函数。) 10(aaay x ， 复合函数设若的值域包含在的定，)()(xuufy)(xu)(ufy 义域中，则通过构成的函数，记作，称其为复合函数，称为yux)(xfyu 中间变量。 对数函数称函数为对数函数。) 10(logaaxy a ，且 反函数若函数的值域为，若，都有一个确定的且满)(xfy GGy 足的值与之对应。则由此得到一个定义在上的以为自变量、为)(xfy xGyx 因变量的新函数，称它为的反函数，记作。)(xfy )( 1 yfx 幂函数称函数（为实数）为幂函数。 xy 常函数称函数为常函数。)( 为常数ccy 常量在某一变化过程中，始终保持不变的量。 变量在某一变化过程中，可以取不同数值的量。 二、填空题 1函数概念最早是由莱布尼兹引进的。有了函数概念，人们就可以从数量 上描述运动。 2在历史上第一个给出函数一般定义的是狄里克雷，并给出了一个不能画 出图形的函数。这就是著名的狄里克雷函数，其表达式是。 是有理数， 是无理数， x x xf 1 0 )( 3函数的三种表示法：解析法、图像法、列表法。 4函数表达了因变量与自变量之间的一种对应规则。 5单值函数是当自变量在定义域中取定了一数值时，与之对应的函数值是 唯一的函数。 6奇函数的图像特点是关于原点对称，偶函数的图像特点是关于 y 轴对称。 7单调函数的图像特点是总是上升或总是下降。 8反函数的图像特点是关于直线 y=x 对称。 三、回答题 1答：设函数在集合上有定义，如果存在一个正数，对所)(xfy DM 有的，恒有，则称函数为有界函数。DxMxf)()(xfy 2答：（1）当一个函数在区间有界时，正数的取法)(xfy 内， )(baM 不是唯一的。 （2）有界性是依赖于区间的。 4 3答：，则称函数)()()( 212121 xfxfxxbaxx，则，且， 在区间单调增加。否则，称为单调减少。)(xfy 内， )(ba 4答：若函数在区间单调，其值域是，则函数)(xfy 内， )(ba)(dc， 存在反函数其定义域是，值域是。)(xfy ，)( 1 xfy )(dc，)(ba， 四、作图题 （1） 解：是抛物线。 2 xy （2） 解：是立方抛物线。 3 xy （3） 解：是正弦曲线。xysin （4） 解：是余弦曲线。xycos （5） 解：是正切曲线。xytan （6） 解：是半抛物线。 2 1 xy （7） 解：是自然对数函数。xyln （8） 解：是指数函数(a1)。 x y2 （9） 解：是对数函数(a1)。xy 2 log （10）解：是对数函数（a1)。 x ey 第（1）题图 第（2）题图 第（3）题图 第（4）题图 第（5）题图 第（6）题图 第（7）题图 第（8）题图 第（9）题图 5 第（10）题图 第（11）题图 第（12）题图 五、计算题 （1）解：。 4 ) 2 ( 2 22 ll rs （2）解：设长为，宽为，则，xy 10 20 10 6022 y x y yx 面积。 2 2001020cms （3）解：，所以定义域为。101xx)1( ， （4）解：， ， 5log)2( 2 f 4 5 log) 2 1 ( 2 f ) 12(log)( 22 2 bababaf 。) 1(log)( 4 2 2 xxf （5）解：由解得，交换和，得到的反函数 2 x x y y y x 1 2 xy 2 x x y ，由，故定义域为。 x x y 1 2 101xx)1 () 1(， （6）解：复合函数为3121) 11( 2 xxxy 六、讨论题 答：（1）复合函数是函数之间的一种运算； （2）并不是任何两个函数都能构成一个复合函数； （3）复合函数可以是由多个（大于两个）函数复合而成； （4）中，后者的值域正好是前者的定义域；)()(xuufy， （5）构成复合函数的各简单函数，除了最后一个外，都是基本初等函数。 极 限（P9） 一、名词解释 极 限一个数列或函数其变化趋势的终极状态。 无穷小量极限为零的变量或者常数 0。 连 续设函数在及其一个邻域内有定义，且等式)(xfy 0 xx 6 成立，则称函数在连续。)()(lim 0 0 xfxf xx )(xfy 0 xx 数列极限对数列来说，若时，则称数列的极 n xnaxn n x 限为记作。, aaxn n lim 函数极限设函数在的附近有定义，当时，)(xfy 0 xx 0 xx ，则称函数在时的极限为 A ，记作Axf)()(xfy 0 xx Axf xx )(lim 0 无穷大量若，则称为该极限过程下的无穷大量。)(limxf)(xf 二、填空题 1从极限产生的历史背景来看，极限概念产生于解决微积分的基本问题： 求面积，体积，弧长，瞬时速度以及曲线在一点的切线问题。 2极限概念描述的是变量在某一变化过程中的终极状态。 3在中国古代，极限概念已经产生，我国春秋战国时期的庄子天下篇 中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭” ，就是极限的朴素思想。 4公元 3 世纪，中国数学家刘徽的割圆术，就用圆内接正多边形周长去逼 近圆周长这一极限思想来近似地计算圆周率的。 5极限概念产生于求面积求切线两个实际问题。 三、回答题 1简述连续性概念。 答：设函数在及其一个邻域内有定义，且等式)(xfy 0 xx 成立，则称函数在连续。在（a,b）内)()(lim 0 0 xfxf xx )(xfy 0 xx )(xfy 连续是指函数在（a,b）内的每个点处均连续。)(xfy 2间断点分成几类？ 答： 限中至少有一个不存在第二类间断点：左右极 的左右极限均存在第一类间断点：在该点 间断点 3什么是单侧连续？ 答：设函数在及其右邻域内有定义，且等式)(xfy 0 xx 成立，则称函数在右连续。同理可定义左连续。)()(lim 0 0 0 xfxf xx )(xfy 0 xx 7 4什么是连续函数？ 答：若函数在（a,b）内的每个点处均连续，且在左端点处右连续，)(xfy 右端点处左连续，则称函数在a,b上连续。)(xfy 5简述复合函数的连续性定理。 答：设函数在点处连续，函数在点处连续，)(zfy 0 zz )(xz 0 xx 而，并设在点的某一邻域内有定义，则复合函数)( 00 xz)(xfy 0 xx 在点处连续。)(xfy 0 xx 四、论述题 极限思想的辩证意义是什么？ 答：极限概念描述的是变量在某一变化过程中的终极状态，是一个无限逼 近的过程，是一个客观上存在但又永远达不到的数。在解决实际问题时， “无限” 的过程标志着可以得到精确的答案，他是为解决实际问题的需要而产生的，反 过来又成为解决实际问题的有力工具。 五、计算题 （1）解： 3 4 1 3 2 4 lim 13 24 lim 2 2 2 2 n n n n nn （2）解： 4 1 4 1 2 2sin 1 lim 2sin 2 lim 00 x x x x xx （3）解：0 1 1 lim)1(lim nn nn nn （4）解： e e xx x x x x 1 ) 1 1(lim) 1 1 (lim 11 六、讨论 解： )(lim 0 xf x 1)1 (lim 0 x x )(lim 0 xf x 00lim 0 x ， 函数在 x=0 处极限不存在。 )(lim 0 xf x )(lim 0 xf x 8 高等数学（B） （1）作业 2 导导 数数 一、名词解释 导数设函数在及其邻域内有定义，)(xfy 0 xx 若存在，则称此极限值为函数在 x xfxxf x y xx )()( limlim 00 00 )(xfy 点处的导数值。记为，等。 0 xx 00 0) ( xxdx dy xx yxf ， 平均变化率称为平均变化率。 x xfxxf x y )()( 00 瞬时变化率称为瞬时变化率。 x xfxxf x y xx )()( limlim 00 00 导函数对于区间（a,b）内的每一点 x 都有导数值，这样由这些导数值 构成的函数称为的导函数。)(xfy 高阶导数二阶及二阶以上的导数。 驻点使得的点。0)( x f 极值设函数在及其邻域内有定义，且在的邻域内)(xfy 0 xx 0 xx 恒成立，则称为极大值点，称为极大值。同理可定义)()( 0 xfxf 0 xx )( 0 xf 极小值。极大值与极小值统称为函数的极值。 二、填空题 1导数的物理意义是瞬时速度。 2导数的几何意义是曲线在一点处切线的些率。 3导数的第三种解释是变化率。 4导数是一种特殊的极限，因而它遵循极限运算的法则。 5可导的函数是连续的，但是连续函数不一定可导。 三、回答题 1什么是费马定理？ 答：设函数在的某邻域内有定义，并且在处可导，)(xfy 0 xx )( 0 xu 0 x 如果对任意的，有（或） ，那么。)( 0 xux)()( 0 xfxf)()( 0 xfxf0)( 0 x f 2什么是罗尔定理？ 9 答：设函数在闭区间a,b上连续，在开区间（a,b）内可导，并)(xfy 且满足，那么至少存在一点，使得。)()(bfaf)(ba，0)(f 3什么是拉格朗日定理？它的辅助函数是怎样构成的? 答：设函数在闭区间a,b上连续，在开区间（a,b）内可导，那)(xfy 么至少存在一点，使得。)(ba，)()()(abfafbf 辅助函数为：。)( )()( )()(ax ab afbf xfx 4函数的性质有哪些？ 答：函数的性质有：有界性，奇偶性，周期性，单调性。 5导数的绝对值大小告诉我们什么？它反映在函数曲线上情况又怎样？ 答：导数绝对值大小反映曲线的陡峭程度，导数的绝对值越大，则曲线越 陡峭，否则，曲线越平缓。 6什么是极大值（或极小值）? 答：设函数在及其邻域内有定义，且在的邻域内)(xfy 0 xx 0 xx 恒成立，则称为极大值点，称为极大值。)()( 0 xfxf 0 xx )( 0 xf 设函数在及其邻域内有定义，且在的邻域内)(xfy 0 xx 0 xx 恒成立，则称为极小值点，称为极小值。)()( 0 xfxf 0 xx )( 0 xf 7请举例说明费马定理只给出了极值的必要条件而不是充分条件。 答：例如：直线 y=c(c 为常数)，在任意一点都满足费马定理的条件，且导 数值都是 0，但是在任意一点处都不是极值点。 8最大值与极大值是一回事吗？ 答：不是一回事。连续函数在某个闭区间上可能有多个极大值和极小值， 但是最大值和最小值却各有一个。 9求最大值或最小值通常要经过哪几个步骤？ 答：（1）找出驻点和那些连续但不可导的点来，并计算出这些点的函数值； （2）计算出比区间端点处的函数值； （3）将以上个函数值进行比较，可得到最大值与最小值。 （4）如果是应用问题，则需先分析题意，设变量，列出函数关系，在求出 唯一驻点，它就是答案。 四、计算题 1解：6)6(lim 3)3( lim )3()3( limlim 0 22 000 x x x x fxf x y xxxx 2解：。 xx xy 2 14 4 2 3 10 3解：xxxxycossin2 2 4解： nx y ln 1 5解： 332233 sin)cos(cos33)sin)(cos(cosxxxxxxy 6解： xx x ytan)sin( cos 1 7解：当时，0x x xy 1 )(ln 当时， 综上所述，0x xx xy 11 )ln( x x 1 )(ln 8解： 3 1 3 2 ) 3 2 ln() 3 2 ( xey xx 9解： 2 1 2 x x y 22 2 22 2 )1 ( 22 )1 ( 22)1 (2 x x x xxx y 10解：) 2 1sin(cosxxy ) 2 2sin(sinxxy ) 2 3sin(cosxxy ) 2 sin( )( xny n 五、应用题 1解： 33 3 4 3 4 tVtRRV， ， 当时， ， 22 43 3 4 ttV10R10t400V 答：体积 V 增加的速率为 400cm/s. 2. 解：设一边长为 x,则另一边长为 1-x, 矩形面积 S=x(1-x)=, , 令，解得。 2 xx xS210S 2 1 x 答：从中间截断，可得到最大矩形的面积。 11 2解：设宽为米，则长为米，围墙长度为。x x 512 x xL 512 2 ，令， 2 2 2 5122512 2 x x x L 0L 即，解得x05122 2 x16x 舍掉，512/x16x 答：当宽为 16 米，长为 32 米时，才能使材料最省。 微 分（P17） 一、名词解释 微分设函数处xxfyxxfxxfy在点为函数处可导，则称在点)()()( 的微分，记作xxfdydy)(，即 函数的一阶微分形式的不变性无论是自变量也好，还是中间变量也u 好， 总是成立的。duufdy) ( 微分的线性化 由知，其中)(lim 0 0 xf x y x )()( 0 高阶的无穷小是比 xxxfy 为线性主部，也就是微分。xxf)( 0 二、填空题 1微分有双重意义，一是表示微小的量，二是表示一种与求导密切相关的 运算。 2微分学包括两个系统：概念系统与算法系统。 3导数是逐点定义的，它研究的是函数在一点附近的性质。 4微分中值定理建立了函数的局部性质和整体性质的联系，建立了微积分 理论联系实际的桥梁。 三、回答题 1微分学基本问题是什么？ 答：求非均匀变化量的变化率问题。 2微分学的基本运算是什么？ 答：求导运算和求微分的运算。 3微分的线性化有什么应用？ 答：可进行近似计算等。 四、计算题 1（1）解：dx x dy xx x y 334 11 4 40 ， 12 （2）解：dx x dy xx y xxx xx 4 4ln1 4 4ln1 4 4ln44 2 ， （3）解：xdxdyxxxy2sin2sincossin2， （4）解：， xxxycossindxxxxdy)cos(sin 2解：cm)804.38( 3 4 33 V 3解：设03 . 0 1)( 0 3 xxxxf，取 则，xxfxfxxf)()()( 000 01 . 1 01 . 0 103 . 0 13 1 1) 1 () 1 (03 . 1 3 2 33 x xxff 五、证明题 证明：令，xxxexf x ，取0)( 0 则，xx x eexffxfxfxfe xx 1 0 )0()0()0()()( 0 ，证毕。xe x 1 13 高等数学（高等数学（B B） （1 1）作业）作业 3 3 不定积分不定积分 一、名词解释 原函数如果函数定义在同一区间，并且处处有：)()(xFxf与)(ba， ，则称是的一个原函数。dxxfxdFxfxF)()()()(或)(xF)(xf 不定积分若是的一个原函数，则称为的不定)(xF)(xfCxF)()(xf 积分。记作.CxFdxxf )()( 不定积分几何意义表示形状完全一样只是位置不同的一族曲线。 二、填空题 1在数学中必须考虑的运算有两类：正运算与逆运算。 2对应于加法运算的逆运算是减法，对应于乘法运算的逆运算是除法，对 应于正整数次乘方运算的逆运算是开方，对应于微分运算的逆运算是积分。 3关于逆运算我们至少有两条经验：一是逆运算一般说比正运算困难，二 是逆运算常常引出新结果。如减法引出负数，除法引出有理数，正数开方引出 无理数，负数开方引出虚数。 三、回答题 1什么叫函数 f(x)在区间（a,b）的原函数？有多少个？它们彼此之间有 什么关系？ 答：若，则称是的一个原函数，有无穷多个，彼此)()(xfxF)(xF)(xf 之间相差一个常数。 2什么叫函数 f(x)在区间（a,b）的不定积分？ 答：函数 f(x)的原函数的全体，称为函数 f(x)的不定积分。 3两个函数的不定积分相等是什么意思？ 答：这两个函数相等。 4说明数学运算中存在的正运算与逆运算。 答：减法是加法的逆运算；除法是乘法的逆运算；开方是乘方的逆运算； 不定积分是微分的逆运算；等等。 5说明原函数和不定积分的关系。 答：原函数的全体就是不定积分。 四、计算题 1求下列函数的原函数 （1）解：因为， 所以该函数的原函数为 Cxdx55Cxxf 5)( 14 （2）解： CxxfCxxdx 22 )(2该函数的原函数为， （3）解：， Cexdedxe xxx222 2)2( 2 1 44 Cexf x 2 2)(该函数的原函数为 （4）解： Cxxdxxdxx 3 4 1 3 1 3 1 3 2 9 1 3 1 1 666 Cxxf 3 4 2 9 )(该函数的原函数为 （5）解：， CxCxdxx 6155 6 1 66 Cxxf 6 )(该函数的原函数为 （6）解： CxxfCxdx2)(22该函数的原函数为， （7）解： CxxfCxdx x )( 2 1 该函数的原函数为， （8）解： CxxfCxxdxcos)(cossin该函数的原函数为， （9）解： CxxfCxdxx 556 5 1 )( 5 1 该函数的原函数为， （10）解： CfCd 443 4 1 )( 4 1 该函数的原函数为， 2求下列各不定积分 （1）解：Cxdxx 54 5 1 （2）解： CxCxdxxdxxx 2 5 1 2 3 2 3 5 2 1 2 3 1 （3）解：Cxdx x x x 4ln 4 ln)4 1 ( （4）解： Cxxdxxxdxtan) 1(sectan 22 （5）解：Cedxe xx 15 （6）解： Cxxd x dx x 1ln) 1( 1 1 1 1 （7）解： Cxxxddxxx 2 sin 2 1 sinsincossin （8）解 )1 ( 1 1 2 1 arctan 1 1 arctanarctan 2 22 xd x xxdx x xxxxdx =Cxxx)1ln( 2 1 arctan 2 16 定定 积积 分（分（P26） 一、名词解释 定积分设函数在区间内插入上连续，在区间)(baxfy ba， 个分点：，把区间分成个小区间1nbxxxxxa nn 1210 ba，n ，其长度为，其中0，1，2，3，在每个小 1ii xx， iii xxx 1 i1-n 区间上任取一点：，并作乘积，再求出部分和 1ii xx， i 1 iii xx ii xf)( ，令，若（为常数） ，则称为函数 1 0 )( n i iin xfSmax 10 i ni x SSn 0 lim SS 的定积分，记作上，在区间)(baxfy b a n i ii xfdxxf 1 0 0 )(lim)( 定积分几何意义若函数，则定积分表示由曲线0)(xfy b a dxxf)( 、直线轴所围的曲边梯形的面积。)(xfy xbxax以及、 定积分中值定理设函数 则在上连续，在区间)(baxfy ，使得。上至少存在一点， ba b a baabfdxxf)()(，其中 微积分基本定理设函数则上连续，在区间)(baxfy b a dxxf)( =，这里)()()(aFbF a b xF)()(xfxF 牛顿莱布尼兹公式即微积分基本定理中的公式。 二、填空题 1定积分是对连续变化过程总效果的度量，求曲边形区域的面积是定积分 概念的最直接的起源。 2积分学的基本问题是非均匀变化量的求积问题。它的数学模型是 ，它的物理原形是求变速运动的路程，它的几何原形是求曲边 1 0 0 )(lim n i ii xf 梯形的面积。 3微分学的基本问题是求非均匀变化量的变化率问题，它的数学模型是 ，它的物理原形是求瞬时速度，它的几何原形是求切线斜率，它的基本 x y x 0 lim 运算是求导运算和求微分的运算。 17 4微分学研究的是函数的局部性态，无论是微分概念，还是微商概念，都 是逐点给出的。数学家研究函数的局部性质，其目的在于以局部定整体。 5积分学包括不定积分和定积分两大部分，不定积分的目的是提供积分方 法。 三、回答题 1定积分有哪些应用？ 答：物理学应用，几何学应用等。例如，路程问题，曲边梯形面积问题等。 2定积分的性质有哪些？ 答：由以下 9 条： （1）； b a b a b a dxxgdxxfdxxgxf)()()()( （2）； b a b a dxxfkdxxkf)()( （3）； b a a b dxxfdxxf)()( （4）； a a dxxf0)( （5）； b a c a b c dxxfdxxfdxxf)()()( （6）； b a abdx （7）若在； b a b a dxxgdxxfxgxfba)()()()(，则上， （8）设,上的最大值和最小值，在分别是函数，)(baxfymM 则：； b a abMdxxfabm)()()( （9）设函数 则在，上连续，在区间)(baxfy 上至少存在一点， ba 使得。 b a baabfdxxf)()(，其中 3简述积分区间上限为变量时定积分定理。 答：设函数则上上有定义且连续，在闭区间)(batfy x a badttf)(，在 可导，且。 x a xfdttf)()( 4建立定积分步骤有哪些？ 18 答：分为 4 步： （1）分割；（2）作积；（3）作和；（4）取极限 ii xf)( 1 0 )( n i ii xf ， 1 0 0 )(lim n i ii xf 其中。max 10 i ni x 四、计算题 1利用定积分性质，比较下列积分值大小。 （1）解：， 32 10xxx时，当 1 0 1 0 32 dxxdxx （2）解：， 23 21 xxx时，当 2 1 2 1 23 dxxdxx （3）解：， xxx 2 lnln21 时，当 2 1 2 1 2 lnlnxdxxdx 2求函数的平均值。上，在区间41 332 2 xxy 解：平均值 A=. 4 1 232 2 49 1 4 )3 2 3 3 2 ( 3 1 )332( 14 1 xxxdxxx 3设 4 sin 0 xdx dy tdty x ，求 解：， 。xdtt dx dy x sin)sin( 0 2 2 4 sin 4 x x xdx dy 4设，求。 2 1 1 1 x dx A y dx dy 解：=。 dx dy A x dx A x 1 2 ) 1 1 ( 2 1 5计算下列定积分 （1） 解：20 1 3 4 1 4 3 1 3 xdxx （2） 解： 4 1 2 3 2 3 2 3 3 14 )14( 3 2 1 4 3 2 xdxx （3） 解：2)1(1 2 cossin 2 xxdx 19 （4） 解： 0 1 0 1 10 1 1 )( 1 0 )( e eeexdedxe xxx （5） 解： 2 1 3 dx x x 2 1 3 33 dx x x 2 1 ) 3 3 1 (dx x 12ln3)2ln1(ln31 1 2 3ln3 1 2 xx （6） 解： 4 1 4 1 4 1 4 1 2 32 1 6 1 32 1 6 1 ) 32 1 32 1 ( 6 1 94 1 dt t dt t dt tt dt t 11ln 12 1 5ln 6 1 5 11 ln 12 1 5ln 12 1 1 4 32ln 12 1 1 4 32ln 12 1 tt 6解：如下图, 体积 V= 4 0 4 0 22 32 0 4 2 1 44)(axaaxdxdxxf 第 6 题图 第 7 题图 第 8 题图 第 9 题图 7解：如上图， 体积 3 2 0 2 ) 12 1 2 1 () 4 1 () 2 1 ( 2 0 2 0 32 2 2 xxxdx x xdx x V 8解：如上图， ， 9 3 1 132 2 2 1 1 2 y x y x xy xy 或 面积 3 1 322 3 32 1 3 ) 3 1 3()32(xxxdxxxS 9解：如上图，面积 4 2 24 2 4 eeedxeS xx 20 高等数学（高等数学（B B） （1 1）作业）作业 4 4 微积分简史微积分简史 注意：以下六题自己从书中相应位置的内容去概括，要抓住重点，言简意 赅，写满所留的空地。 1论述微分学的早期史。 答：见书 P216217 2简述费马对微分学的贡献。 答：见书 P217218 3简述巴罗对微分学的贡献。 答：见书 P218220 4论述积分学的早期史。 答：见书 P206210 5论述微积分对人类历史的贡献。 答：见书“一、前言一、前言”一开始的部分（前两段） 。 6牛顿和莱布尼兹对微积分的发现做出了什么贡献？ 答：见书 P222225。 微分方程(P33) 一、回答题 1微分方程的定义。 答：含有未知函数的导数或微分的方程。 2何为微分方程的通解、特解、初始条件？ 答：满足微分方程的所有函数，叫做微分方程的通解；满足微分方程的一 个解或者部分解，称为微分方程的特解。微分方程最初所满足的条件，叫做初 始条件。 3何为变量可分离的微分方程？ 答：把形如的微分方程，称为微分方程。)()(ygxf dx dy 4微分方程与建模有和关系。 答：抛弃具体意义，只关心微分方程的形状，研究如何解方程，等这些工 作做熟练了，反过来又可以用它解决实际问题。 5建模思想和步骤是什么？ 答：建模思想就是将各种各样的实际问题化为数学问题，通过建立数学模 型，最终使实际问题得到解决。 21 步骤：（1）明确实际问题，并熟悉问题的背景； （2）形成数学模型； （3）求解数学问题； （4）研究算法，并尽量使用计算机； （5）回到实际中去，解释结果。 二、计算题 1求下列微分方程的解。 （1）解：，代入初始条件得， Cxxdxxy3)32( 2 1C 满足初始条件的特解为13 2 xxy （2）解： CxCxdxxdxxy 2 3 1 2 1 2 1 3 8 1 2 1 1 444 代入初始条件得， 满足初始条件的特解为 3 8 C 3 8 3 8 2 3 xy （3）解：，代入初始条件得， Cexdedxey xxx333 2)3( 3 6 62C 满足初始条件的特解为22 3 x ey 2解：由题意：， 2 1 1 3 2 2 x y x xy C x xdx x xy 1 ) 1 3( 3 2 2 代入初始条件得，4C4 1 )( 3 x xxf 3解：由题意：， 100000 1000 2 . 0200 x y xy Cxxdxxy 2 1 . 0200)2 . 0200( 代入初始条件得，所求的函数关系是0C 2 200xxy 4解：由题意：，分离变量： 21600 0 0 0 R t R R t R kR dt dR kdt R dR 22 两边积分： ， kdt R dR CktRlnln kt CeR 代入初始条件得：，这时：， 0 0 R t R 0 RC kt eRR 0 代入初始条件得： 21600 0 R t R k eR R 1600 0 0 2 2 1 1600 k e ，代入得2ln1600k 1600 2ln k kt eRR 0 ，化简得：， t eRR 1600 2ln 0 1600 02 t RR 所以镭的量 R 与时间 t 的函数关系为 1600 02 t RR 23 高等数学（高等数学（B B） （1 1）综合练习）综合练习 一、名词解释 1函数设 x 与 y 是两个变量，若当 x 在可以取值的范围 D 内任意取一 个数值时，变量 y 通过某一法则 f,总有唯一确定的值与之对应，则称变量 y 是 变量 x 的函数。其中 D 叫做函数的定义域，f 称为对应法则，集合 G=y|y=f(x), x叫做函数的值域。D 2. 奇函数若函数的定义域关于原点对称，若对于任意的，)(xfy x 恒有为奇函数。，则称函数)()(xfxf)(xfy 3连续设函数在及其一个邻域内有定义，且等式)(xfy 0 xx 成立，则称函数在连续。在（a,b）内)()(lim 0 0 xfxf xx )(xfy 0 xx )(xfy 连续是指函数在（a,b）内的每个点处均连续。)(xfy 4定积分设函数在区间内插入上连续，在区间)(baxfy ba， 个分点：，把区间分成个小区间1nbxxxxxa nn 1210 ba，n ，其长度为，其中0，1，2，3，在每个小 1ii xx， iii xxx 1 i1-n 区间上任取一点：，并作乘积，再求出部分和 1ii xx， i 1 iii xx ii xf)( ，令，若（为常数） ，则称为函数 1 0 )( n i iin xfSmax 10 i ni x SSn 0 lim SS 的定积分，记作上，在区间)(ba