D2-4二维随机变量及其概率分布.ppt

,第二章,第四节,二维随机变量及其概率分布,一、二维随机变量的概念,二、二维离散型随机变量,三、二维连续型随机变量,本节中只讨论二维随机变量的概念及性质，至于更高维随机变量的研究方法及结果与二维随机变量完全类似，可直接由二维随机变量推广而来。,在实际问题中，有许多随机试验仅用一个随机变量来描述是不够的，需要用多个随机变量来描述。,一、二维随机变量的概念,定义2.4.1 设随机试验 的样本空间为 ，而 是定义在 上的两个随机变量，则二维向量 称为二维随机向量或二维随机变量。,定义2.4.2 设 是二维随机变量，对任意实数 ，称二元函数,为 的联合分布函数。,联合分布函数的几何意义表示随机点 落在以点 为顶点的左下方无穷矩形域内的概率.,由联合分布函数的几何意义很容易得出随机点,落在一个矩形区域 内的概率。,定理2.4.1 二维随机变量 的联合分布函数 的性质:,（1） 关于 均是非减函数；,(2),（3） 关于 均是右连续函数；,（4）对任意 ， 均有,注意到，二维随机变量 的分量 与 分别是一维随机变量，通过 的联合分布函数 可以求出 与 各自的分布函数 与 。,同理:,称 与 分别为二维随机变量 关于 ,关于 的边缘分布函数.,二、二维离散型随机变量,称 是二维离散型随机变量。,若二维随机变量 的全部可能取值只有有,限多对或可列无穷多对 ，则,称 为二,维离散型随机变量 的联合分布律。,显然联合分布律有如下性质,(1),(2),的联合分布律通常用以下表格给出：,的联合分布函数 可由上面的联合分布律求出：,其中 是对一切满足 ， 的 求和.,由 的联合分布律还可求出 与 各自的分布律.,记:,分别称为 关于 ，关于 的边缘分布律。,在联合分布律的表格中，将每行与每列相加即可得到边缘分布律。,例1：一整数 等可能地在1,2,3, ,10十个值中取一,个值，设 是能整除 的正整数的个数，,是能整除 的素数的个数，试求 与 的,联合分布律。,解：,经逐个验算可得10个整数的 与 的值如下,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,1 2 2 3 2 4 2 4 3 4,0 1 1 1 1 2 1 1 1 2,于是有：,1 2 3 4,例2：设 的联合分布律如下表，试求,关于 及 的边缘分布律。,0 1 4,三、二维连续型随机变量,对任意实数 都有,定义2.4.1 设 为二维随机变量 的联,合分布函数，若存在一个非负二元函数 ，使,联合概率密度函数。,则称 为二维连续型随机变量，并称 为,联合概率密度函数 具有以下性质：,(3)若 在点 连续,则,；,性质(4)说明在几何上， 落在某平面区域,中的概率，在数值上就是 在区域 内的二重,积分。,的联合概率密度函数 与 、 各自,的概率密度函数 、 之间的关系，,由,及,得:,同理可得：,称 为 关于 的边缘概率密度函数；,称 为 关于 的边缘概率密度函数。,例3：设 的联合概率密度函数为,3、求 的联合分布函数.,解:,1.,2.,当 或 时,，,当 时,；,3