高中数学第二章双曲线课后提升作业（十四）双曲线方程及性质的应用检测（含解析）.docx

课后提升作业 十四双曲线方程及性质的应用(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.若ab0,则ax-y+b=0和bx2+ay2=ab所表示的曲线只可能是下图中的()【解析】选C.方程可化为y=ax+b和+=1.从B,D中的两椭圆看a,b(0,+),但B中直线有a0,b0矛盾,应排除;D中直线有a0矛盾,应排除;再看A中双曲线的a0,但直线有a0,b0,也矛盾,应排除;C中双曲线的a0,b0,b0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线,若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.【解析】选B.如图,不妨设F为右焦点,向渐近线y=x所作垂线的垂足为P,则由题意知|PO|=|PF|,所以POF=45,即=1,所以双曲线的离心率e=.4.(2016唐山高二检测)已知双曲线-=1(b0)的左、右焦点分别为F1,F2,其中一条渐近线方程为y=x,点P(,y0)在该双曲线上,则=()A.-12B.-2C.0D.4【解析】选C.由已知得,b2=2,c=2,点P为(,1),左、右焦点坐标分别为(-2,0),(2,0),结合向量的乘法,易知选C.5.设双曲线-=1(a0,b0)的渐近线与函数y=x2+1的图象相切,则该双曲线的离心率等于()A.B.2C.D.【解析】选C.由双曲线-=1,得双曲线的渐近线方程为y=x,与y=x2+1联立,得x2x+1=0.所以=-4=0,则b2=4a2.又c2=a2+b2,所以c2=5a2,则e=.6.已知曲线-=1与直线x+y-1=0相交于P,Q两点,且=0(O为原点),则-的值为()A.1B.2C.3D.【解析】选B.将y=1-x代入-=1,得(b-a)x2+2ax-(a+ab)=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.因为=x1x2+y1y2=x1x2+(1-x1)(1-x2)=2x1x2-(x1+x2)+1,所以-+1=0,即2a+2ab-2a+a-b=0,即b-a=2ab,所以-=2.7.(2015天津高考)已知双曲线-=1(a0,b0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆+y2=3相切,则双曲线的方程为()A.-=1B.-=1C.-y2=1D.x2-=1【解析】选D.由双曲线的渐近线bx-ay=0与圆(x-2)2+y2=3相切可知=,又因为c=2,所以有a=1,b=,故双曲线的方程为x2-=1.8.斜率为2的直线l与双曲线-=1交于A,B两点,且|AB|=4,则直线l为()A.y=2x+B.y=2x-C.y=2xD.以上都不对【解析】选C.设直线l的方程为y=2x+m,代入双曲线方程中得:10x2+12mx+3m2+6=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.因为|AB|=4,所以=4,解得m=,所以直线l的方程为y=2x.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2016广州高二检测)过点P(-3,0)的直线l与双曲线-=1交于点A,B,设直线l的斜率为k1(k10),弦AB的中点为M,OM的斜率为k2(O为坐标原点),则k1k2=_.【解析】显然直线l的斜率存在.设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),所以-=1,-=1.两式相减得-=0,即k1=.因为M,所以k2=,所以k1k2=.答案:10. (2016北京高考)双曲线=1(a0,b0) 的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a= .【解析】因为正方形OABC的边长为2，所以B(2,0)，渐近线为y=x.所以c=2,a=b.又因为a2+b2=c2，所以a=b=2.答案：2【补偿训练】过双曲线-=1的右焦点的直线被双曲线所截得的弦长为,这样的直线的条数为()A.4B.3C.2D.1【解析】选D.依题意可得右焦点F(5,0),所以垂直x轴,过F的直线是x=5.代入-=1,求得y=,所以此时弦长=+=.不是垂直x轴的,如果直线与双曲线有两个交点,则弦长一定比它长,所以这里只有一条,因为两个顶点距离=4,即左右两支上的点最短是4,所以如果是交于两支的话,弦长不可能为,所以只有1条.三、解答题(每小题10分,共20分)11.焦点在x轴上的双曲线过点P(4,-3),且点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,求此双曲线的标准方程.【解析】因为双曲线焦点在x轴上,所以设双曲线的标准方程为-=1(a0,b0),F1(-c,0),F2(c,0).因为双曲线过点P(4,-3),所以-=1.又因为点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,所以=0,即-c2+25=0.所以c2=25.又c2=a2+b2,所以可得a2=16或a2=50(舍去).所以b2=9,所以所求的双曲线的标准方程是-=1.12.(2016黄石高二检测)已知双曲线3x2-y2=3,直线l过右焦点F2,且倾斜角为45,与双曲线交于A,B两点,试问A,B两点是否位于双曲线的同一支上?并求弦AB的长.【解题指南】联立方程后根据两根的符号确定两个交点的位置.【解析】因为a=1,b=,c=2,又直线l过点F2(2,0),且斜率k=tan 45=1,所以l的方程为y=x-2,由消去y并整理得2x2+4x-7=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),因为x1x2=-0)与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A,B.(1)求双曲线C的离心率e的取值范围.(2)若设直线l与y轴的交点为P,且=,求a的值.【解析】(1)由双曲线C与直线l相交于两个不同的点得有两个不同的解,消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0,所以解得-a0,所以0a且a1.因为双曲线的离心率e=,又因为0a且e.所以双曲线C的离心率e的取值范围是(,+).(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)