控制工程基础第二章——数学模型.ppt

现代教育学家认为：在教学过程中，占中心地位的应该是“学”而不是教，主张在教师指导下，由学生自己去“发现”规律、自己去“研究”问题。教师的主要任务在于启发而不在于讲解，教方法、教思路比一般地教知识、教内容更重要。学生的主要任务在于思考，而不是单纯的记忆，强调理解比单纯记忆更重要。 可以预言，未来的“文盲”将不再是目不识丁的人，而是一些没有学会学习方法、不会自己钻研问题和没有预见能力、分析能力的人。,控制工程基础,学习是基础，思考是关键，实践是根本。,武汉理工大学机电工程学院 黄安贻 ,控制工程基础数学模型,数学模型：描述系统动态特性的数学表达式，称为系统的数学模型，它揭示了系统结构及其参数与系统性能之间的内在关系。 作用：数学模型是设计和分析控制系统的依据。显然，建立正确、合理的系统的数学模型是关键性的步骤。 数学模型可分为两大类：外部模型和内部模型。 外部模型也称为输入输出模型。 它着眼于系统激励与响应的关系，并不涉及系统内部变量的情况。因而，这种方法对于单输入、单输出系统较为方便。一般而言，描述线性时不变系统的输入输出关系，对连续系统是用常系数线性微分方程来描述，对离散系统是用常系数线性差分方程来描述。 内部模型也称为状态变量描述法。 它不仅可以给出系统的响应，还可提供系统内部各变量的情况，特别适用于多输入、多输出系统。用这种方法建立的数学式为一阶微分方程组形式，便于计算机求解。状态变量分析法还适用于时变系统和非线性系统，已成为系统理论与现代控制工程的基础。 建模基本方法：解析法和实验法。,数学模型的形式,微分方程（组）,传递函数（阵）,频率特性,L变换,L反变换,s=j,时间响应,变量状态图,方框图， 信号流图,Nyquist图， Bode图等,现代控制理论,2.1系统运动微分方程的建立,（1）明确输入、输出；分析信号传递、变换过程； （2）从输入端开始，按信息传递、变换过程列写各变量之间的数学关系式；注意：因果关系和负载效应； （3）如有必要，对非线性表达式进行线性化处理； （4）消去中间变量，得到输出输入关系式； （5）整理成规范形式。,二 步骤：,一 依据：,反映系统内在运动规律的物理学定律和各专业理论, 举例1：机械平移动力学系统,在输入fi(t)力的作用下，质量块m将有加速度，从而产生速度和位移。质量块的速度、位移使阻尼器和弹簧产生粘性阻尼力fc(t)和弹性力fk(t)。这两个力反作用于质量块，影响输入fi(t) 的作用效果，从而使质量块的速度和位移发生变化，产生动态过程。,弹簧和质量在静止平衡时的那一点为系统的平衡工作点。这样的坐标系原点选择消除了重力的影响。,设系统的输入量为外作用力fi(t)，输出量为质量块的位移xo(t)，现研究外力fi(t)与位移xo(t)之间的关系。,三 举例, 机械平移动力学系统的模型,方块图描述了系统中信号转换、传递的过程，给出了系统的工作原理。,系统的数学模型可用方块图表示：,根据牛顿第二定律，应有,由阻尼器、弹簧的特性，可写出,消去中间变量，写成规范形式,此式为二阶常系数线性微分方程。, 举例2：电网络系统,设输入端电压ui(t)为系统输入量。电容器c两端电压uo(t)为系统输出量。现研究输入电压ui(t)和输出电压 uo(t)之间的关系。电路中的电流i(t)为中间变量。 根据电压方程，可写出 消去中间变量i(t)，稍加整理，即得 上式为二阶常系数线性微分方程。该系统也可用方块图表示。, 小结：, 物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型。这样的系统称为相似系统。在相似系统的方程中，处于相同位置的物理量称为相似量。从动态性能来看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似，若方程系数等值则响应完全一样。这样就可以用电系统来模拟其它系统，进行实验研究。这就是控制理论中的功能模拟方法的基础。 同一数学模型可以描述物理性质完全不同的系统。因此，从控制理论来说，可抛开系统的物理属性，用同一方法进行普遍意义的分析研究，这就是信息方法，从信息在系统中传递、转换的方面来研究系统的功能。,四 小结, 小结：, 在通常情况下，元件或系统的微分方程的阶次，等于元件或系统中所包含的独立储能元的个数。惯性质量、弹性要素、电感和电容都是储能元件。每当系统中增加一个储能元时，其内部就增多一层能量交换，即增多一层信息的交换，描述系统的微分方程将增高一阶。 描述系统运动的微分方程的系数都是系统的结构参数及其组合，这就说明系统的动态特性是系统的固有特性，取决于系统结构及其参数。,五 系统运动微分方程的一般形式,特征方程的根称为特征根，他们是系统系数的组合。N阶系统有n个特征根。特征根只能是0、实数、复数（必共扼成对出现）。系统特征根决定了系统的性能! 注意：根据运动微分方程可以判断系统的类型。,设y(t)为系统输出，r(t)为系统输入，则有,是由系统结构和,参数决定的常数。齐次方程为,特征方程为,六 建立动态方程时应注意的问题, 变量形式的选取问题 系统在某一平衡点工作，变量偏离平衡点的偏离量很小，一般只研究系统在平衡点附近的动态特性。因此，总是选择平衡工作点作为坐标系原点，变量采用增量形式。其优点是系统的初始条件为零，便于求解方程，便于非线性方程进行线性化处理。 负载效应问题 由于后一环节的存在，前一环节的输出受到影响，有如加上了一个负载对前一环节产生影响，这种影响称为负载效应。例如，无源网络输入阻抗对前级的影响，齿轮系对电机转动惯量的影响等。,实际物理元件和系统都是非线性的。非线性特性分为本质非线性和非本质非线性。如继电器特性、死区、不灵敏区、滞环、传动间隙等都是本质非线性。在一定条件下，为了简化数学模型，可以忽略它们的影响，将它们视为线性元件。 对于具有连续变化的非线性特性，可以采用切线法或小偏差法进行线性化处理。所谓线性化就是在一定范围内，用线性方程代替非线性方程的近似处理过程。从几何上看，所谓线性化就是用直线代替曲线。数学处理方法就是将曲线方程在平衡点处取泰勒级数一次近似式。,非线性模型的线性化问题,线性系统的叠加原理 (Principle of Superposition),线性系统的线性性质：均匀性、叠加性 用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。如果方程的系数为常数，则称为线性定常系统；如果方程的系数不是常数，而是时间的函数，则称为线性时变系统。线性系统的重要性质是可以应用叠加原理。叠加原理有两重含义：均匀性（齐次性）和可叠加性。这个原理是说，多个输入同时作用于线性系统的总响应，等于各个输入单独作用时分别产生的响应之和，且输入增大若干倍时，其输出亦增大同样的倍数。系统对输入信号的微分和积分的响应等于系统对输入信号的响应的微分和积分。,2.2 拉普拉斯变换 (Laplace Transformation),建立描述系统动态性能的运动微分方程之后，给定输入，解这个方程，得到它的全解，即可知道系统的输出响应，从而知道系统在给定输入作用下的运动规律，即性能。问题在于，用一般微分方程理论求解高阶微分方程是相当困难的。人类的思路就是变换研究领域，借助其他方法。拉普拉斯变换是一种数学工具，它可将时域中的微积分运算转化为复数域中的代数运算。,一 拉氏变换的定义,拉氏变换的实质,时间函数,复变量s的复变函数,拉氏变换的定义,二 典型函数的拉氏变换,指数函数,工程中极其重要的函数！有如下性质,指数函数的拉氏变换,拉氏变换是线性变换,它的微分、积分与其自身成比例,阶跃函数, 斜坡函数和加速度函数,斜坡函数阶跃函数的积分！,加速度函数 （速度函数 的积分）,复数域中为乘1/s，或说除以s,时域中的积分运算, 欧拉公式和谐波函数的拉氏变换,谐波函数 的 拉氏变换,欧拉 公式,三 拉氏变换性质定理,注意： 时，函数,线性定理,微分定理和积分定理（在所有初始条件均为零时）,延迟定理,平移函数、延迟函数,对于函数,函数,称为延迟函数，函数本身并不发生改变，只是延迟时间才发生。,延迟定理,若,则有,例：求脉动函数和脉冲函数的拉氏变换, 脉动函数,它是正负阶跃函数的叠加：,脉动函数的拉氏变换：, 脉冲函数及其拉氏变换, 脉冲函数： 脉动函数的极限，t0看作变量。,定义：,显然,单位脉冲（Dirac） 面积为1的脉冲函数,结论：脉冲函数是面积函数； 脉冲函数的拉氏变换就是脉冲下的面积。 换言之，复数域中的实数在时域里是脉冲函数。, 关于单位脉冲函数的说明,单位脉冲函数是人为定义的广义函数，是一种数学分析工具；它的引入解决了不连续函数间断点处求导数的问题。单位脉冲函数就是单位阶跃函数在不连续点（t=0）处的导数！,单位脉冲函数定义为：,单位脉冲函数是面积函数，它的面积为1；,采样性质：,三 拉氏变换性质定理,位移定理,设,则有,的拉氏变换，有以（s+）去替换s的效果。,可按拉氏变换定义证明之。,举例,如,则,三 拉氏变换性质定理,初值定理表明时间函数在原点的性质与sF（s）在复数域无穷远处的性质一致；终值定理则表明，时间函数在时间无穷远点的性质与sF（s）在复数域原点处的性质一致。即建立了时间函数在无穷远点（原点）与复变函数sX（s）在坐标原点（无穷远点）的值之间的关系。,初值定理 和终值定理,若,存在，且有,则有,终值定理 的证明,出发点：微分定理、拉氏变换定义,有终值定理,应用：稳态误差计算,三 拉氏变换性质定理,关于卷积的说明： 卷积h(t)是时间函数f()与时间倒置函数g(t-)相乘后求积分得出的值。卷积运算满足交换律、结合律和分配律。,卷积定理,卷积的数学定义,符号表示,性质：,卷积定理,若,则,四 拉氏逆变换及其求法,逆变换,已知F(s), 求f(t)的数学过程,2.部分分式法,将F(s)分解成标准形式的简单函数之和， 然后利用拉氏变换表和性质定理直接求出f(t)。,定义,查表法 注意综合应用拉氏变换的性质定理。,基本步骤,根据多项式定理求F(s)的极点,根据分项分式法，将F(s)展成部分分式,求出待定系数ci（复变函数中的留数）,F(s)的极点：使F(s)=的s值 F(s)的零点：使F(s)=0的s值,查拉氏变换表和利用性质定理求逆变换,在复变函数中ci称为s= pi极点处的留数。,待定系数的求法,简易计算式：,由于F(s)的极点可以是简单实数极点、共轭复数极点、重极点，故需分别讨论：,简单 极点,求ci的步骤：,用s+pi乘上式两边,，两边取极限,令, 简单极点求待定系数举例,指数衰减曲线 注意：F(s)具有负实部极点2，3，当t时，使f(t)0, 且e比e衰减得更快！,举例：,解：,有极点：,共轭复数极点待定系数的求法,共轭复 数极点有 两种解法,分解成如下形式，,令,复数相等有：,采用简单极点求法,可求得,举例：,解：,共轭复数极点求待定系数举例,求：,解得：,此外，解得：,注意：极点的实部为指数函数的幂，决定衰减的快慢；极点的虚部在正弦、余弦函数中，决定振荡的频率。,五 用拉氏变换求解运动微分方程,显然，用拉氏变换求解系统运动微分方程，首先必须求得系统的极点。在无计算机的年代是困难的，但是，人类总能找到解决问题的办法。,步骤, 将微分方程拉氏变换为s的代数方程；, 求出系统输出的复域解；, 拉氏反变换得系统输出得时域解。,2.3 动态系统的传递函数(transfer function),用系统的外部特征来揭示系统的内部特性。 通过系统的输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性。,传递函数基本思想,功能,输入,输出,动物习性的研究,人体器官检查,人们的思想品质,控制论中的黑箱理论,一 传递函数概念,可以用方块图来表示一个具有传递函数G(s)的线性系统。,线性定常(LTI)系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。例如：,在零初始条件下，微分方程的拉氏变换为,按传递函数定义，有,系统输出响应：,即,图中表明，系统输入量与输出量的因果关系可以用传递函数联系起来。传递函数由此得名。,二 传递函数的零点(zero)和极点(pole),注意：传递函数的极点的数值完全取决于系统的结构参数。零点、极点决定系统性能。,传递函数的零点,传递函数的极点,传递函数分子多项式 等于零的根,传递函数分母（特征）多项式(eigen polynomial)等于零的根,零点与输入作用位置 及输入信号性质有关,极点就是系统特征根(eigen value/root)，它们决定了系统的动态性能,三 传递函数的性质,传递函数一般只能描述线性定常系统动态特性。 零、极点 分布决定了系统的动态过程。,传递函数通过系统的输入量与输出量之间的关系来描述系统 的固有特性，即以系统的外部特征来揭示系统的内部特性。,传递函数是系统在复数域中的数学模型，它与微分方程有 相通性。分子多项式系数及分母多项式系数，分别与相应 微分方程的右端及左端微分算符多项式系数相对应。,传递函数是一种用系统参数表示输出量与输入量之间关系的 表达式，它只取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的 形式无关，也不反映系统内部的任何信息。,传递函数是复变量s的有理真分式函数，具有复变函数的 所有性质。所有系数均为实数。 （nm）,传递函数不表明系统的物理属性。相似系统具有相同形式的 传递函数。,传递函数的量纲取决于系统输入与输出的量纲。,四 传递函数的表示形式,输入输出模型,零极点模型,典型环节模型,分母称为系统的特征多项式,分子、分母进行因式分解，得系统传递函数的零-极点形式,零、极点只能取0、实数和复数（必共轭）值，因此，传递函数还可 以写成典型环节乘积的形式。,用Matlab实现传递函数模型转换,例1 将输入-输出模型化为零、极点模型,根据Matlab运行结果，可得零、极点及增益，从而得到零、极点模型。,注：分母 denominator 分子 numerator,用Matlab实现传递函数模型转换,例2 将典型环节模型化为输入-输出模型,用Matlab实现传递函数模型转换（例题结果）,例1 的结果：,例2 的结果：,其它转换请自己查阅有关书籍。,2.4 典型环节的传递函数 比例(proportional)环节, 方程形式： ，K放大系数、增益。 传递函数： ，静态关系，静态系统。 实例：运算放大器，分压电路，齿轮传动比，油缸。 特点：输出以一定比例复现输入，静态关系。,2.4 典型环节的传递函数惯性环节, ， 时间常数，描述系统惯性； 极点：,举例, 响应分析：,有一个蓄能元件，含时间常数，具有惯性，输出滞后输入。,2.4 典型环节的传递函数振荡环节,有两个独立的蓄能元件，由于阻尼比小于1，因此，存在能量（信息）的交换，产生振荡(oscillation)。,无阻尼自然振荡频率(nature frequency),实际阻尼/临界阻尼，称为阻尼比(damping ratio),2.4 典型环节的传递函数振荡环节2,实例：机床进给系统,定义 时的阻尼系数为临界阻尼系数,当 0 时，为简谐振动,特征方程：,原方程为：,有特征方程：,特征根为：,阻尼比为：,原方程可写成：,固有频率：,2.4 典型环节的传递函数积分环节, ，或 输出正比于输入对时间的积分。 ,因为系统存在死区、不灵敏区等原因，偏差信号很小时，系统无调节作用，实际输出与期望输出误差较大，影响控制精度。通过积分环节的作用，逐渐积累，当偏差超过死区后，使系统产生调节作用，使实际输出尽量接近期望输出，从而提高了控制精度。,积分环节有记忆功能，输入突然除去，积分停止，输出维持不变。用于改善系统的稳态性能，即降低稳态误差，提高控制精度。,2.4 典型环节的传递函数微分环节,微分环节使系统输出提前，具有预报功能，输出预示了输入信号的变化趋势。微分环节还可以增大系统阻尼，用于改善系统的动态特性。,输出正比于输入的一阶导数,2.4 典型环节的传递函数延迟环节,小结：1、元件是按功能分类的，而环节是按传递函数的形式分类的；一个元件可以是一个环节，也可以分为几个环节，也可能几个元件构成一个环节。2、环节的传递函数形式是不变的；当选择的输入、输出不同时，相同元件组合的传递函数形式可能不同。,2.5 传递函数的求取方法,传 递 函 数 的 求 取 方 法,解析法： 1.按因果关系写出各元件的微分方程; 2.将各微分方程进行拉氏变换,变成代数方程; 3.消去中间变量,得输出输入关系式。,图解法 1.2.步骤同解析法; 3.按因果关系绘出各代数方程的函数方块图; 4.按信号关系连接各函数方块图得系统方块图; 5.用等效变换法则,简化方块图得系统传递函数。,一 求取系统传递函数的解析法 1,一 求取系统传递函数的解析法 2,拉氏变换消去中间变量可求得分别以电枢电压、电机轴上负载转矩为输入，而以电机转角为输出的两个传递函数：,输出：电机转角,直流电机特性方程：,主令输入：电枢电压u 扰动输入：负载转矩ml,假设电枢反应可忽略不计，电机轴上总转动惯量J是常数，各种机械转矩全部归并到负载转矩中，传动轴可认为是刚性轴，电动机电枢回路的电阻、电感全部归并到电枢总电阻R、电感L中。,：电动机的机电时间常数,：电动机的电磁时间常数,：电枢电压作用系数，rad/（V.s）,：负载转矩作用系数，rad/(N.m.s),二 求取系统传递函数的图解法,系统方块图,绘制 方法,运算 法则,等效 变换,方块图简化求传递函数,基本 结构,方块图 功用,描述信号传递变换过程,方块图的基本结构要素,系统方块图的绘制方法,系统方块图的绘制方法,关键： 明确因果关系； 按信号流向连接,方块图的运算法则,串联,并联,反馈,方块图等效变换法则,求和点前移,求和点后移,引出点后移,引出点前移,简化方块图求传递函数,系统方块图,移动相加点 或引出点,方块图运算,系统传递函数,注意： 方块图 简化路 径非唯 一，但 总有最 简单的 方法。,方块图的作用,能描述系统的工作原理；便于研究每个环节对系统性能的影响；,能直观地反映系统中信号传递、转换的过程和信号之间的关系；,通过方块图运算和等效变换，可以简化方块图，从而能够方便地求出系统中任意两个信号之间的传递函数。,局限性：对于复杂系统，框图的简化过程繁杂，易出错。,2.6 信号流图与Mason公式,Signal flow diagrams are primarily an alternative pictoria1 representation to block diagrams. All signals (variables) are represented by dots, called nodes (节点）, related variables being joined by lines called directed branches（支路）. Each branch has an associated transmittance（增益，传递率）, Tjk, which links node j to node k with zero transmittance from k to j, i.e. transmittance is unidirectional and is indicated by an arrow. A path from a source to a sink node, without passing through any other node more than once, is called an open or a forward path（开路、前向通道）. A closed (feedback) path is called a loop（回路）. The product of the transmittances of the branches forming a loop is called the loop transmittance（回路增益）.,Concepts,2.6 信号流图与Mason公式(2),Highlights:,The signal at a node is equal to the sum of all signals transmitted to the node, i.e. a node with more than one input is a summing point.,The transmittances are simply related to the transfer functions. The transmittance may be negative.,The transmittances connected the input/output nodes (source/sink nodes) are both unity, and merely help make the diagram clearer.,Manipulating Rules of SFDs,(a) Series paths,(b) Parallel paths,(c) Feedback loop,(d) Elimination of a node,Masons Gain Formula,Net transmittance from a source to a sink node, T, is given by:,l open paths between the source and sink nodes under consideration., = 1(sum of all 1oop transmittances) + (sum of products of loop transmittances of all possible non-touching loops taken in pairs)(sum of similar products taken three at a time+ etc.,k = value of calculated for that part of the grap