离散控制系统及Z变换补充.ppt

离散控制系统的理论基础(basic theory) Z变换及Z反变换(Z transform & Z inverse transform) 差分方程(difference equation) 脉冲传递函数（pulse transfer function） 离散系统稳定性判据(stability criterion),第四章 离散控制系统及Z变换 discrete control system and Z transform）,4.1 离散控制系统的理论基础 一、 信号的基本形式(basic form of signal) 1)连续信号 (continuous ) 2）采样信号sampling,3）采样保持信号(sampling holding),因此，一个计算机控制系统包括四种信号：连续信号、采样信号、采样保持信号、数字信号。,4）数字信号(digital)：用量化单位q来度量采样信号幅值后所得的信号。如图d,量化,图d,整个计算机控制系统信号变换过程如下：,模拟信号,采样信号,数字信号,采样,采样保持信号,模拟信号,-,+,模拟信号,采样信号,数字信号,数字信号,模拟信号,量化、保持功能由A/D转换器完成，采样开关为软开关，由程序的脉冲序列完成，故整个计算机控制系统信号变换过程等效如下：,经A/D转换器量化,经采样开关,经保持,经D/A转换,二、信号的数学表示(math form of signal ) 1、理想采样开关的数学表示,单位脉冲函数是一个幅值为1，宽度为0的脉冲量，图形表示如右， 其数学表达式为,由于理想采样开关的闭合时间很短，所以图中其波形看作是一个有强度、无宽度的脉冲序列，其数学表达式为,其中,2、采样信号的数学表示 连续信号用 表示，采样信号用 表示。,由采样过程知，连续信号与采样信号分别是采样开关的输入/输出信号，则有,3、零阶保持器的数学表示(zero-order holder) 保持器有零阶保持器、一阶保持器、二阶保持器等。实际中，用的最多的是零阶保持器。其图如下 由图得，零阶保持器的数学表示为：,三、 数字控制系统中采样周期T的确定,1、理论依据 香农采样定理：为了使采样信号能不失真的反映连续信号 的变化规律，采样频率 至少应该是 频谱的最高频率 的两倍,即,采样定理给出了采样周期的上限值： 2、实际过程中T的选择因素,(采样周期:sampling period),理论上，采样周期越小，离散信号复现连续信号的精度越高，但在实际操作中，采样周期不应小于设备输入/输出及计算机执行程序消耗的时间 ，即 T太小：增加计算机的计算负担；同时，采样间隔太短，偏差变化不大且调节过于频繁，使得执行机构不能及时响应。 T太大：调节时间隔长，干扰输入得不到及时调节，系统动态品质变坏，对某些系统，过大的采样周期可能导致系统不稳定。 因此， 实际操作中，选择采样周期时，要综合考虑系统的下列因素。,系统动态指标（dynamic criterion） 一般取 (settling time)为过渡时间（调节时间）:被控量进入偏离稳态值的误差为5(或2)的范围并且不再越出这个范围所需的时间。 2、系统的动态特性（dynamic character） 若对象为 ，一般取 若对象为 ，,3、给定值的变化频率（variety frequency） 若加到被控对象上的给定值变化频率越高，采样频率也应越高以使给定值的改变得到快速反映。 4、执行机构的类型(actuator type) 若执行机构动作惯性大，则采样周期可相应大一些，反之则可小些。 5、计算机的运算速度(operation speed) 采样周期必须保证计算机执行控制算法的足够时间。各回路可选择不同的采样周期。,6、被控量的性质(quality of object) 如温度对象，热惯性较大，反映较慢，调节不宜过于频繁，可选择较大的采样周期，而对于流量对象，变化迅速，反映快，则选择较小的采样周期。 常见被控对象的采样周期经验值如下表：,研究一个实际的物理系统，首先要解决它的数学模型和分析工具问题，计算机控制系统是一种采样控制系统，即离散系统。 离散系统的研究方法有很多是与连续系统相对应的。,4.2 Z变换及Z反变换 (Z transform & Z inverse transform),4.2.1 Z变换(Z transform） 一、定义（definition） 由前面得，采样信号得数学表达式为：,对上式两边取拉氏变换，令 则,令 ，解得 ，则,定义：,几点说明： 1、Z变换定义是关于z的幂级数。只有当级数收敛时，才称为采样函数的Z变换。 2、Z变换是针对采样函数 而言。即是说Z变换由采样函数决定，它只对采样点有意义，反映的是采样时刻的信息，对非采样时刻不关心。,故Z变换与采样函数是一一对应的。 上述关系说明：一个采样函数 对应一个Z变换，一个Z变换对应一个采样函数, 但是由于一个采样函数 可对应无穷多的连续函数 ,因为采样函数只是考查得一些离散点的值。如下图所示：,3、Z变换的物理意义表现在延迟性上。,上式中，通项 ，由 决定幅值， 决定时刻，称 为位移(延迟)算子,n为位移量。,二、Z变换的性质(character) 1、线性性质,2、延迟性质,3、超前性质,4、初值定理(initial value theorem),5、终值定理(finial value theorem),常见函数的Z变换表如下,三、Z变换的求法(Z transform methods ) 1、级数求和法(series summing) (1)展开采样函数(expanding),(2)求拉氏变换(transforming),(4)然后按级数的性质写出级数的和函数,(3)令,例1 求单位阶跃函数 的Z变换,解：因,故,例2 求 的Z变换,求拉氏变换得,令,令,解：因,2、部分分式法(partial fraction decomposition) 方法：已知 的表达式，将其化成部分分式之和，再查拉氏变换表,例1 已知 ， 求,解：,查表得,得,用部分分式法求Z变换时，系数求法一般采用以下两种方法： 1、凑（适用于展开项数不多的场合） 2、留数法（适用于任何场合）,设传递函数的一般表达式为：,重根系数的求法,单根系数求法,当 时 也即特征方程有重根,例：求,的Z变换,4.2.2 Z反变换(Z inverse transform) 一、定义(definition) 根据 求采样函数 或离散函数 的过程称为Z反变换。记为,也可利用MATLAB中的命令residue进行部分分式展开，命令格式为： r,p,k=residue(num,den),二、求法(methods) 求Z反变换的方法有长除法和部分分式法 1、长除法（幂级数展开法series expansion) 方法：将 展开成如下形式,式中以 的升幂顺序排列，然后求出对应的 即可。,先将分子分母分别按 的升幂排列，然后通过分子除以分母得到其幂级数的展开式。,若 为两个有理多项式之比表示,即,例1 设,求,解：分子除以分母得,例2 求 的Z反变换,写出前五项,分子分母同除以 得,解：按要求整理得,长除后得,则,特点：此种方法在实际中应用较为方便，只需要计算有限项就够了，缺点是得到 的一般表达式较难。,2、部分分式法(partial fraction decomposition) 方法：将 展开成部分分式之和的形式，然后通过查表求出各部分分式的Z反变换。 需要指出的是：参照z变换表可以看到，所有z变换函数在其分子上都有因子z。因此，先把 除以z，将 作为一个整体进行部分分式展开，然后将所得结果每项乘以z得 的部分分式。最后查表即可。 下面按照f(z)的特征方程无重根和有重根两种情况举例说明。,若其一般表达式如下：,则按部分分式展开，得,系数c的求法：,（1）当 时，也即f(z)无重根时。,例1 求 的Z反变换,解：将上式变形得,从而有,特征方程 的解为,则有,解得,所以,故有,查表得,所以,所以,（2）当 时 也即特征方程有重根,重根系数的求法,单根系数求法,令分母为0得,分解因式,得重根,单根,则,例3 求 的Z反变换,则,故,查表得,4.3 用Z变换求线性常系数差分方程的解 一、定义 1.差分:相邻两个采样值的差(一阶差分). 后向差分:本次采样值与前一次采样值的差.基于现在和过去值 前向差分:本次采样值与后一次采样值的差.基于现在和未来值 二阶差分:对一阶差分再取一次差分. 差分在离散系统中的作用与( )在连续系统中的作用相同，当两个采样点无限接近时，差分即为（ ）。 2.差商 一阶差商：一阶差分除以采样周期的商,二、思想 用z变换求解差分方程与连续系统用拉氏变换求解微分方程类似。 其思想是：首先通过Z变换，将离散时域问题转化到z 域中考虑，将差分运算转换为代数运算，然后通过Z反变换求得离散解,3.差分方程(difference equation) 反映各采样时刻输出与输入之间的关系的方程。如：,差商在离散系统中的作用与（ ）在连续系统中的作用相同，当两个采样点无限接近时，差商即为（ ）。,步骤：先对差分方程进行Z变换，然后写出 最后求 的Z反变换,例 用Z变换求 的解，已知初始条件为,超前性质,延迟性质,将初始条件代入得,解：对上述差分方程两边Z变换，利用超前性质,得,查表得,总结： 关于Z变换以及Z反变换的求法重点掌握部分分式法和差分方程求解法。,1 求 的Z变换,习题：,2 求 的Z反变换,3 用Z变换求 的解，已知初始条件为,4.4 脉冲传递函数(pulse transfer function) 一、定义 连续系统的对象描述方式有：微分方程、结构方框图、传递函数等。 离散系统对象描述方式：差分方程、结构方框图 及脉冲传递函数。,二 开环系统的z传递函数,三、串连环节的z传递函数 离散系统串连时其z传递函数的求法与采样位置有关。,结论： （1）当开环系统由多个线性环节串连而环节之间无采样开关隔开时，开环系统的z传递函数等于各个环节传递函数乘积的z变换。 （2）当开环系统由多个线性环节串连而环节之间有采样开关时，开环系统的z传递函数等于各个环节z传递函数之乘积,四、并联环节z传递函数,五、闭环z传递函数,-,+,举例：一个计算机控制系统结构如下所示，求其脉冲闭环传递函数,利用Z变换线性性质及延迟性质得,总结：以后可以直接将广义传递函数中的 项移到Z变换符号之外变成 ,其余部分按照前面的Z变换方法求得。,4.5 离散控制系统的稳定性 一、s域到z域的变换 根据Z变换的定义有 ,当,s平面上虚轴上的所有点对应在z平面的单位圆上,当,s平面的左半平面上的所有点对应在z平面的单位圆内,s平面的右半平面上的所有点对应在z平面的单位圆外,当,二、离散系统的稳定性及稳定条件 连续系统稳定判据（劳斯判据）：系统的闭环极点全部在s平面的左半平面内即,小结： s平面的左右平面上的点对应z平面的单位圆内外。 注意：从s平面到z平面的映射是唯一的，但从z平面到s平面的映射是多值的。,根据s平面与z平面的映射关系:连续系统稳定条件s平面左半平面上的所有点对应离散系统在z平面的单位圆内。,结论：离散系统稳定的条件，即：系统的所有闭环极点都在z平面的单位圆内。,三、离散系统的劳斯稳定判据,判据：离散系统的闭环特征方程经过双线性变换 后，若特征方程的根全部具有负实部，则系统稳定。,证明：令,由,步骤如下：,当,z平面单位圆上所有点映射到w平面的虚轴上,当,z平面单位圆内所有点映射到w平面的左半平面内,当,z平面单位圆外所有点映射到w平面的右半平面内,举例 系统结构如右所示,先求出闭环特征方程 ; 再做双线性变换,即将 代入 中,得到 ； 最后用劳斯判据判定 的根是否全部在左半平面内。,已知,-,求使闭环系统稳定的K的范围。,解：系统闭环脉冲传递函数,将 代入特征方程整理得,特征方程,三、参数对稳定性的影响,1.开环增益对系统稳定性的影响 由上面例子可以看出，开环增益K增大时，系统可能变得不稳定，即增大K对系统稳定性不利。 2.采样周期对系统稳定性影响 举例:系统结构如右图所示,证明：,-,当 时,特征方程为,对上式作双线性变换得,由系统稳定条件得,同理,可计算出当 时,系统稳定范围为,当 时,系统稳定范围为,结论:增大采样周期对系统的稳定性不利,减小采样周期对系统稳定性有利,当采样周期为0时,系统为连续系统.既是说稳定的连续系统经采样变成数字系统后不一定稳定.(连续系统的稳定性优于离散系统),分析:采样周期由1s增大到2s,临界开环增益由2.4减小到1.45,当采样周期减小到0.5s,临界开环增益由2.4增大到4.36.,一、基本概念,总 结,1、采样：采样、采样时间、采样周期、采样定理 2、量化：量化、量化单位q得计算 3、保持：零阶保持器及其传递函数、电路组成及原理 二、Z变换 1、Z变换定义、性质 2、Z变换求法：级数求和法和部分分式法 3、Z反