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范例4.3 半圆圈的质心和转动惯量,如图所示,一匀质半圆圈的质量为M,内半径为R0,外半径为R。(1)求半圆圈的质心位置。质心位置与半径R0和R有什么关系?(2)求半圆圈绕三个轴的转动惯量。转动惯量与半径R0和R有什么关系?,解析(1)由于对称的缘故半圆圈的质心在y轴上。,半圆圈的面积为S = (R2 R02)/2,,在半圆圈中取一面积元ds = rddr,,质量面密度为,其质量为dm = ds = rddr,,到转动轴x的距离为y = rsin,,质心纵坐标为,范例4.3 半圆圈的质心和转动惯量,如图所示,一匀质半圆圈的质量为M,内半径为R0,外半径为R。(1)求半圆圈的质心位置。质心位置与半径R0和R有什么关系?(2)求半圆圈绕三个轴的转动惯量。转动惯量与半径R0和R有什么关系?,当R0 = R时,半圆圈变成半圆环,半圆环的质心坐标为,当R0 = 0时,半圆圈变成半圆盘,半圆盘的质心坐标为,比较同一质量和半径的半圆环和半圆盘,由于圆环质量的分布离x轴比较远,其质心高度比较高。,质心纵坐标为,当半圆圈的质量和外半径一定时,半圆圈的质心高度随厚度的减小而增加。,半圆盘的质心高度为0.424R,半圆环的质心高度为0.637R。,范例4.3 半圆圈的质心和转动惯量,如图所示,一匀质半圆圈的质量为M,内半径为R0,外半径为R。(1)求半圆圈的质心位置。质心位置与半径R0和R有什么关系?(2)求半圆圈绕三个轴的转动惯量。转动惯量与半径R0和R有什么关系?,半圆圈绕y轴的转动惯量为,半圆圈绕z轴的转动惯量为,解析(2)半圆圈绕x轴的转动惯量为,这是正交轴定理。,因此,范例4.3 半圆圈的质心和转动惯量,如图所示,一匀质半圆圈的质量为M,内半径为R0,外半径为R。(1)求半圆圈的质心位置。质心位置与半径R0和R有什么关系?(2)求半圆圈绕三个轴的转动惯量。转动惯量与半径R0和R有什么关系?,半圆圈绕x轴和y轴的转动惯量为,半圆圈绕z轴的转动惯量为,Jz是Jx和Jy的两倍,只要讨论Jz就行了。,当R0 = 0时,半圆圈变成半圆盘,半圆盘绕z轴的转动惯量为,当R0 = R时,半圆圈变成半圆环,半圆环绕z轴的转动惯量为Jz = MR2。,这是因为半圆环上所有
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