2011年高考数学总复习精品课件（苏教版）：第十二单元第二节排列组合.ppt

第二节 排列组合,基础梳理,按照一定的顺序排成一列,所有排列的个数,阶乘,并成一组,所有组合的个数,典例分析,题型一 排除法 【例1】从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有种.,分析 逆向思考，“这3人中至少有1名女生”的否定为“这3人中没有女生”.,解 全部方案有 种，减去只选派男生的方案数 ，合理的选派方案共有 - =186(种).,学后反思 关于“至少”类型组合问题，用间接法较方便.即用总的方案数减去“至少”的否定的方案数.同时要注意： “至少一个”的否定为“一个没有”; “至多一个”的否定为“至少两个”; “至少n个”的否定为“至多n-1个”; “至多n个”的否定为“至少n+1个”.,举一反三 1. (2009全国改编)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有种.,答案： 30,解析： 间接法: (种).,题型二 基本排列问题 【例2】从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有种（用数字作答）.,学后反思 解决某些特殊元素不能排在某些特殊位置的排列问题，主要方法是将这些特殊元素排在其他位置，或将其他非特殊元素排在这些特殊位置来进行解决.,分析 先选甲、乙以外的人担任文娱委员，然后再选其他委员. 解先从其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员， =343=36(种).,举一反三 2. （2008全国改编）如图，一环形花坛分成a,b,c,d四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块地里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为 .,答案： 84,解析： 分三类：种两种花有2 种种法；种三种花有2 种种法；种四种花有 种种法.共有 +2 + =84（种）.,题型三 有限制条件的排列 【例3】有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？ (1)甲不在中间也不在两端； （2）甲、乙两人必须排在两端； （3）男、女生分别排在一起； （4）男女相间.,分析 这是一个排列问题，一般情况下，我们会从受到限制的特殊元素开始考虑，有时也从特殊的位置讨论起.对于相邻问题，常用“捆绑法”；对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）；对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”（特殊元素先考虑）.,解 （1）方法一（元素分析法）：先排甲有6种，其余有a88种，故共有6 =241 920(种)排法. 方法二（位置分析法）：中间和两端有 种排法，包括甲在内的其余6人有 种排法，故共有 =336720=241920(种)排法. 方法三（间接法）： -3 =6 =241920(种). （2）先排甲、乙，再排其余7人，共有 =10 080(种)排法. （3）（捆绑法） =5 760(种). （4）（插空法）先排4名男生有 (种)方法，再将5名女生插空，有a55种方法，故共有 =2 880（种)排法.,学后反思 本题集排列的多种类型于一题，充分体现了元素分析法（优先考虑特殊元素）、位置分析法（优先考虑特殊位置）、直接法、间接法（排除法）、捆绑法、等机会法、插空法等常见的解题思路.,举一反三 3. (2007全国改编)从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有种.,答案： 60,解析： 星期五有2人参加，则从5人中选2人的组合数为 ，星期六和星期天从剩余的3人中选2人进行排列，有 种，则共有 =60(种).,题型四 基本组合问题 【例4】（14分）有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名.选派5名外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？ （1）男运动员3名，女运动员2名； （2）至少有1名女运动员； （3）队长中至少有1名参加； （4）既要有队长，又要有女运动员.,分析 （1）分步.（2）可分类也可用间接法.（3）可分类也可用间接法.（4）分类.,解 （1）第一步：选3名男运动员，有 种选法. 第二步：选2名女运动员，有 种选法. 共有 =120(种)选法3 （2）方法一：“至少有1名女运动员”包括以下几种情况： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.4 由分类加法计数原理可得总选法数为： (种)6 方法二：“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”,故可用间接法求解.,从10人中任选5人有 种选法，其中全是男运动员的选法有 种4 所以“至少有1名女运动员”的选法为 - =246(种)6 (3)方法一(可分类求解): “只有男队长”的选法为 ;“只有女队长”的选法为 8 “男、女队长都入选”的选法为 . 所以共有2 + =196(种)选法10 方法二(间接法)： 从10人中任选5人有 种选法.8 其中不选队长的方法有 种.所以“至少有1名队长”的选法 为 - =196(种)10,学后反思 解组合题时，常遇到至多、至少问题，可用直接法分类求解，也可用间接法求解以减少运算量.当限制条件较多时，要恰当分类，逐一满足.,（4）当有女队长时，其他人选任意，共有 种选法.不选女队长时，必选男队长，共有 种选法.其中不含女运动员的选法有 种，所以不选女队长时的选法共有 - 种选法13 所以既有队长又有女运动员的选法共有 + - =191(种)14,举一反三 4. (2009辽宁改编)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有种.,答案： 70,易错警示,【例】有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？,错解分析 错解中没有考虑3个红色小球是完全相同的，5个白色小球也是完全相同的，同色球之间互换位置是同一种排法.,错解 因为是8个小球的全排列，所以共有 种方法.,正解 8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题.这样共有 =56(种)排法.,考点演练,10. (2009湖北改编)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，求不同分法的种数.,解析： 用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是 ,顺序有 种，而甲、乙被分在同一个班有a33种，所以不同分法有 (种).,11. （1）从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ （2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？,解析： （1）从5本不同书中选出3本分别是送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同的送法的种数是 =543=60. (2)由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学每人各1本书的不同方法种数是 555=125.,12. 某学习小组有8个同学，从男生中选2人，女生中选1人参加数学、物理、化学三种竞赛，要求每科均有1人参加，共有180种不同的选法，那么该小组中男、女同学各有多少人？,解析： 设男生有x人，则女生有8-x人，依题意， ，即 ， ， ，即(x-5)(x-6)(x+2)=0, ， ， (舍去). 故男生有5人，女生有3人，或男生有6人，女生有2人.,第二节 总体分布和总体特征数的估计,基础梳理,1. 作频率分布直方图的步骤 （1）求极差（即一组数据中 与 的差）; （2）决定 与 ; （3）将数据 ; （4）列 ; （5）画 . 2. 频率分布折线图和总体分布的密度曲线 （1）频率分布折线图：将频率分布直方图中各相邻的矩形 的 顺次连接起来.,最大值,最小值,组距,组数,分组,频率分布表,频率分布直方图,上底边中点,足够小,足够大,（2）总体分布的密度曲线：如果将样本容量取得 ,分组的组距取得 ,那么相应的频率折线图将趋于一条光滑曲线，我们称这条光滑曲线为总体分布的密度曲线. 3. 标准差和方差 设一组样本数据 ，其平均数为 ，则有 （1）标准差:s= . （2）方差：s2= . 4. 用茎叶图刻画数据有两个优点： (1)所有的信息都可以从 ;,图中得到,（2）茎叶图便于 ，能够展示数据的分布情况. 但当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图的效果就不是很好了.,记录和表示,典例分析,题型一 图形信息题 【例1】为了解九年级学生中女生的身高（单位：cm）情况，某中学对九年级女生身高进行了一次测量，所得数据整理后，列出了频率分布表如下：,（1）求出表中m,n,m,n所表示的数分别是多少; （2）画出频率分布直方图； （3）试问：全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？估计九年级学生中女生的身高在161.5 cm以上的概率.,分析 每组距的频率是该组距中个体的个数与所研究对象的个数之比；所有组距的频率之和为1;每一组距的频率是频率分布直方图中该组距所对应的矩形的面积.,解 （1）m= =50,m=50-(1+4+20+15+8)=2,n=1, （2）作出直角坐标系，组距为4,纵轴表示频率/组距，横轴表示身高,画出频率分布直方图如图.,（3）在153.5157.5 cm范围内最多，估计身高在161.5 cm以上的概率为p= =0.2.,学后反思 一般用频率分布直方图反映样本的频率分布，从而对总体的频率分布作出估计，其具体步骤如下： （1）将数据分组，确定合适的组距，列出频率分布表; （2）明确纵、横轴的意义，纵轴表示 , 横轴表示样本数据，画出直方图； （3）直方图中每一个矩形的面积是样本数据落在这个区间上的频率，所有的小矩形的面积之和等于1,即频率之和为1.由此可以估计样本数据落在某个区间的频率或概率或者总体的数字特征.,举一反三 1. 下列数据为宝洁公司在某年每周销售出的香皂数（单位：百万块）： 17.119.615.417.415.018.520.618.420.0 13.919.318.214.717.112.219.918.720.4 20.315.516.819.120.415.420.317.517.0 18.313.639.820.721.322.521.523.423.1 22.821.424.025.226.3 23.930.625.226.2 26.932.826.326.624.326.223.8 （1）把上述数据分组，列出频率分布表； (2)根据（1）的结果画频率分布直方图和频率分布折线图; (3)结合上面的描述，分析该年度香皂销售的分布情况.,解析： （1）频率分布表如下：,（2）频率分布直方图和频率分布折线图如图所示. （3）该年度每周的香皂销售量主要在1 500万块到3 000万块之间.,题型二 用样本分布估计总体 【例2】对某电灯泡进行寿命追踪调查，情况如下：,（1）列出频率分布表； （2）画出频率分布直方图； （3）估计电灯泡寿命在200 h500 h以内的频率； （4）估计电灯泡寿命在300 h以上的频率.,分析 从分组中看寿命在某一范围内的电灯泡的比例即寿命在该范围内的频率.,解 （1）样本频率分布表如下： （2）频率分布直方图如图：,（3）电灯泡寿命在200 h500 h以内的频数为150, 则频率为 =0.75. （4）寿命在300 h以上的电灯泡的频数为150， 则频率为 =0.75.,学后反思 利用样本的频率分布可近似地估计总体的分布.从本例可以看出，要比较准确地反映出总体分布的情况，必须准确地作出频率分布表或频率分布直方图，充分利用所给的数据正确地作出估计.解决总体分布估计问题一般程序为：当总体中所取不同数值较少时，常用条形图表示相应的样本的频率分布;否则常用频率分布直方图表示相应样本的频率分布.具体步骤为： (1)先确定分组的组数（最大数据与最小数据之差除以组距数）； (2)分别计算各组的频数及频率（ ）； (3)画出频率分布直方图并作出相应估计.,2. 某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支.该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表所示.,举一反三,（1）将各组的频率填入表中; （2）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1 500小时的频率.,解析： (1),(2)由(1)可得0.048+0.121+0.208+0.223=0.6,所以灯管使用寿命不足1 500小时的频率为0.6.,题型三 用样本的数字特征估计总体的数字特征 【例3】对划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们最大速度的数据如下：,甲：27,38,30,37,35,31; 乙：33,29,38,34,28,36. 根据以上数据，试判断他们谁更优秀.,分析 要判断甲、乙两人谁更优秀，只需计算它们的平均数与方差即可.已知一组数据x1,x2,x3,xn,则平均数 方差 标准差,解 (27+38+30+37+35+31)=33, (33+29+38+34+28+36)=33, s2甲= (27-33)2+(38-33)2+(30-33)2+(37-33)2+ (35-33)2+(31-33)2= 94= ,s2乙= (33-33)2+(29-33)2+(38-33)2+(34-33)2+(28-33)2+(36-33)2= 76= . ,s2甲s2乙. 由此可以说明，甲、乙二人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，故乙比甲更优秀.,学后反思 平均数反映了数据取值的平均水平;标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定.考查样本数据的水平及稳定情况时，应先比较其平均数，若平均数相同，再比较其方差（或标准差）.,举一反三 3. 某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料,在自动包装传送带上每隔30 min抽取一包产品,称其重量,分别记录抽查数据如下: 甲:102,101,99,98,103,98,99; 乙:110,115,90,85,75,115,110. (1)这种抽样方法是哪一种? (2)将这两组数据用茎叶图表示; (3)比较两组数据,说明哪个车间产品较稳定.,解析： (1)因为间隔时间相同,故是系统抽样. (2)茎叶图如下:,(3)甲车间:平均值: =(102+101+99+98+103+98+99)=100, 方差: 3.428 6. 乙车间:平均值: (110+115+90+85+75+115+110)=100, 方差: 228.571 4. , ,甲车间产品稳定.,题型四 综合问题 【例4】(14分)某种瓶装溶液，因为装瓶机的不稳定性，所以很可能每瓶装的容量都不是标准的容量.我们随机抽出了20瓶，测得它们的容量（单位：百毫升）如下: 12.1 11.9 12.2 12.2 12.0 12.1 12.9 12.1 12.3 12.5 11.7 12.4 12.3 11.8 11.3 12.1 11.4 11.6 11.2 12.2 （1）根据数据列出频数分布表、画出频数分布图； （2）计算出这组数据的平均数和标准差（结果精确到0.01）; （3）结合（1）、（2）的结果,描述一下样本的分布情况，并根据实际意义写一个简短的报告（对总体情况作出估计）.,分析 现实中对一组数据，往往是从多角度、多层面进行分析.主要标准是平均数、方差的大小,频率分布直方图是否集中等.,解 （1）频数分布表如下： 频数分布图如图所示:,（2）平均数 (12.1+11.9+12.2+12.2) = 12.02. 8 标准差 0.41. .10,（3）标准差相对于平均数来说比较小;从频数分布图中可以看出，每瓶的容量大致位于1 150毫升到1 250毫升之间.因此判断装瓶机工作稳定. 14,学后反思 数据的图形分布情况和数字特征从不同方面对总体（或样本）的分布作出了刻画.在解决实际问题时，这两个方面应结合起来，发挥各自的长处，以便能更清晰的描绘总体（或样本）的分布.,举一反三,4.从高三学生中抽取50名同学参加数学竞赛，成绩（单位：分）的分组及各组的频数如下： 40,50),2;50,60),3;60,70),10;70,80),15;80,90),12; 90,100,8. (1)列出样本的频率分布表； (2)画出频率分布直方图; (3)估计成绩在60,90)分的学生比例.,解析： （1）频率分布表如下：（2）频率分布直方图如图:,（3）成绩在60,90)分的学生比例即为学生成绩在60,90)分的频率，即（0.2+0.3+0.24）100%=74%.,考点演练,10. 一个样本a,99,b,101,c中五个数恰成等差数列,求这个样本的标准差.,解析： a,99,b,101,