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3.6线性方程组解的结构,一、齐次线性方程组解的结构,二、一般线性方程组解的结构,一、齐次线性方程组解的结构,（1）,1解的性质,性质1 （1）的两个解的和还是（1）的解；,性质2 （1）的一个解的倍数还是（1）的解；,性质3 （1）的解的任一线性组合还是（1）的解,则称 为（1）的一个基础解系,2 解空间,定义 设W为齐次线性方程组（1）的全体向量，则,即W关于解的线性运算封闭，所以W 是一个向量空间称之为齐次线性方程组（1）的解空间,3 基础解系,2)（1）的任一解向量 可由线性表出,1) 线性无关；,定义 齐次线性方程组（1）的一组解 ，若满足,1),2),4 基础解系存在性,定理7 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础 解系，并且基础解系所含解向量的个数等于 ，,则（1）可写成,（2）,就得到（2）的解，也就是（1）的 个解,用 组数 (1,0,0), (0,1,0), , (0,0,0)代入自由未知量 ，, 线性无关,事实上，若,即,线性无关, 任取（1）的一个解 ， 可由 线性表出,事实上，由 是（1）的解 也为（1）的解，,它与 的最后 个分量相同，即自由未知量的值相 同，所以它们为同一个解，即,由 ， 为（1）的一个基础解系,解：,原方程组的解为,令 ，得 ；,令 ，得 ,原方程的基础解系为 ，,原方程组的一般解为 ,推论 任一线性无关组的与（1）的某一基础解系等价 的向量组都是（1）的基础解系,线性无关，且与 等价，,则 ，且 可由 线性表出，即 也为（）的解向量,证： 为（1）的一个基础解系，,任取（）的一个解向量 ，则 可由 线性表出，从 而可由 线性表出,5 若 为齐次线性方程组（1）的一个基础 解系，则（1）的任一解可表为,为（1）的解空间,二、一般线性方程组解的结构,（3）,（4）,称（3）为（4）的导出组, 解的性质,性质1 为（3）的两个解 为其导出组（4）的解,性质2 为（3）的一个解， 为其导出组（4）的解，则 仍为（3）的解, 解的结构,定理 若 为（3）的一个特解，则方程组（3）的任一 解 皆可表成 ，其中 的其导出组（4）的一个解,从而有：方程组（3）的一般解为,其中 为（3）的一个特解， 为导出组的一个基础解系,即（3）的解集为 ,推论 方程组（3）在有解的条件下，有唯一解 （3） 的导出组（4）只有零解,“ ”,若（3）有两个不同的解 ，则 为 （4）的一个非零解，矛盾, 求一般线性方程组（3）的一般解,步骤：,1）求出其导出组的基础解系 ；,2）求出其一个特解 ；,3）（3）的一般解为 ,例 求解方程组,解：,可见，方程组 有解，并有,取 ，则 ，即
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