求方阵的幂的方法与技巧学士学位论文.doc

哈尔滨学院学士学位论文求方阵的幂的方法与技巧 学 院： 理学院 专 业： 数学与应用数学 姓 名： 钟旭 学 号： 11051223 指导教师： 李明哲 职 称： 哈尔滨学院学士学位论文摘 要本篇论文依据矩阵的一些性质，探讨了方阵的幂的求解问题。矩阵是从许多实际问题中抽象出来的一个概念，是线性代数中一个很重要的组成部分，矩阵及其理论广泛应用于现代科技的各个领域，同时常常涉及到方阵的幂的计算。一般来说求方阵的幂是一个麻烦的事，尤其是当方阵的阶数和方幂的次数较高时，计算十分麻烦。本文针对不同类型的方阵，总结了计算方阵高次幂的若干种方法，例如若尔当标准形方法、矩阵乘法的结合律、递推法、矩阵分解法、数学归纳法、矩阵分块法等方法，并针对其应用进行举例。关键词：矩阵的幂；方阵；若尔当标准形abstractin this paper, based on some properties of matrix, and probes into the problems of solving the matrix exponential.matrix is a concept abstracted from many problems,and it is an very important constituent in linear algebra,matrix and its theory is now widely used in every field of modern science and technology,at the same time it always involves calculation method of the power of a matrix .thus caused the solution square matrix the higher mode power in is not the difficult problem,so this article summarized very many kinds to ask the square matrix the power method, including the jordan normal form method, the matrix multiplication associative law, the recursion law, the matrix resolution, the mathematical induction, the matrix piecemeal law, similar diagonal method and so on essential commonly used method,and application for power of square matrix for example.keywords: the power of matrix; square matrix; jordan standard form ii 目 录摘 要iabstractii前 言3第一章 预备知识41.1 矩阵的相关概念及性质41.1.1 矩阵的秩及性质41.1.2 矩阵的乘法51.1.3 矩阵的幂51.1.4 若尔当标准形51.1.5 对角化定义61.2 本章小结6第二章 方阵的幂的求解方法与技巧72.1 利用矩阵对角化的方法求方阵的幂72.2 利用若尔当标准形方法求方阵的幂82.3 利用数学归纳法求方阵的幂102.3.1 什么是数学归纳法102.4 利用递推公式方法求方阵的幂122.5 利用二项式法求方阵的高次幂142.6 秩为1的方阵的高次幂的求解152.7 利用hamiltoor-caylry定理求方阵的幂172.8 本章小结17结 论19参考文献21致 谢22前 言矩阵，在数学上最早来源于方程组的系数及常数所构成的方阵。矩阵是高等代数学中的常见工具，它的运算是高等代数领域中的重要问题，其求法原理贯穿于代数教学的始终。“矩阵”这个词室友西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这是术语，从行列式的大量工作中明显看出，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都是可以研究和使用的，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。英国数学家凯利被公认为矩阵论的奠基人。他开始将矩阵作为独立的数学对象研究时，许多与矩阵有关的性质已经在行列式的研究中被发现了，这也使得凯利认为矩阵的引进是十分自然的。他说：“我决然不是通过四元数而获得矩阵概念的；它或是直接从行列式的概念而来，或是作为一个表达线性方程组的方便方法而来的。”他从1858年开始，发表了矩阵论的研究报告等一系列关于矩阵的专门论文，研究了矩阵的运算律、矩阵的逆以及转置和特征多项式方程。凯利还提出了凯莱-哈密尔顿定理，并验证了33矩阵的情况，又说进一步的证明是不必要的。哈密尔顿证明了44矩阵的情况，而一般情况下的证明是德国数学家弗罗贝尼乌斯于1898年给出的。1854年时法国数学家埃尔米特使用了“正交矩阵”这一术语，但他的正式定义直到1878年才由费罗贝尼乌斯发表。1879年，费罗贝尼乌斯引入矩阵秩的概念。至此，矩阵的体系基本上建立起来了。矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支矩阵论。矩阵论作为一种基本工具，在应用数学与工程技术学科，如微分方程、概率统计、运筹学、控制论与系统理论等有着广泛的应用。这些学科无不与矩阵理论发生紧密的结合，而在矩阵理论的相关研究中，常常涉及到方阵高次幂的计算。矩阵的幂运算以矩阵的乘法运算为基础，而矩阵的幂运算是比较麻烦的，因此，不断寻找简便的算法便成为矩阵幂运算方面的重要课题。目前，对于矩阵高次幂的运算问题，有许多人进行过研究，本文在此基础上，以分类讨论的思想，系统全面地介绍了一般n阶矩阵及一些特殊矩阵的高次幂的求解方法。本文针对矩阵高次幂的运算问题，以分类讨论的思想，系统的介绍了一些n阶矩阵的高次幂的求解方法。对简单矩阵的低次幂求解直接用矩阵乘法定义求解即可。 第一章 预备知识1.1 矩阵的相关性质 矩阵的秩及性质（1）在矩阵中，任选r个行和r个列，将位于这r个行和r个行的交叉点上的个元素所构成的一个r阶行列式叫做a的一个r阶子式，显然。如果在矩阵a中，有一个k阶子式不为零，而所有的（k1）阶子式都为零，则说a的秩等于k，记为.当a的秩等于m时，则称a为行满秩阵，显然有：；当a的秩等于n时，则称a为列满秩阵，显然有：。特别地，当a是n阶方阵时，如果，则称a为满秩方阵。【例】证明的秩。【证】首先，在a中有一个二阶子式：；其次，经计算，a的任一个三阶子式皆为零，例如：。因此，根据定义得：。证毕。（2）矩阵的秩有以下几个性质：性质1：设a为nn矩阵，则的充要条件是：矩阵a的行列式不为零；性质2：对任意矩阵a，其转置矩阵与a有相同的秩，即：； 性质3：矩阵b、c的秩，均不小于它们相乘所得的矩阵abc的秩，即： ，；性质4：设a为mn阵，如果p、q分别为m阶、n阶的满秩方阵，则： ，这个性质表明，任何矩阵，经与一个满秩方阵相乘后，其秩不变。1.2 矩阵的相关概念1.2.1 矩阵的乘法（1）设那么矩阵，其中 ，称为与的乘积，记为。（我们要求第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数相等）。（2）矩阵乘法有下列以下性质：性质1：矩阵的乘法适合结合律设，则。阵的乘法不适合交换律， 即。性质2：矩阵的乘法和加法还适合分配律即，。 1.2.2 矩阵的幂个阶方阵连乘,称为方阵的次幂,记为。 规定。1.2.3 若尔当标准形形式为 的矩阵称为若尔当块，其中是复数。由若干个若尔当块组成的准对角线矩阵称为若尔当形矩阵，其一般形状如 ，其中，并且中有一些可以相等。1.2.4 对角化定义矩阵a是数域p上的一个n级矩阵，如果存在一个p上的n级可逆矩阵x，使为对角矩阵，则称矩阵a可对角化。已知结论：结论1：如果在n维线性空间v中，线性变换a的特征多项式在数域p中有n个不同的根，即a有n个不同的特征值，那么a在某组基下的矩阵是对角形的。结论2：在复数域上的线性空间中，如果线性变换a的特征多项式没有重根， 那么a在某组基下的矩阵是对角形的。1.3 本章小结本章介绍了计算方阵高次幂的预备知识，简单的说明了矩阵的定义、矩阵的相关性质、矩阵的乘法及性质、矩阵的幂、若而当标准型、对角化定义等预备知识，熟练地掌握预备知识有助于灵活的计算方阵的高次幂，为下一部分的研究奠定基础。第二章 方阵的幂的求解方法与技巧2.1 利用矩阵对角化的方法求方阵的幂定义1：我们知道，若与阶对角阵相似，则可求出一个阶可逆阵，使,于是。当一个阶矩阵的阶数较大时，可将矩阵分成许多小块，这些小块就称为矩阵的子阵。若阶矩阵可分成块对角阵形式，则可以将高阶矩阵的高次幂计算问题转化为简单子阵的高次幂计算问题，从而达到简化计算的目的即对于分块对角矩阵，有，其中均为方阵。例1 已知方阵解 由于方阵的特征多项式为所以方阵的特征根为解方程组得对应于特征值的两个线性无关的特征向量.解方程组得对应特征值的特征向量为.故方阵可对角化,即存在可逆矩阵于是=例2 设，其中 b= ，c= ，求。解 易见a= - ，于是 = = = = 上述方法就是把求的方幂的问题就转化为求过度矩阵和对角阵的幂的问题。所以该方法只适用于可对角化的矩阵，而一个矩阵是否可对角化要先判断阶方阵是否有个线性无关的特征向量。2.2 利用若尔当标准形方法求方阵的幂定理1：设，则 与一个矩阵相似。（即存在阶可逆矩阵，使，其中为阶块，即，其中（i=1,2,t）为若当矩阵，则，按照（1）给出的方法计算。则，故有即如果方阵a的若尔当标准形j与可逆矩阵p都已求出，只要计算出即可求出，则求的关键是转换为求。（1） 设为若尔当矩阵时，将分解为对角阵与幂零矩阵的和，利用二项定理去求。即当j=，这时把分解为（）的形式，其中是阶单位矩阵，是阶幂零矩阵。由于与可交换，因此。因为是幂零矩阵，当时，=0，所以有，于是 。例3 设=，求（）。解 ，因为 。例4 设=，求。解 的不变因子为，的初等因子为。所以，存在可逆矩阵使。则，所以。特征值，求得属于的线性无关向量为，特征值，求得属于的线性无关向量为。，所以。因为，其中，所以，则。所以，可见该方法更具有一般性，应用它可计算任何阶矩阵的高次幂。2.3 利用数学归纳法求方阵的幂2.3.1 数学归纳法1. 第一数学归纳法一般地，证明一个与自然数n有关的命题p(n），有如下步骤：（1）证明当n取第一个值时命题成立。对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；（2）假设当n=k（,k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。综合（1）（2），对一切自然数n（），命题p(n）都成立。2第二数学归纳法对于某个与自然数有关的命题p(n），（1）验证，时p(n）成立；（2）假设nk时命题成立，并在此基础上，推出n=k+1命题也成立。综合（1）（2），对一切自然数n（），命题p(n）都成立。3倒推归纳法又名反向归纳法（1）验证对于无穷多个自然数n命题p(n）成立（无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数，如对于算术几何不等式的证明，可以是，k1）；（2）假设p(k+1）（）成立，并在此基础上，推出p(k）成立，综合（1）（2），对一切自然数n（），命题p(n）都成立；4螺旋式归纳法对两个与自然数有关的命题p(n），q(n），（1）验证时p(n）成立；（2）假设p(k）（）成立，能推出q(k）成立，假设 q(k）成立，能推出 p(k+1）成立；综合（1）（2），对一切自然数n（），p(n），q(n）都成立。2.3.2 利用数学归纳法求方阵的幂该方法的思路是通过计算，等，从中发现的元素的规律，再用数学归纳法证明。例5 已知矩阵，试求（为自然数）解 可求得,观察这些矩阵的规律可以发现, 的第1行元素是展开式的三项元素,而的第1行元素是展开式的前三项，由此推测，的第1行元素应该是的展开式的前三项元素，。现假设，显然当时是成立的；则，即时结论也成立，故由归纳假设法知上述结论正确。例6 设，求。解 因为，观察上述规律，可推得而验证该结论是否正确，还需用数学归纳法来证明，假设时成立，当时, 故时结论也成立，所以上述结果正确。例7 设为整数，求。解 假设则即。2.4 利用递推公式方法求方阵的幂设阶方阵的特征矩阵的伴随矩阵为，它的逆矩阵就为 ，因为的每个元素的代数余子式都是次数不超过n-1次的多项式，所以设 该式中为待定的n阶常数矩阵。同时将展开为的多项式，为，式中为待定常数。所以可得到 ，最后整理得：得到。例8 设a=，求。解 设，则 ， 则 ， 所以 =， ， 同理 ， 即 。用该方法在计算方阵的高次幂时，若方阵的较低次幂可以算出，或者从方阵的较低次幂的表达式中能够明显发现其运算规律性时，则可以利用递推的方法来求出方阵的高次幂。2.5 利用二项式法求方阵的高次幂定理2：若阶矩阵可分解为,且矩阵与的高次幂容易计算，并且 （即与可交换，否则二项展开公式不成立），则有例9 矩阵，将矩阵分解为，其中，则可以验证矩阵满足，且，,即与可交换。由二项式展开公式得： 所以若阶矩阵主对角元素相同，这样可表示为一个纯量矩阵与另一个矩阵之和，即，且的高次幂容易计算，则采用该方法比较直观。若是主对角线元素不同的某些特殊阶矩阵时（如三角阵等），则先考虑将分解为，其中为幂零阵（即对有），或者为秩的矩阵，且，其中常数等于列向量与行向量内积的值。 根据数量矩阵与任何矩阵乘法可交换定理，所以利用二项式定理展开得。2.6 秩为1的方阵的高次幂的求解定义2：由于矩阵的秩为1,所以矩阵至少有一行元素不为零,且其余各行元素都属于它的，于是秩为1的矩阵的一般形式为: 设则有 =，即例10 设解 由于例11 已知，求（为自然数）解 矩阵可分块为,其中 于是，下面求与， 由于，其中， 于是 又有,其中，且， 由二项式展开公式得：故故得到以下结论：结论一： 命题1 形如，令，所以，则。结论二： 命题2 形如=， 所以，且=，则。2.7 利用hamiltoor-caylry定理求方阵的幂定理3：hamiltoor-caylry设n阶矩阵a是其特征多项式的根（零点），即令则例12 已知方阵解 方阵的特征多项式为设则所以将式对求导,再将.得到方程组:解得根据定理， =2.8 本章小结本章主要叙述了方阵的幂的几种具体求解方法及应用举例，包括矩阵对角化方法、若尔当标准形方法、递推公式方法、二项式法等内容。可知求方阵的幂方法多种多样，针对不同的矩阵可采用对应的方法来求解，在具体的使用过程中要充分的利用方阵的具体特征寻求最佳的计算方法，这样既能提高运算速率，也能使我们在计算能力方面得到提高。第3章 方法与技巧的其他应用3.1对角矩阵的其他方面的应用3.1.1 求具有线性递推关系( 组) 的数列的通项式与极限例13 设数列满足，求.解 将递推关系组，改写成下列矩阵形式： .记,由求得的特征值，对应的特征向量为取,则,从而有，因此可得的通项为：，且=. 注：文献中令，利用压缩映射原理说明的存在性，但并未求，也并未求出的通项式.上述方法不仅可以方便的求出,而可以得到数列的通项式.例14已知，证明 存在且相等，并求出极限值.证明 将递推关系组化简为，再改写为矩阵形式： 记,由，求得的特征值为，对应的特征向量为取则,于是：，从而有 ，故.矩阵对角化也可求可化为具有线性递推关系的数列的通项与极限.例15 设.解 有已知得，令，则,因而.记,由求得的特征值为，对应的特特征向量为 取，则，从而有，于是得：，故例16 设 ，求.解 令，则可化简为，在改写为矩阵形式.记，由求得的特征值为，对应的特征向量为，取 ，则 从而得，故=. 上述两个例子表明：可经过化简及变量代换将一些具有非线性递推关系的数列求极限问题转化为具有线性递推关系的数列极限问题，再利用本文所介绍的方法即可很方便求解.3.1.2 求解行列式的值例17 计算阶行列式的值解 按第一列展开的=，改写为矩阵形式记,则=.由求得的特征值为，对应的特征向量为取=，则,从而有=，故得.例18 设阶实对称矩阵满足，且的秩为，试求行列式的值.解 设,是对应于特征值的特征向量，因为，则,从而有，因为，所以即；又因为是实对称矩阵，所以相似于对角矩阵，的秩为，故存在可逆矩阵,使得，其中是阶单位矩阵，从而结 论本文引言中介绍了矩阵的发展背景及研究意义，第一部分介绍了矩阵的秩及其相关性质、矩阵的乘法、矩阵的幂、若而当标准型以及矩阵对角定义化。第二部分总结了一些矩阵高次幂的计算方法，如：利用矩阵对角化、利用若而当标准型、利用数学归纳法、利用递推公式法、利用二项式法等方法进行了探讨。显然文章给出的计算方法并不独立存在有些需要配合使用。在具体求解一个方阵的高次幂时，根据方阵的不同特征采用不同的计算方法是求方阵高次幂的关键。上述介绍的几种方法不一定是最简单的，也不是独立存在的，有时还需要相互配合使用，对于具体问题还应具体分析。总之，在方阵高次幂的求解过程中要充分运用矩阵的特征寻求的最佳计算方法，这对于沟通矩阵各部分内容之间的联系及推广思路，是大有裨益的，而能熟练选择出最简单的计算方法的能力需要在实践中逐步提高，总而言之，方阵的高次幂的计算作为线性代数课程教学实践中的疑难点，需要我们在总结已有的基础上，不断地发散思维灵活运用各种方法，才能既快速又准确的计算方阵的高次幂。 参考文献1 余跃玉.阶方阵高次幂的计算方法j.四川文理学院学报，2011，21（2）： 22-242 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数m.北京：科学出 版社，20083 刘爱兰.矩阵高次幂的计算方法j.上海