常微分方程的常数变易法及其应用.doc

毕业论文常微分方程的常数变易法及其应用摘 要本文归纳整理了常微分方程常数变易法的几个应用.关键词常数变易法; 微分方程; 齐次; 系数constant variating method and application in ordinary differential equationabstract this paper is summarised several applications of constant variating method in ordinary differential equationkeywords constant variating method ; differential equation ; homogeneouscoefficient一、关于常数变易法 常数变易法是微分方程中解线性微分方程的方法，就是将齐次线性微分方程通解中的变换为函数,它是拉格朗日(lagrangr joseph louis,1736-1813)十一年的研究成果，微分方程中所用的仅是他的结论。二、常数变易法的几个应用1.常数变易法在一阶线性非齐次微分方程中的应用一阶线性非齐次微分方程 （1） 它所对应的齐次方程为 （2）是变量分离方程，它的通解为 （3）下面讨论一阶线性非齐次微分方程（1）的解法。方程（2）与方程（1）既有联系又有区别设想它们的解也有一定的联系，（3）中的恒为常数，它不可能是（1）的解，要使（1）具有形如（3）的解，不再是常数，将是的待定函数，为此令 （4）两边积分得到 将（4）（5）代入（1），得到 （5）即 两边积分得 （6）这里是任意的常数，将代入得到 这就是方程 的通解例1 求方程的通解，这里的为常数.解 将方程改写为 （7）先求对应齐次方程 的通解，得 令 （8）微分得到 （9）将（8）、（9）代入（7）中再积分，得 将其代入（8）中，即得原方程的通解 这里是任意的常数例2 求方程的通解.解 原方程改写为 （10）把看作未知函数，看作自变量，这样，对于及来说，方程（10）就是一个线性先求齐次线性方程的通解为 （11）令，于是 代入（10），得到 从而原方程的通解为 这里是任意的常数,另外也是方程的解.初值问题为了求初值问题 常数变易法可采用定积分形式，即（4）可取为 （12）代入（1）化简得 积分得 代入（12）得到 将初值条件、代入上式于是所求的初值问题为 或 定理一阶非齐线性方程（1）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2）之解；若是（2）的非零解，而是（1）的解，则（2.28）的通解可表为，其中为任意常数；方程（2）任一解的常数倍或两解之和（或差）仍是方程（2）的解.证明 设是非齐线性方程的两个不同的解，则应满足方程使 两式相减有 说明非齐线性方程任意两个解的差是对应的齐次线性方程的解. 因为故结论成立. 因为故结论成立.2.常数变易法在二阶常系数非齐次线性微分方程中的应用 我们知道常数变易法用来求非齐次线性微分方程的通解十分有效，现将常数变易法应用于二阶常系数非齐次线性微分方程中.该方法是新的,具有以下优点：无需求非齐次方程的特解，从而免去记忆二阶微分方程各种情况特解的形式；无需求出相应齐次方程的全部解组，仅需求出一个即可；可得其通解公式.现考虑二阶常系数非齐次线性微分方程 （1）其对应的齐次方程为 （2）下面对（2）的特征方程 （3）x有实根和复根加以考虑若为（3）的一实根，则是（2）的一解，由常数变易法，可设（1）的解为通过求导可得 （4）将（4）和代入（1）化简得 这是关于的一阶线性方程，其通解为 （5） 若为（3）的一复根，不妨设，且，则f为（2）一解，由常数变易法，可设（1）的解为 ，与情形的推到类似，不难求得方程（1）的通解公式为 （6） 例1求的通解 解 相应的特征方程为 有解，故设非齐次方程的解为 对其求导得 代入原方程化简得 其通解为 所以 从而原方程的通解为 例2求的通解解 相应的特征方程为 有解，有公式（5），得其通解为 = 3.常数变易法在三阶常系数非齐次线性微分方程中的应用 前文中对二阶常系数非齐次线性微分方程的解法进行了讨论，以下对一般的三阶常系数非齐次线性微分方程详细论述，此方法弥补了一般情况下只有特殊才能求解的缺陷，扩大了的适用范围.由前面知，二阶常系数非齐次线性微分方程 对应齐次微分方程的特征方程 若为实特征根，通解为 （1）若为一复根，不妨设，且，通解为 （2）三阶常系数非齐次线性微分方程 （3）则对应的齐次方程为 （5）其对应的齐次方程 （6）若为其一实根，为方程根，则方程（3）的通解为 当为实根时， 当为复根时，不妨设，且 证明 因为特征方程（5）是三阶方程，所以它至少有一实根，不妨设为特征方程一实根，则是（4）的一解，这时可设（3）的解为将其代入（3）中可得 因为为特征方程一根，所以 ，因此 这是关于的二阶常系数非齐次线性微分方程，其特征方程，其特征方程为 若其根为为实根，则由二阶方程通解公式（1）可得 那么（3）的通解为 若其根为复根时，不妨设，且则由二阶方程通解公式（2）可得 那么（3）的通解为 例1 求解方程的通解.解 对应的齐次方程的特征方程为 其根为方程，即， 其根为所以取 代入公式 则其通解为 求解过程只需依次积分即可 令那么方程的通解为（）. 4.常数变易法在二阶变系数非齐次线性微分方程中的应用二阶变系数微分方程 的通解为 那么可以通过常数变易法求得非齐次方程的通解设非齐次方程具有形式 的特解，其中是两个待定函数，对求导数得 我们补充一个的条件 这样 因此 将其代入化简得 联立方程解得 积分并取得一个原函数 则所求的特解为 + 所以方程的通解为 + 例1 求方程的通解解 方程对应的齐次方程为 由得 积分得 即，得其通解为 所以对应的齐次方程的两个线性无关的特解是，为了求非齐次方程的一个特解，将换成待定函数，且满足下列方程 解得 于是原方程的一个特解为 从而原方程的通解 参考文献1 邓春红.关于二、三阶线性微分方程通解求法j.零陵学报.2004,25(6):42-45.2 刘许成.三阶线性微分方程系数的常数化定理及应用j.潍坊学报.2003,3(2):39-40.3 常微分方程m.北京：高等教育出版社，2005.（4）：22-26.4 崔士襄.常数变易法来历的探讨j.邯郸农业高等专科学校学报,1998,(1):40-41.5 俞岑源.关于一阶线性常微分方程常数变易法的一点注记j.2001,(3):13-